При решении ряда задач по математике, физике бывает необходимо быстро умножить большие числа, встречающиеся в этих задачах. Есть способы быстрого умножения чисел, а математические закономерности могут быть занимательными, такие как математические фокусы, и даже красивыми. Многие интересные и полезные в современных условиях способы умножения содержатся в работах по истории математики.
Прием быстрого умножения натуральных чисел
Прием быстрого умножения на 5 (50). Чтобы умножить число на 5 (50), надо разделить его на 2 и умножить на 10 (100).
Например:
446∙5=446:2∙10=2230
4672∙50=46672:2∙100=233600
Прием быстрого умножения на 25 (250). Чтобы умножить число на 25 (250), надо умножить его на 100 (1000) и разделить его на 4.
Например:
88∙25=8800:4=2200
24∙250=24000:4=6000
Прием быстрого умножения на 125. Чтобы умножить число на 125, надо умножить его на 1000 и разделить его на 8.
Например:
384∙125=384000:8=48000
Прием быстрого умножения на 9 (99 или 999). Чтобы умножить число на 9 (99 или 999), надо умножить его на 10 (100 или 1000) и вычесть из произведения заданное число.
Например:
254∙9=254∙(10-1)=2540-254=2286
324∙99=254∙(100-1)=32400-324=32076
546∙999=546∙(1000-1)=546000-546=545 454
Прием быстрого умножения на 11. При умножении двухзначного числа на 11 возможны два случая:
1 случай: Сумма цифр числа, умножаемого на 11, меньше 10. В этом случае надо между ними вставить их сумму:
17 ·11=1 (1+7)7=187; 81·11=8(8+1)=891
2 случай: Сумма цифр числа, умножаемого на 11, больше 9. В этом случае надо между ними вставить количество единиц в сумме цифр данного числа, а первую цифру множимого числа увеличить на 1:
28·11=(2+1)08=308; 94·11=(9+1)34+1034
Прием быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5:
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5, надо, отбросив 5, 4 перемножить оставшееся число десятков на следующее по порядку число и к результату приписать 25.
Например, чтобы 395 умножить на 395, надо умножить 39 на 40, а это 1560, и приписать справа 25, т.е. 395·395=156025
Прием быстрого возведения в квадрат трехзначных чисел, оканчивающихся на 25: Для получения квадрата трехзначного числа (например, 325) нужно
1) записать в конце 625;
2) число сотен (30 умножаем на 5, у полученного числа (15) последнюю цифру (5) пишем впереди числа 625, а первую цифру (1) запоминаем;
3) число сотен данного числа (3) возводим в квадрат (3·3=9) и прибавляем ту цифру, которую только что запомнили (9+1), а полученный результат (10) пишем впереди написанных нами чисел: 105 625.
Прием быстрого возведения в квадрат числа пятого и шестого десятков: Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41, 42, .., 49), надо к числу единиц прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат – однозначное число, то перед ним приписывается 0).
Например:
432=(15+3)∙100+72=1849
482=(15+8)∙100+22=2304
Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка (51, 52, .., 59). Для этого надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
542=(25+4)∙100+42=2916
572=(25+7)∙100+72=3249
Прием быстрого возведения в квадрат двузначных чисел. Этот прием основан на следующих преобразованиях:
а2=а2-в2+в2=(а - в)∙(а+в)+в2.
Например: 272=(27-3)∙(27+3)+32=24∙30+9=729
Из истории математики
Старинные приемы умножения
Действия умножения, деления в старину были особенно сложны и трудны. Об этом люди даже сложили поговорки. «Умножение – мое мучение, а с делением – беда». «Трудное дело деление», - гласила старинная итальянская поговорка. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления. Приемы, которые применялись в то время, были очень запутанными. В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914 г.) изложено 27 способов умножения. И все эти приемы умножения: «шахматный или органчиком», «загибанием», «по частям или разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие, а также способы деления, носившие не менее затейливые названия, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Но среди них можно выбрать ряд таких способов, которые и сегодня можно применять современным школьникам.
Счет по пальцам широко применялся в старину. Использовали его и для умножения. Вот как умножали древние римляне на пальцах числа, содержащиеся между 5 и 10.
Пусть требуется умножить 6 на 7. Считаем на пальцах левой руки, согнутой в кулак, до 6, разгибая по одному пальцу, а на правой то же до 7. Два каких-то разогнутых пальца правой руки кладем на разогнутый палец левой. Всего 3 разогнутых пальца, это – 3 десятка – 30. Остальные 4 (согнутых пальца левой руки) перемножаются на 3 (согнутых пальца правой), получаем 12. Итак, 30+12=42.
Например:
6·8=(1+3) 10+4·2=48,
6·9=(1+4) 10+4·1=54.
Пальцевой счет был широко распространен в практической жизни и в средние века. Ирландский ученый монах Беда Достопочтенный(673-735), написавший книгу «О счете времени», посвятил целую главу счету на пальцах.
Вот как производилось, например, умножение 13 на 14.
1) Известно, что 10·10=100.
2) Откладывают (загибают) на одной руке 3, на другой – 4 пальца.
3) 3+4=7, это – десятки, т.е. 7·10=70.
4) 3·4=12.
5) Тогда 13·14=10·10+7·10+3·4=182.
Интересный прием умножения и деления содержится в египетских папирусах. Он сводится к последовательному удваиванию и сложению. Иногда применялось умножение на 10 и сложение.
Например: Умножаем 15 на 13.
Решение: Составляем два столбца, во главе первого стоит 1, а второго – множимое 15. Эти числа последовательно удваиваются до тех пор, пока в первом станет возможным, суммируя некоторые из его членов, получить в сумме множитель 13. Сумма соответствующих чисел второго столбца и дает произведение 195.
'1 '15
2 30
'4 '60
'8 '120
13 195
Деление сводится к умножению в обратном направлении:
195:15=(15+60+120):15=1+4+8=13.
К староегипетскому близок так называемый «русский крестьянский способ умножения», применявшийся крестьянами в дореволюционной деревне. Этот способ не требовал знания всей таблицы умножения. Он основан на последовательной замене произведения двух сомножителей, при котором один из них повторно удваивается, а другой раздваивается до единицы.
Перемножим данным способом числа 987 и 1998 (Рис.1)
Напишем одно из чисел слева, а второе – справа на одной строчке. Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.
Если при делении возникает остаток (т.е. делимое окажется нечетным числом), то он отбрасывается. Умножение и деление на 2 продолжаем до тех пор, пока слева не останется 1. Затем вычеркиваем те строчки столбиков, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце – получим 1 972 026. Это и есть произведение перемножаемых чисел.
Данный способ дает верный результат потому, что он непосредственно связан с представлением одного из сомножителей, а именно первого, в двоичной системе счисления.
За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения чисел. Итальянский математик Лука Пачолли в своем трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) приводит восемь способов умножения. Один из них носит название «ревность, или решетчатое умножение».
Сначала рисуется прямоугольник, разделенный на квадраты, причем размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки делятся на диагонали, и «…получается картинка, похожая на решетчатые ставни – жалюзи, - пишет Пачолли. - Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть сидящих у окон дам и монахинь».
 |
Перемножим этим способом числа 1998 и 987. Для этого запишем вверху таблицы число 987, а слева – 1998, как показано на рис. 2. Теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строке и в одном столбце с этим квадратиком. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы – в верхнем. После того, как все треугольники заполнены, цифры в них складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и снизу от таблицы – получается 1 972 026.
Другой способ называется «маленький замок». Сначала, как мы и привыкли, одно число записывается под другим, но затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей. Добравшись после утомительных трудов до желанного конца арифметических действий, наши предшественники считали необходимым непременно проверить полученный результат. Любимым приемом проверки был так называемый «способ девятки». Заметим, что в некоторых иностранных учебниках этот прием встречается и сейчас.
Проверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое – либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно такой же остаток произведения равен произведению остатков множителей. С другой стороны, известно также, что при делении числа на 9 получается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа. Например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, и то же получается в остатке от деления (7+5+8) на 9.
Покажем напримере, в чем он состоит.
Пусть требуется проверить правильность сложения следующего столбца:
38 932……….7
+ 1 096……….7
4 710 043……….1
589 106……….2
5 339 177……….8
Составляем в уме сумму цифр каждого слагаемого, причем в получающихся попутно двузначных числах также складываем цифры (делается это в самом процессе сложения цифр), пока в конечном результате не получим однозначное число. Результаты эти (остатки от деления на 9) записываем, как показано, рядом с соответствующими слагаемыми. Складываем все остатки (7+7+1+2=17; 1+7=8) получаем 8.
Такова же должна быть сумма цифр итога (5 339 177), если действие выполнено верно: 5+3+3+9+1+7+7, после всех упрощений, равно 8.
Проверка вычитания выполняется точно так же.
Математические фокусы
Можно мгновенно умножить любое трехзначное число на 999.
Например: 573·999=572427
Разгадка фокуса. В результате умножения получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9. Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:
573·999= 573·(1000-1)= 573000-573 =572427.
ЧИСЛО ШАХЕРЕЗАДЫ. Напишите на бумаге (не показывая) трехзначное число, а затем припишите еще раз то же самое число. Полученное шестизначное число разделите сами (или предложите любому другому) разделить, не показывая, без остатка на 7. Результат деления еще раз разделите сами (или передав другому ученику) без остатка на 11, а затем на 13. После троекратного деления должно получиться загаданное число.
Разгадка фокуса. Вспомним, что приписать к трехзначному числу его само – значит, умножить его на 1001 – число Шахерезады. Но 1001=7·11·13. а в результате деления последовательно на эти три числа оно должно снова дать полученное число.
Замечание 1. Другой вариант этого же фокуса можно предложить в следующем виде. Напишите на бумаге (не показывая) трехзначное число, а затем припишите еще раз то же самое число. Полученное шестизначное число разделите сами (или предложите любому другому) разделить, не показывая, без остатка на 11, потом на задуманное число и на 13. В итоге должно получиться 7.
Замечание 2. Аналогичный фокус необычного отгадывания можно предложить и с числом 10 101: 10 101= 3·7·13·37. Тогда возможны разнообразные сочетания вариант множителей и получаются несколько фокусов.
Замечание 3. Аналогичный фокус можно предложить и с числом 10 001.10 101= 73·137.
Замечание 4. Аналогичный фокус можно предложить и с числом 111111= 111 ·1001=3·37·7·11·13. Тогда снова возможны разнообразные сочетания вариант множителей и получаются несколько фокусов.
Занимательное умножение
Приведем примеры удивительных произведений.
11·11=121
111·111=12321
1111·1111=1234321
11111·11111=123454321
………
111111111·111111111=12345678987654321
1∙9+2=11
12∙9+3=111
123∙9+4=1111
1234∙9+5=11111
123456∙9+6=111111
9∙9+7=88
98∙9+6=888
987∙9+5=8888
9876∙9+4=88888
98765∙9+3=888888
987654∙9+2=8888888
9876543∙9+1=88888888
98765432∙9+0=888888888
1∙8+1=9
12∙8+2=98
123∙8+3=987
1234∙8+4=9876
12345∙8+5=98765
123456∙8+6=987654
1234567∙8+7=9876543
12345678∙8+8=98765432
123456789∙8+9=987654321 12
Олимпиадные задачи
Задача 1. Сколько нулей стоит в конце произведения всех натуральных чисел от 10 до 25?
Решение. Предположим, что это произведение разложили на простые множители. Так как нуль на конце произведения образуется при умножении 5 на 2, то нулей будет столько, сколько раз можно выделить это произведение из разложения на простые множители. Для подсчета числа нулей на конце произведения достаточно посчитать количество пятерок в разложении данного произведения на простые множители: их 5 (в числах 10, 15, 20, 25). Значит, произведение будет оканчиваться пятью нулями.
Задача 2. Брат и сестра пишут цифры со старшего разряда по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя, а остальные числа совершенно произвольные. Если записанное число разделить нацело на 11, то победителем объявляется написавший последнюю цифру, а если не разделится, то победителем будет написавший предпоследнюю цифру. Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть записано 6 цифр.
Решение. Выиграет второй игрок, если каждым своим ходом будет повторять цифру, записанную соперником. В этом случае получается число вида aabbcc, которое всегда делится на 11.
Задача 3. Во сколько раз увеличится двузначное число, если справа приписать такое же число. Ответ. В 101 раз.
Задача 4. Сравните дроби 
и 
. Ответ. Равны
Задача 5. Докажите, что число, записанное шестью одинаковыми цифрами, делится на 3, 7, 11, 13 и 37.
Решение: àààààà = 111111 · а=3·7·11·13·37 а.
Задача 6. Восстановите запись:
6*
*
**
+ **
** _
**6
Решение. Учитываем, что при умножении двузначного числа, начинающегося с цифры 6, на однозначное, двузначное получается только в том случае, когда однозначный множитель равен 1. Получается, что каждая цифра второго множителя равна 1.
ЛИТЕРАТУРА
- Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов. М.: Просвещение, 1999.
- Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965.
- Балк М.Б., Балк Г.Т. Математика после уроков. М.: Просвещение,1971.
- Глейзер Г.И. История математики в школе. 4-6 кл. М.: Просвещение, 1981.
- Энциклопедия для детей. т.11. Математика. /Глав.ред. Т.И.Аксенова. «Аванта +», 1998.