Применение некоторых признаков делимости при решении задач

Разделы: Математика, Информатика

Класс: 6


Цель урока: познакомиться с некоторыми признаками делимости натуральных чисел и убедиться в эффективности их применение для быстрого счета при выполнении различных математических задач и головоломок.

Оборудование, ресурсное обеспечение урока

Используемые на уроке средства ИКТ:

  • персональный компьютер учителя, мультимедийный проектор, экран;
  • персональные компьютеры учащихся с доступом в сеть Интернет.

Электронные образовательные ресурсы

Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир.
И.Гете

Учитель: (2 мин) В этом году на уроках математики вы изучали основные признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9 и 10. С помощью признаков делимости вы решали задачи, в которых необходимо было найти НОД (Наибольший Общий Делитель) или НОК (Наименьшее Общее Кратное) двух натуральных чисел, сократить дробь, определить общий множитель, решить цифровую головоломку и некоторые практические задачи. Но существуют еще и другие признаки делимости, которые в школе не изучают. Сегодня мы рассмотрим некоторые признаки делимости и постараемся убедиться, в том, что признаки делимости - это важный и существенный прием в математике, значительно облегчающий процесс расчетов при решении задач. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

1 Выступающий: Признаки делимости известны с давних времен и всегда интересовали ученых разных народов. Признак делимости - правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признак делимости на 9 был известен грекам в третьем столетии до нашей эры. Впервые признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (около 1179-1228). Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки

Признак делимости Паскаля. Натуральное число, а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа, а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.

Проверим признак делимости Паскаля на 7:

Например, рассмотрим число 1645 и докажем, что оно делится на 7:

Число 1645=1*1000+6*100+4*10+5.

Найдем остатки от деления на 7 чисел 1000, 100, 10:

  • 1000=7*142+6, здесь 6-остаток отделения 1000 на 7,
  • 100=7*14+2, 2 - остаток от деления 100 на 7,
  • 10=7*1+3, 3- остаток от деления 10 на 7,

тогда произведение цифр числа 1645 на соответствующие остатки равно 1*6 + 6 *2 + 4*3 + 5 = 35, число 35 делится на 7, значит число 1645 делиться на 7.

2 Выступающий: Проверим признак делимости Паскаля на 3:

Докажем, что число 771 делится на 3, число 771=7*100+7*10+1 найдем остатки от деления на 3 чисел 100 и 10:

  • 100=3*33+1, здесь 1 - остаток от деления 100 на 3;
  • 10=3*3+1, 1 - остаток от деления 10 на 3;

тогда произведение цифр числа 771 на соответствующие остатки равно 7*1+7*1+1=15, число 15 делится на 3, значит число 771 делится на 3.

Другой известный признак, признак делимости на 9 похож на признак делимости на число 3. Дома попробуйте проверить признак делимости Паскаля на 9. Проверьте делимость числа 2115 на 9 с помощью признака делимости Паскаля.

Учитель: Все признаки можно разбить на четыре основные группы:

  • Делимость по сумме цифр числа: 3, 9, 11, 99;
  • Собственные признаки делимости: 7, 11, 99;
  • Делимость по последним цифрам числам: 2, 5, 10, 4, 25,8, 125;
  • Делимость составных чисел: 6, 12, 15, 18.

Рассмотрим решения задач, в которых применяются признаки делимости по сумме цифр числа. Это признаков делимости на 3 и на 9.

Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.

3 Выступающий:

2021-й год в России объявлен Годом науки и технологий.

Сейчас мы рассмотрим задачу, посвященную этой дате, для которой достаточно знать признак делимости на 9.

Задача 1: Делится ли на 9 число: Будет ли это число делиться на 3?

Решение: 102021 + 8 = 1000….008 - число записано с помощью цифр 1, 0, 0…,0, 8 и сумма этих цифр равна 9, то есть 1+0+…+0+8=9, сумма цифр этого числа равна 9, 9 делиться на 9, поэтому и само число 102021 + 8 делится на 9. (Сумма цифр числа 102021 + 8 равна 9, а 9 делится на 3, значит и это число делится на 3)

2023 год рассматривается в Правительстве как год, который будет объявлен Годом математики и информатики. Решите задачу, посвященную этим датам 2021 и 2023:

Задание классу: Делится на 3 число 102023 + 2021. Объясните почему? Будет ли это число делиться на 9?

(Обсуждают устно и затем показываем решение на экране монитора)

Решение: 102023 + 2021 = 1000….002021 - число записано с помощью цифр 1, 0, 0…,0, 2,0,2,1 и сумма этих цифр равна 6, то есть 1+0+…+0+2+0+2+1=6 , сумма цифр этого числа равна 6, число 6 делиться на 3, поэтому и само число делится на 3

4 Выступающий.

Другой интересный признак делимости по сумме цифр. Признак делимости на 99. Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующая группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, проверим делимость числа 74547 на 99. Для этого разобьём число 74547 на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) 7|45|47 и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Получим 47 + 45 + 7 = 99, число 99 делится на 99, значит, число 74547 делится на 99.

Этот признак можно применить при решении следующей задачи:

Задача. В числе 341*163 вместо звездочки поставьте такую цифру, чтобы это число делилось на 99.

Решение.

  • Разобьем это число на группы справа налево по две цифры, получим четыре группы 3|41|*1|63.
  • Так как звездочка в третьей группе стоит в разряде десятков вместо звездочки мы поставим 10 х, найдем сумму этих групп 3+41+ (10 х+1)+63=10 х+108, ближайшее число, делящееся на 99, это число 198. Значит, 10 х+108=198, откуда

10 х=198-108,

10x=90

x=9.

Ответ: значит, звездочка равна 9.

5 Выступающий. Решим еще одну задачу на признак делимости на 99:

Задача. В числе 24*9162 вместо звездочки поставьте такую цифру, чтобы это число делилось на 99.

Решение.

Разобьем число 24*9162 на группы справа налево, получим четыре группы чисел 2|4*|91|62.

Звездочка во второй группе стоит в разряде единиц, поэтому вместо звездочки мы поставим х, найдем сумму этих групп, получим 2+(40+х) + 91+62= х+195, ближайшее число, делящееся на 99, это число 198. Значит, х+195=198, откуда

x=198-195

х=3.

Ответ. х = 3, звездочка равна 3.

Задание классу: Чему равна звездочка в числе *2276, чтобы это число делилось на 99?

(Ответ: звездочка равна 1, так как сумма групп равна x+22+76=x+98, ближайшее число, делящееся на 99, это число 99. Значит, х+98=99, откуда x=1)

6 Выступающий: В 5 классе мы научились быстро умножать на 11, сегодня мы познакомимся с признаком делимости на 11.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующая группы по две цифры (начиная с единиц).

Например, испытаем число 15235. Разбиваем это число на группы по две цифры справа налево 1|52|35 и найдем сумму этих групп: 1+52+35=88, число 88 делится на 11, значит, 15235 делится на 11.

Рассмотрим задачу на этот признак:

Задача: Какая дата в декабре 2021 года образует семизначное число кратное 11. Найдите эту дату.

Решение: дата в декабре 2021 года, которая образует семизначное число кратное 11, имеет вид *122021, разбиваем это число на группы по две цифры справа налево *|12|20|21 и найдем сумму этих групп, пусть звездочка равна x, тогда x+12+20+21=x+53, ближайшее число, делящееся на 11, это число 55. Значит, х+53=55, откуда

x=55-53

х=2.

Ответ. х = 2, звездочка равна 2.

Учитель: Вы знаете такие признаки делимости по последним цифрам числа как признак делимости на 2, на 5, на 10, но есть еще интересные признаки делимости на 4, на 25, на 8, на 125.

7 Выступающий: Признаки делимости на 4, на25. На 4, на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4, на 25.

Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пример: 924 делится на 4, т. к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 275 делится на 25, т. к. 75 делится на 25.

Задача. Запиши все значения x, кратные числу 4, при которых верно неравенство 519 (на экране монитора)

Решение: Число делится на 4, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4, в числе 516 две последние цифры образуют число 16, которое делится на 4, значит это число 516.

Ответ: 516.

Задание классу. Вычеркните в числе 87153 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 25.

Решение: Число делится на 25, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 25, в числе 875 две последние цифры образуют число 75, которое делиться на 25, значит надо вычеркнуть цифры 1 и 3.

Ответ: 875.

8 Выступающий. Рассмотрим признаки делимости на 8 и на 125.

На 8 или на 125 делятся те и только те числа, которые оканчиваются тремя нулями или у которых три последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125.

Признак делимости на 8. Число делится на 8 тогда и только тогда, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

Пример: 9136 делится на 8, т.к. 136 делится на 8.

Признак делимости на 125. Число делится на 125 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 125.

Пример: 8250 делится на 125, т. к. 250 делится на 125.

Задание классу. Между числами 125 100 и 125 108 расположено натуральное число, которое делятся на 8. Выберите это число из чисел 125102, 125104, 125106.

Решение: Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, которое делиться на 8, 104:8=13, значит на 8 делится число 125104.

Ответ: число 125104.

Учитель: Рассмотрим делимость составных чисел. Число называется составным, если оно имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Например, это признаки делимости на 6, на 12, на 15.

9 Выступающий.

Признак делимости на 12. Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4.

Пример: 696 делится на 12, т.к. число делится и на 3, и на 4. Две последние цифры этого числа образуют число 96, которое делится на 4 и сумма цифр этого числа 6+9+6= 21, 21 делится на 3.

Рассмотрим задачу на признак делимости на 12.

Задача. Вычеркните в числе 24161 две цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. (на экране монитора)

Решение: Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 4 и на 3. Чтобы число делилось на 4, надо чтобы две последние цифры этого числа образуют число, которое делиться на 4 в нашем случае это число 16, поэтому вычеркнем последнюю 1, сумма цифр этого числа 2+4+1+6= 13, но ближайшее число, которое делится на 3 это 9, тогда 13-9=4 значит вычеркнем цифру 4.

Ответ: 216

Задание классу. Задания на компьютере.

Ссылка на сайт https://tanekv.wixsite.com/matem

Учитель. Познакомившись с признаками делимости чисел, можно сказать, что полученные знания можно применять самостоятельно для решения не только школьных и олимпиадных, но и жизненных задач. Знание признаков делимости как одного из приемов быстрого счета значительно упрощает процесс вычисления, позволяет сэкономить время, исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления, повышает вычислительную культуру учащихся. Сегодня на уроке вы узнали много нового.