Интегрирование в математике и физике

Разделы: Математика, Физика

Интеграция: физика – математика.

Данный урок является одним из интегрированных уроков по математике и физике по теме «Математический анализ». [1, 2] На уроке вводится математическое понятие первообразной, как инструмента для решения физических задач. В течение всего урока идёт совместное обсуждение между учащимися и педагогом.

Цели урока:

Основными целями урока для формирования универсальных учебных действий являются:

  • образовательная: ввести понятие первообразной и интеграла с точки зрения математики и физики, учить решать задачи по физике, используя понятия производной и первообразной;
  • воспитательная: воспитывать умение работать в группах, вести диалог и полилог с учителем и одноклассниками, критически оценивать их деятельность и  анализировать работу; повышать интерес к физике и математике как к учебным предметам; показать связь между изучаемыми предметами для понимания целостности структуры мира.
  • развивающая: развивать самостоятельность мышления, учить применять имеющиеся знания в новой ситуации, анализировать, обобщать, дифференцировать и интегрировать  полученный результат, развивать коммуникативные способности при работе в группах .

Материалы к уроку:

Ход урока

1. Организационный момент

Раздача дидактического материала для работы на уроке (Приложение 1).

2. Актуализация знаний

2.1. Учитель физики (Ф). Демонстрация опыта.

– Рассмотрим 2 процесса:

А) Из шприца капает вода.

Б) Из шприца вода вытекает струйкой. (Опыт демонстрировался на уроке: интегрированный урок «Применение производных в математике и физике» 651380 Изд. Дом «Первое сентября», что подводит  учащихся к пониманию связи между производной и интегралом )

- В чем отличие процессов?

- Какие ещё непрерывные процессы вы знаете?

При изучении производной, мы находили скорость изменения массы воды. А сейчас поставим другой вопрос: Как найти количество воды в стакане через любой промежуток времени,  если нам известна скорость изменения массы? (скорость изменения массы – первая производная по времени Vm = lim  (Δt)
Предположим, что первоначальная масса в стакане m0 = 2г. Чему будет равна масса через 10с, если за одну секунду масса изменяется на 5г? Что значит изменение массы? (скорость изменения массы Vm = 5 г/с)

Учащиеся решают задачу. (Рабочий лист РЛ 1)

- Предложите общую формулу для решения данной задачи.

Учащиеся находят формулу m= m0 + Vmt.

Мы определили закон изменения массы по известной производной (скорости изменения массы).

Где мы использовали подобную формулу при изучении механики? (Равномерное движение.)

x= x0 + Vt, где V – первая производная от х.

Например, x = 2 + 5t, найдем V как производную V=5 м/с.

Но мы с Вами решили другую задачу: зная скорость изменения массы (производную), определили массу в любой момент времени, т.е. нашли первоначальную формулу для изменения массы.

2.2. (Ф)

Как вы думаете, какова цель нашего урока сегодня? (Подводим учащихся к формулированию цели)

Цель: Определить первоначальную формулу для величины, зная её  производную. (пишем на доске)

2.3. Учитель математики (М): Мы подошли к необходимости ввести понятие обратное  производной. В математике это – первообразная.

Итак, тема нашего урока: первообразная. Запишите тему урока и цель в рабочий лист (РЛ)

3. Объяснение нового материала

3.1. (М): Давайте введём новое определение. (РЛ 2)

Функцию у= F(x) называют первообразной для функции y= f(х) на промежутке Х, если для всех х ϵ Х выполняется равенство F'(x)= f(x).

3.2.(М): Процесс вычисления функции, обратной к производной, называется интегрированием.

3.3. (Ф): Вспомним равноускоренное движение. Что такое ускорение? Скорость изменения скорости или производная скорости по времени. Например: а=2м/с2  (РЛ3). Чему равна скорость в любой момент времени? Напишите уравнение движения. Необходимо знать начальную скорость? Пусть начальная скорость 5м/с. (V=2t+5). Мы нашли первообразную.

А как тогда найти координату в любой момент времени? Это сложнее. Ведь скорость – первая производная от координаты. Мы конечно помним, что x = x0 +V0t +at2/2, но как получить эту формулу? Как, зная производную, найти формулу, из которой мы её получили?

3.4. (М): Как найти первообразную? При вычислении производной для различных функций мы использовали таблицу. Давайте вспомним её. И попытаемся составить таблицу первообразных, опираясь на уже известную таблицу производных. (РЛ4).

(Учащиеся составляют таблицу производных )

3.5. (М): Прочитаем таблицу наоборот – справа налево.

3.6. (Ф):

Тогда воспользовавшись таблицей, найдите первообразную для V=2t+5. (Учащиеся у доски  или самостоятельно находят  x= t2 +5t +с (где с – координата при t=0, т.е. начальная координата x0))

А если в общем виде V=V0 +at?

То получаем уравнение: x = x0 +V0t +at2/2
На карточках для каждой группы предложены задания. Выполните их, пожалуйста.
Задания на карточках – приложение 2
Проверяем работу групп. Записываем краткое решение второй задачи на доске (по 1 человеку от группы)

3.7.(Ф): Ещё одна задача, из другой области физики: Давайте вспомним, что такое сила тока. (Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника в единицу времени)

I=

Если ток переменный, мы переходим к мгновенному значению силы тока, т.е. к производной i=q1.

Предположим i = 2. (РЛ5) Как найти q, т.е. первообразную для i?

3.6. (М): Но в таблице нет первообразных для тригонометрических функций. Дополним её. (РЛ4).

 3.7. (Ф): Решаем задачу: q= -

А как решить задачу, если i = 2

3.8. (М):

Одной таблицы уже не достаточно. Приходим к необходимости ввести правила вычисления первообразных. (РЛ6)
Учащиеся решают задачу, и получают: q= -

4. Рефлексия

5.1. (Ф): Достигли ли мы поставленной цели урока?

5.2. (М): Как вы думаете, какие ученые стояли у истоков процесса интегрирования?

5.3. (Ф): - Нужна ли физику математика? (Обсуждение с учащимися)

- А математику физика?

(Ф): Постановка задач на будущее от физика. Для физики интегрирование - это сложение величин при непрерывных процессах. (масса в стакане увеличивается непрерывно).

В механике мы выводили формулу для перемещения при помощи графика зависимости скорости от времени. Если рассматривать движение за очень малый промежуток времени (дифференцировать), то можно утверждать, что площадь под графиком за этот промежуток времени численно равна перемещению (движение почти равномерное). А чтобы найти общее перемещение, нужно сложить перемещения за все промежутки времени. Таким образом мы найдем, что перемещение численно  равно площади под графиком зависимости V(t). Следовательно мы переходим к интегрированию.

(М): Подобные задачи мы сможем решить, выяснив, в чем заключается геометрический смысл интегрирования.

(Ф): Ещё одна задача на будущее. Нужно определить мощность переменного тока. Мощность Р = UI – для постоянного тока. Но при переменном токе сила тока и напряжение изменяются. Например i = I , а u = U. Можно найти мощность как отношение работы за период, к величине этого периода. А как найти работу А = uit, если ток и напряжение всё время меняются?

6. Домашнее задание

Источники информации

  1. Бойкова В.С., Затиева О.В. Понятие производной в математике и физике, ИД «Первое сентября», https://urok.1sept.ru/articles/651380/
  2. Бойкова В.С., Затиева О.В. Интегрированный урок «Применение производных в математике и физике», ИД «Первое сентября», https://urok.1sept.ru/articles/632921/
  3. Шалашова, М.М. Использование внутрипредметных связей как условие преемственного развития базовых знаний учащихся / М.М. Шалашова // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых: тезисы докладов: Ч. I.– Н.Новгород, 2000. – С. 304-306. (0,17 п.л.).
  4. Буховцев Б.Б., Мякишев Г.Я., Физика 11. Просвещение, 2008.
  5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10-11. Мнемозина, 2008.
  6. D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)