Методическая разработка урока «Некоторые свойства прямоугольного треугольника». Урок доказательства теоремы. Геометрия 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели:

Образовательные:

  • Исследовать и доказать свойства прямоугольного треугольника.
  • Формировать умения и навыки применять их к решению задач.

Развивающие:

  • Развивать познавательную активность, творческие способности и интерес к предмету.
  • Развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать, обобщать, решать проблемные ситуации, делать выводы.

Воспитательные:

  • Учить прислушиваться к мнению своих товарищей.
  • Развивать умения работать в группах.

Оборудование: Компьютерный класс, презентация, карточки с готовыми чертежами, презентация, контрольный тест в виде презентации на два варианта, карточки с заданиями теста (если нет компьютерного класса).

Тип занятия: урок доказательства теоремы.

Ход урока

1. Подготовительный этап (Актуализация знаний)

Цель: повторить теорему о сумме углов треугольника, определение и свойства внешнего угла треугольника, виды треугольников по углам и по сторонам, элементы прямоугольного треугольника

- Какие темы мы изучали на последних уроках? (сумма углов треугольника, неравенство треугольника, внешний угол треугольника)

- Какая фигура называется треугольником?

- По каким элементам мы классифицировали треугольников? (по сторонам, по углам)

- Какие существуют виды треугольников по сторонам? (разносторонние, равнобедренные, равносторонние)

- На  какие виды делятся треугольники  по углам?  (остроугольные, тупоугольные, прямоугольные)

Учитель фиксирует на доске названные виды треугольников в два столбика с помощью табличек и магнитов.

- Свойства каких из перечисленных треугольников  мы уже изучали? (остроугольных, равнобедренных, равносторонних)

Учитель фиксирует на доске названные виды с помощью магнитов другого цвета.

- О свойствах каких треугольников  мы  знаем меньше всего? (прямоугольных)

- Как вы думаете, что мы сегодня будем изучать на уроке?

Сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока. (Свойства прямоугольных треугольников)

Можем ли мы на одном уроке изучить все свойства прямоугольных треугольников? (Нет)

Значит тема ....... Некоторые .....

- Молодцы. Откройте тетради. Запишите дату и тему урока.

- Какие перед нами стоят цели?

(выявить свойства прямоугольных треугольников, доказать их, научиться применять их на практике при решении задач).

УСТНО:

1) Какой треугольник называется прямоугольным?

2) Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3) Что такое гипотенуза и катеты?

2. Мотивационный этап

Цель: Побуждение интереса к изучению теоремы об угле 30 градусов в прямоугольном треугольнике, подведение обучающихся к раскрытию содержания теоремы. Прием – лабораторная работа.

Учащиеся разделены на 5 групп. Группы получают карточки с готовыми чертежами и соответствующими вопросами на выбор для исследования.

Вопрос №1: Чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?

Вопрос №2: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов равен 30 градусов?

Вопрос №3: Какая особенность у прямоугольных треугольников, в которых один из катетов равен половине гипотенузы?

Задание для исследования 1 группе

По рисунку найдите неизвестные углы, заполните таблицу.

№

Углы

С

А

В

 

А + В

1

 

30⁰

 

→

 

2

 

 

50⁰

→

 

3

 

25⁰

 

→

 

4

 

 

45⁰

→

 

Сделайте вывод о сумме острых углов прямоугольного треугольника.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника ________________

Задание для исследования 2 группе

Измерьте катет напротив угла в 30⁰ и гипотенузу, заполните таблицу.

 №

С

А

ВС

АВ

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Сделайте вывод: Какая взаимосвязь между сторонами прямоугольного треугольника, у которого один из острых углов 30⁰?

В прямоугольном треугольнике напротив угла в 300 лежит ______________________

Задание для исследования 3 группе

Измерьте угол против катета, который в 2 раза меньше гипотенузы.  Заполните таблицу.

 

№

С

ВС (мм)

АВ (мм)

 

Ð  А

1

 

 

 

→

 

2

 

 

 

→

 

Сделайте вывод: Какая особенность у острого угла прямоугольного треугольника, в котором один из катетов равен половине гипотенузы?

В прямоугольном треугольнике против катета равного половине гипотенузы лежит _______________________________

После того, как учащиеся  приходят к какому-то выводу, представитель каждой группы выдвигает свою гипотезу.

Предполагаемые гипотезы:

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 900.

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300.

- ВНИМАНИЕ, ребята!!!

Гипотеза - это всего лишь предположение, которое просто необходимо доказать!

На доске (заранее на обратной стороне) чертежи свойств с «дано» и «доказать».

3. Ориентировочный этап

Цель: ввести формулировки теорем и организовать работу по усвоению теорем о свойствах  прямоугольного треугольника.

Метод – частично-поисковый.

Теорема: Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы.

Дано:

∆ ABC,
∠C=90º,
∠A=30º.

Доказать:

BC = ½ AB

Доказательство:

I способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠B = 90º – ∠A=90º – 30º = 60º.

Проведем из вершины прямого угла медиану CF.

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то CF = ½AB, то есть, CF = AF = BF.

Так как BF=CF, то  треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.

Следовательно, у него углы при основании равны: ∠B=∠BCF=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC ∠BFC =180º – (∠B+∠BCF) = 60º.

Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.

Значит, все его стороны равны и  BC = CF = BF = ½ AB.

Что и требовалось доказать.

II способ

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠B=90º–∠A=90º–30º=60º.

Построим треугольник ADC, равный треугольнику ABC.

В нем ∠D=∠B=60º и ∠CAD=∠CAB=30º  (по построению).

Отсюда, ∠BAD=∠CAD+∠CAB=60º.

Следовательно, в треугольнике ABD все углы равны: ∠BAD =∠D =∠B = 60º.

Значит, треугольник ABC — равносторонний, и все его стороны равны: AB=AD=BD.

BC=DC (по построению), поэтому  BC = ½ BD = ½ AB.

Что и требовалось доказать.

Попробуйте доказать теорему любым их двух способов.

Катет  __________________________ треугольника, лежащий против угла в ____0, равен ______________________ гипотенузы.

Дано: 

Δ АВС
∠С =  90º
∠В = 30º

Доказать:  АС = ½ АВ

Доказательство:

4. Первичное применение теоремы

После доказательства свойств прямоугольного треугольника учащимся предлагаются задачи на готовых чертежах (слайды). Задачи решаются устно, быстро.

Один ученик у доски, остальные в тетради.

 Задача № 257, стр. 81 (если позволит время).

Дано:
ΔАВС.
∠ С = 90⁰,
∠ ВАD = 120⁰,
AС + АВ = 18 см

Найти: АС, АВ.

Решение: ∠ВАD = 120⁰  = > ∠В = 30⁰

АС = ½ АВ (по свойству катета, лежащего против угла в 30⁰)  

Если АС = х см, то АВ = 2х см, тогда, учитывая условие, х + 2х = 18, х = 6, т.е. АС = 6 см, АВ = 12 см

5. Тест с  взаимопроверкой в парах и самооценкой (см. приложения)

Ответы записывают на листочках. Затем проверяют по образцу с помощью компьютера  (работа в парах)  и сами ставят себе оценку.

Критерии: 

  • «3» - четыре верных ответа.
  • «4» - пять верных ответов.
  • «5» - шесть-семь верных ответов.

6. Подведение итогов. Домашнее задание (слайд презентации).

Выбрать задание одного из уровней:

Провести доказательство гипотезы 2 и 3 дома самостоятельно и внести их на шаблоны.

В  _______________________  треугольнике   сумма  ____________ равна   ____________ .

Дано:  
Δ АВС
∠С =  90⁰

Доказать: ∠А + ∠В = 90⁰

Доказательство:

Если  катет  _____________ треугольника равен ___________ гипотенузы, то угол лежащий против этого катета, равен _____.

Дано:
Δ АВС
∠С =  90⁰
АС = ½ АВ

Доказать: ∠В = 30⁰

Доказательство:

  1. Пункт 34: выучить все свойства и доказательство любых двух. № 255.
  2. Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство. № 258
  3. Пункт 34: выучить все свойства и их доказательство. № 260

Творческое задание (по желанию): придумать и решить задачу на применение всех трех свойств прямоугольного треугольника.

8. Рефлексия.

До сегодняшнего дня мы не знали свойств прямоугольных треугольников, а сегодня вы сами исследовали их, выдвинули гипотезу и доказали.

Оцените насколько хорошо вы справились с поставленной задачей

Как вы оцените свою работу на уроке, к какому уровню себя отнесете? (презентация):

  • Я всё понял и могу доказать все свойства.
  • Я всё понял и могу доказать некоторые свойства.
  • Для полного понимания мне необходимо повторить тему дома.
  • Я ничего не понял.