Урок на тему "Метод областей". 11-й класс

«Считай несчастным тот  день и тот час,
вк оторый ты  не усвоил ничего нового  и ничего
 не прибавил  к  своему образованию».
Я.А Коменский

Тип урока: урок-обобщения и систематизации знаний учащихся.

Цели  урока:

Образовательная цель:

• создать условия для систематизации, обобщения знаний и умений обучающихся по применению различных методов решения  неравенств;

Воспитательная цель:

• воспитание нравственных качеств личности, таких как ответственность, аккуратность, дисциплинированность;
  
• воспитание культуры общения.

Развивающая цель:

• развитие у учащихся умений выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли;
  
• развитие  психических процессов, таких как память, внимание, мышление, а также наблюдательности, активности, самостоятельности.
  

Задачи:

• формировать умение классифицировать  неравенства по методам решения;
• закрепить навыки решения  неравенств различными методами;
• отрабатывать навыки самоконтроля с целью подготовки к итоговой аттестации;
• воспитывать чувство коллективизма, ответственности.

Оборудование:

• Компьютер
• Мультимедийный проектор, звуковые колонки
• Программа «MicrosoftPowerPoint 2003»

Методы обучения:

•  частично-поисковый метод,
• репродуктивный,
• обобщающий.

План урока.

План урока рассчитан на 2 учебных часа (90 мин)

1. Организационный момент.
2. Вступительное слово учителя.
3. Повторение теории.
4. Решение неравенств  различными методами (варианты ЕГЭ)
5. Самостоятельная работа с самопроверкой.
6. Итог урока.
7. Рефлексия.

Ход урока

I. Организационный момент

«То, что мы знаем, - ограничено, а то чего
мы не знаем, - бесконечно».

Приветствие учащихся.Ученики под руководством учителя проверяют наличие дневника, рабочей тетради, инструментов, отмечаются отсутствующие, проверяется готовность класса к уроку, учитель психологически настраивает детей на работу на уроке.Формулируется тема и цели урока. Знакомство с этапами урока.

II. Вступительное слово учителя

Для успешного исследования многих задач повышенной сложности полезно уметь строить не только графики функций, но и множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют заданным уравнениям, неравенствам или их системам. Эффективно строить на координатной плоскости такие множества позволяет метод областей. Это весьма полезный прием можно назвать обобщающим методом интервалов.
Метод областей особенно полезен при решении уравнений или неравенств с параметром. Применение метода интервалов в таких случаях затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. В этой ситуации нам может помочь метод областей.

III. Повторение теории

Метод интервалов на координатной прямой и метод областей на координатной плоскости.

Точка х=а   разбивает числовую прямую  на два множества, задаваемые неравенствами x < a и x > a

Всякая действительная кривая на координатной плоскости, заданная уравнением F(x;y)=0 разбивает координатную плоскость на конечное число областей, в каждой из которых для всех точек области выполняется только одно из неравенств:  F(x;y)>0 или  F(x;y)<0.

Заметим, что переменные, входящие в уравнение, задающее кривую, могут иметь другие идентификаторы

Примеры

Всякая прямая, заданная уравнением  y=kx+p, разбивает плоскость на области, в каждой из которых выполняется одно из неравенств:  y>kx+p  или  y<kx+p

Прямая, заданная уравнением x=c, разбивает координатную плоскость на области, в каждой из которых выполняется одно из неравенств:  или  x<c , или  x>c

Решением системы неравенств с двумя переменными являются координаты точек пересечения множеств, удовлетворяющих одному из неравенств системы

Уравнение y= k(x-x₀) + y₀ задает множество прямых, проходящих через точку с координатами (x₀,y₀).  

При изменении значений параметра прямые  y= k(x-x₀) + y₀ «поворачиваются» вокруг данной точки. При увеличении параметра     прямая поворачивается «против часовой стрелки», при уменьшении – «по часовой стрелке».

Уравнение y=kx+p при фиксированном значении параметра k = k₀ задает семейство прямых, параллельных прямой y=kx+p проходящей через начало координат

Если точка с координатами  лежит «выше» прямой заданной уравнением y=kx+p, то ее координаты удовлетворяют неравенству , если же точка лежит «ниже», то неравенству

Задача

Пусть M – множество точек плоскости с координатами (x; y) таких, что числа x, y, 6-2x являются сторонами некоторого треугольника. Найдите его площадь.

Решение:

Если три числа являются сторонами некоторого треугольника, то это числа положительные и каждое из них меньше суммы двух других чисел. Поэтому, координаты точек, удовлетворяющих условию задачи, будут задаваться системой линейных неравенств с двумя переменными:

Ответ:S=6

Геометрическое место точек на плоскости

Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки на расстояние, равное положительной величине R, называется окружностью.
Уравнением окружности называется уравнение вида

Множество точек, удаленных от данной точки на положительное расстояние, меньшее R, называется кругом. Круг задается неравенством

Множество точек, лежащих вне круга, задается неравенством

Геометрическое место точек на плоскости

Квадратным трехчленом относительно переменной, называется выражение

Графиком квадратного трехчлена является кривая, называемая параболой.
Расположение параболы зависит от знака старшего коэффициента и знака дискриминанта квадратного трехчлена 

Парабола разбивает плоскость на часть, лежащую «над» параболой и лежащую «под» параболой. Первая задается неравенством

, а вторая –    

Метод областей при решении задач с параметрами

Решение:

1. Свойства функций    

2. Графический прием

Параметр – «равноправная» переменная Þ отведем ему координатную ось,  т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию  f(x ;a) >0

Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод:

• В задаче дан один параметр а и одна переменная  х
• Они образуют некоторые аналитические выражения F(x;a), G(x;a)
• Графики уравнений F(x;a)=0,G(x;a)=0 строятся несложно

Схема решения:

1. Строим графический образ
2. Пересекаем полученный график прямыми, перпендикулярными параметрической оси
3. «Считываем» нужную информацию

Обобщенный метод областей («переход» метода интервалов с прямой на плоскость)

Неравенства с одной переменной

Метод интервалов

1. ОДЗ
2. Корни
3. Ось
4. Знаки на интервалах
5. Ответ

Неравенства с двумя переменной

Метод областей

1. ОДЗ
2. Граничные линии
3. Координатная плоскость
4. Знаки в областях
5. Ответ по рисунку

IV. Решение неравенств

Пример №1

Найти все значения параметра p, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства

Применим обобщенный метод областей.

 1. Построим граничные линии

 2. Определяем знаки в полученных областях и получаем решение 1 неравенства

3.  Из полученного множества исключим решение

Пример № 2

При каких значениях параметра а система неравенств не имеет решений.

Решение:

1. Рассмотрим 1 неравенство и получаем  

2. Рассмотрим 2 неравенство и получаем 

3. Заметим, что исходная система неравенств равносильна системе:

4. Изобразим систему неравенств в виде плоской фигуры на координатной плоскости. Для этого введём параметрическую плоскость Oax

5. Мы получили плоскую фигуру, множество точек которой является решением системы.

Таким образом, отвечая на вопрос задачи, решений системы нет при

Пример №3

При каких положительных значениях параметраа система уравнений имеет ровно 4 решения.

Решение:

1. Запишем систему в следующем виде:

2. Построим график 1 уравнения.

3. Построим график 2 уравнения – семейство окружностей с центром в точке (2; 0) и радиусом а.

Ответ: при  

V. Самостоятельная работа с самопроверкой

Вариант 1.

На координатной плоскости  изобразите множество точек,  удовлетворяющих неравенству

Решение:

1. ОДЗ:

2. Строим граничные линии:

3. Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение.

Ответ: заштрихованная область на рисунке

Вариант 2

На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству   

Решение:

1.  На координатной плоскости нарисуем линии определённые равенствами   x-y=0 и xy-1=0, которые разбивают плоскость на несколько областей.
2.  Определяем знаки в областях.

Ответ: заштрихованная область на рисунке

VI. Итог урока

(подвожу итог, комментирую работу учащихся, сообщаю оценки за урок.)

VII. Рефлексия.

Продолжите фразу:

• Было трудно…
• Меня заинтересовало…
• Мне захотелось…
• Меня удивило…

Ребята. На этом урок окончен. Спасибо за урок!    

Литература.

1. П. И. Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. — М.: Илскса, Харьков: Гимназия, 2005,- 328 с.
2. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.
3. Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ-2007. Математика. М.: ООО «РУСТЕСТ», 2006. - 108с. Сост. - Клово А.Г.
4. Задачи с параметром и другие сложные задачи.  Козко А.И., Чирский В.Г. М.: МЦНМО, 2007. - 296с.
5. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Козко А.И., Панферов В.С., Сергеев И.Н., Чирский В.Г.