Цели:
- развитие умений обобщать, абстрагировать и конкретизировать свойства изучаемых объектов и отношений;
- формирование знаний о прямоугольнике и умений применять его определение и свойства на уровне обязательной подготовки;
- воспитание уважительного отношения к сверстникам.
Оборудование: компьютер, проектор, каркасные модели четырехугольников.
Структура урока:
- Ознакомление с темой урока, постановка его целей (2 мин).
- Проверка домашнего задания (6 мин).
- Систематизация знаний и умений по пройденному материалу с использованием упражнений на готовых чертежах (8 мин).
- Определение понятия прямоугольника и доказательство его свойств (12 мин).
- Первичное закрепление изученного (12 мин).
- Постановка домашнего задания (3 мин).
- Подведение итогов урока (2 мин).
- Резерв: дифференцированные задания.
Ход урока
1. Ознакомление с темой урока, постановка его целей.
Вместе с дежурными учитель проверяет готовность класса к уроку, после чего напоминает учащимся, что на этом занятии продолжается изучение темы «Четырехугольники». Сообщает, что на уроке будет рассматриваться один из частных видов параллелограмма, его определение и свойства, начнем учиться их применять при решении задач.
2. Проверка домашнего задания.
Семенова и Кустов вызываются для решения задач из домашнего задания. В это время, пока они оформляют решения задач на доске, учитель заслушивает консультантов о выполнении остальными учащимися домашнего задания, отвечает на вопросы учащихся по домашнему заданию и проводит устную проверку знаний по изученному материалу о четырехугольниках постановкой вопросов типа:
- Какая фигура называется четырехугольником?
- Какие стороны четырехугольника называются противолежащими?
- Что такое параллелограмм?
- Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма?
Семенова и Кустов переходят к объяснению решений своих задач. Остальные учащиеся вместе с учителем контролируют их ответы, оформление записей, корректируют и дополняют записи в своих тетрадях. По инициативе учителя учащиеся привлекаются к постановке дополнительных вопросов отвечавшим.
Медведев: Ну вот ты знаешь, что такое диагонали четырехугольника?
Учитель добивается от Медведева уважительного обращения к Семеновой.
Медведев: Скажи, пожалуйста, что такое диагонали четырехугольника?
Семенова: Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются его диагоналями.
Учитель подтверждает правильность ее ответа, оценивает ее знания, затем знания Кустова и подводит итоги выполнения классом домашнего задания.
3. Систематизация знаний и умений по пройденному материалу.
Для подготовки учащихся к усвоению нового материала повторяются и систематизируются их знания и умения в процессе устного решения упражнений на готовых чертежах. Выставляется переносная доска с первой группой задач.
Учитель: Кто готов решить какую-нибудь из предложенных задач?
Осокина разъясняет решение первой задачи:
У треугольников ABC и DBC АС = CD и АВ = BD по условию, а ВС - общая сторона. Поэтому они равны по трем сторонам.
Петрова решает вторую задачу:
У треугольников DEC и DKC равны стороны DE и DK и углы EDC и СDK, а сторона DC - общая. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение третьей задачи объясняет Борисов:
У прямоугольных треугольников ОРK и МРК равны катеты ОР и РМ, а катет КР - общий. Поэтому они равны по двум сторонам и углу между ними (или по двум катетам, если этот признак равенства прямоугольных треугольников был сформулирован в процессе обучения).
Выставляется другая переносная доска с готовыми чертежами.
Учитель: Есть ли желающие решить какую-нибудь из этих трех задач?
Федоров решает первую задачу:
У четырехугольника ABCD диагонали пересекаются в точке О и делятся ею пополам, поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по теореме 6.1.
ùdtomdba объясняет решение второй задачи:
Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам, отсюда углы ВСА и CAD равны. Поэтому прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых, а значит параллельны и стороны ВС и AD. Аналогично параллельны стороны AB и CD. Тогда четырехугольник ABCD является параллелограммом по определению.
Решение третьей задачи поясняется Жигуновым:
У четырехугольника ABCD противолежащие стороны ВС и AD равны по условию и параллельны, так
Решение третьей задачи поясняется Жигуновым
- У четырехугольника ABCD противолежащие стороны ВС и AD равны по условию и параллельны, так как прямые ВС и AD параллельны по признаку параллельности прямых. Поэтому этот четырехугольник - параллелограмм по задаче 18 параграфа 6.
Учитель подчеркивает, что повторенный материал будет использован также при изучении одного из известных им четырехугольников и записывает вместе с учащимися тему урока: «Прямоугольник».
4. Определение понятия прямоугольника и доказательство его свойств.
Для введения определения понятия прямоугольника рассматриваются следующие три каркасные модели четырехугольников:
Учитель: Найдите по виду этих четырехугольников их общие свойства.
Петрова: У каждого из них противолежащие стороны параллельны, поэтому все они являются параллелограммами.
Учитель: А как еще называют средний из этих параллелограммов?
Федоров: Прямоугольником.
Учитель: Чем отличается прямоугольник от двух других параллелограммов?
Осокииа: У него все углы прямые.
Учитель диктует, а учащиеся записывают определение прямоугольника:
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Учитель: Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Борисов, какими?
Борисов: У прямоугольника противолежащие стороны равны и диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Учитель: Верно. Но прямоугольник имеет еще особое свойство, которое формулируется в виде теоремы 6.4: диагонали прямоугольника равны.
Для доказательства теоремы 6.4 на доске изображается прямоугольник ABCD и его диагонали.
Учитель повторяет формулировку теоремы и предлагает Девятовой продиктовать, что нам дано и что нужно доказать.
Девятова затрудняется ответить.
Тогда учитель начинает переводить формулировку теоремы из категоричной формы в условную:
- Сформулируем теорему в другом виде, а именно: если ABCD - прямоугольник, то Девятова, продолжи.
Девятова: ... его диагонали равны.
Учитель: Девятова, а теперь сможешь определить, что нам дано и что нужно доказать?
Девятова: Да. ABCD - прямоугольник, а АС и BD - его диагонали. Надо доказать, что диагонали АС и BD равны.
Доказательство проводится с использованием метода восходящего анализа.
Учитель: Нам надо доказать равенство диагоналей АС и BD. Для этого сначала выясним, являются ли они, например, сторонами треугольников BAD и CDA?
Онищенко подтверждает этот факт.
Учитель: Для того, чтобы доказать равенство диагоналей, достаточно доказать равенство, например, каких фигур?
Лобова: Треугольников BAD и CDA.
Учитель: Для того, чтобы доказать равенство треугольников BAD и СDА, что достаточно установить?
Николаев: Что они прямоугольные, катет AD - общий, а катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны прямоугольника.
Учитель: Итак, треугольники BAD и CDA равны по двум катетам, а из их равенства следует и равенство гипотенуз. Гипотенузы же есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
Записи на доске при этом оформляются в следующем виде:
- Доказательство:
- Треугольники BAD и CDA - прямоугольные. Катет AD - общий. Катеты АВ и CD равны как противолежащие стороны прямоугольника.
- Треугольники BAD и CDA равны по двум катетам, отсюда следует равенство их гипотенуз: АС = BD.
5. Первичное закрепление изученного.
Для закрепления изученного учащимся предлагается сначала прочитать содержание пункта 54 учебника. Затем учитель отвечает на возникшие у ребят вопросы и предлагает записать результат решенной в учебнике задачи 24 в виде признака прямоугольника:
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Далее решаются задачи 25 и 26, для чего последовательно вызываются Николаев и Лобова. Результат решения задачи 26 записывается в виде еще одного признака прямоугольника:
Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
С помощью дополнительных вопросов к отвечавшим учащимся повторяются и закрепляются изученные определение, свойства и признаки прямоугольника.
6. Постановка домашнего задания.
- На дом задается изучить содержание пункта 54 и решить задачи 27,28 параграфа 6. Обращается внимание на то, что они должны знать определение, свойства и признаки прямоугольника и уметь доказывать теорему 6.4.
- Учащимся дается возможность ознакомиться с условиями задач 27 и 28, а также выяснить вопросы, связанные с выполнением домашнего задания.
7. Подведение итогов урока.
- Итоги урока подводятся оценкой знаний отвечавших учеников и ответами на вопросы типа:
- Что такое прямоугольник?
- Какими свойствами параллелограмма обладает прямоугольник?
- Какое свойство прямоугольника доказывается в теореме 6.4?
- Сформулируйте признаки прямоугольника.
Резервные задания.
После выполнения программы отмеченных выше этапов урока и при наличии времени могут быть использованы следующие дифференцированные задания:
- Постройте прямоугольник по двум смежным сторонам.
- Постройте прямоугольник по стороне и диагонали.
- Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.
- Постройте прямоугольник по заданным серединам всех его сторон.
- Постройте прямоугольник, если заданы точка пересечения его диагоналей и две соседние вершины.