Данное занятие может быть проведено после изучения формул объемов многогранников на уроках геометрии в 11-м классе или в рамках элективного курса по подготовке к ЕГЭ. Материал также доступен и учащимся 10-го класса (во 2-м полугодии).
Цели занятия:
- показать примеры задач, аналогичных заданиям ЕГЭ по математике базового уровня и первой части профильного уровня;
- повторить теоретический материал, связанный с площадями фигур, со свойствами многогранников;
- отработка навыков самоконтроля;
- отработка навыков сотрудничества между учащимися.
Оборудование:
- оборудование для демонстрации презентации Microsoft PowerPoint (компьютер, проектор, экран или доска);
- раздаточный материал (тексты задач с чертежами);
- таблица квадратов натуральных чисел.
План занятия
- Организационный момент
- Устная работа
- Решение задач
- Работа в группах
- Подведение итогов
Ход занятия
Занятие сопровождается демонстрацией презентации.
1. Организационный момент
Cообщение целей занятия, деление класса на группы по 4 человека (можно объединить учащихся, сидящих за соседними партами).
2. Устная работа
Условия задач и правильные ответы демонстрируются на слайдах. Задачи решаются устно, ответы можно спросить у нескольких учащихся, один из них коротко рассказывает путь решения.
Задача 1. (Слайд №4) Площадь треугольника АВС равна 120. КМ – средняя линия, параллельная стороне АВ. Найти площадь четырехугольника АКМВ. (Ответ: 90)
Рисунок 1
Задача 2. (Слайды №5,6) Площадь правильного шестиугольника АВСДЕК равна 60, О – центр шестиугольника. Найти площади треугольника АОВ, треугольника АВС, треугольника АВЕ, четырехугольника ВСДЕ. (Ответ: 10; 10; 20; 30)
Рисунок 2
Задача 3. (Слайд №7) Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 15. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 6. Найти объем параллелепипеда. (Ответ: 90)
Рисунок 3
Задача 4. (Слайд №8) Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в 5 раз? (Ответ: 125)
Рисунок 4
Задача 5. (Слайд №9) В правильной треугольной пирамиде МАВС О – точка пересечения медиан основания. Площадь треугольника АВС равна 5, а объем пирамиды – 35. Найти длину отрезка МО. (Ответ: 21)
Рисунок 5
Задача 6. (Слайд №10) Как изменится объем пятиугольной пирамиды, если её высоту увеличить в 4 раза? (Ответ: увеличится в 4 раза)
Рисунок 6
Задача 7. (Слайд №11) В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды составил 20 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? (Ответ: 5 см)
Рисунок 7
При подведении итогов устной работы необходимо обратить внимание на формулы для вычисления объемов призмы и пирамиды.
3. Решение задач
Чертежи заранее сделаны на доске, каждый ученик получает заготовку с чертежами (Приложение 1). Учащиеся у доски записывают краткие решения, сопровождая их устными пояснениями. Также можно использовать слайды №13, 14, 15.
Задача 8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 6 и 3. Объем параллелепипеда равен 108. Найти его диагональ.
Рисунок 8
Задача 9. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1000 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найти объем детали. Ответ выразить в см3.
Рисунок 9
Задача 10. Объем треугольной пирамиды SABC равен 15. Плоскость проходит через сторону АВ основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке D, делящей ребро SC в отношении 1 : 2, считая от вершины S. Найти объем пирамиды DABC.
Рисунок 10
4. Работа в группах
Каждая группа получает набор задач (Приложение 2), к которым надо записать краткие решения. После истечения отведенного времени проверяются ответы, представители групп могут прокомментировать ход решения задач. В это время чертежи демонстрируются на слайдах №17, 18, 19. Для быстрой проверки можно использовать слайд №20. После этого листы с решениями сдаются учителю.
5. Подведение итогов
При подведении итогов следует обратить внимание на две основные формулы объемов и их частные случаи, а также на отношение объемов подобных тел (слайд 22).
Задача. (Слайд №23) Боковые ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны 6. Найти объем пирамиды. (Ответ: 36)
При решении этой задачи очень важно обратить внимание на метод решения. Если тетраэдр перевернуть, то задачу можно решить устно.
Задача. (Слайды №24, 25) Объем тетраэдра равен 12. Найти объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. (Ответ: 6)
6. Домашнее задание (Приложение 3)
Литература
- Ященко И. В. ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни. – М: Издательство «Экзамен», 2020.
- Балаян Э. Н. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10-11 классы. – Ростов н/Д: Феникс, 2018.
- Материалы сайта: https://math-ege.sdamgia.ru/
Список приложений
- Приложение 1 – задачи для работы в классе
- Приложение 2 – задачи для работы в группах
- Приложение 3 – домашнее задание
- Приложение 4 – ПРЕЗЕНТАЦИЯ