В предыдущих очерках, [1], [2, [3], [4], [5] и [6] рассказывалось о реализуемой в ГБОУ “школа Интеллектуал” авторской программе углублённого интенсивного обучения математике одарённых детей, начиная с первого класса. В этой статье мы продолжим рассказ о ходе этого эксперимента, описывая основное содержание конспектов №№16 - последнего конспекта, посвящённого геометрии, проходившегося ещё в 5-м классе, но не рассмотренного в предыдущих статьях, и конспекта №17, дававшегося обучающимся в качестве домашнего задания на лето после окончания ими 5-го класса.
Он, естественно, проверялся как обычное домашнее задание, правда, ввиду значительности его объёма, оценивался не одной оценкой, а многими (как минимум, 6-ю) и в течение первого полугодия на занятиях разбирались те задачи из него, которые кто-либо из учеников летом самостоятельно не осилил.
Помимо, собственно, решений, от обучающихся требовалось самостоятельно, по условию начертить к каждому заданию чертёж и кратко, символически, её записать (что дано, и что требуется найти или доказать). К наиболее трудным задачам даются подсказки, причём они намеренно написаны на английском языке, чтобы, эксплуатируя естественную склонность человека к экономии трудозатрат, рассчитывать на то, что ученик постарается вначале обойтись без них, “войдёт в задачу” и, возможно, решит её сам, без помощи, а потом сравнит своё решение с решением, намеченным подсказкой.
Упражнение №1.
Высоты, проведённые из вершины тупого угла параллелограмма, делят его стороны пополам. Найти углы этого параллелограмма.
Упражнение №2.
Высоты, проведённые из вершины тупого угла параллелограмма равны 6см и 10 см соответственно, образуя друг с другом угол 30° . Найдите стороны этого параллелограмма.
Упражнение №3.
Медиана ВМ D АВС составляет со сторонами АВ и ВС углы 90o и 60o соответственно. Во сколько раз медиана ВМ меньше стороны ВС?
Упражнение №4.
В треугольнике АВС медиана АМ равна 4см, сторона АВ равна 12 см, а сторона АС – 8см.
АN – биссектриса треугольника АМС. Найдите 
ВАN.
Упражнение №5.
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит прямой угол при вершине прямоугольника в отношении 3:1. Какой угол составляет этот перпендикуляр с другой диагональю?
Упражнение №6.
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, равную 8 см, делит её в отношении 3:1. Найдите расстояние от центра прямоугольника до его большей стороны.
Упражнение №8.
Докажите, что точка пересечения биссектрисс углов А и D параллелограмма ABCD лежит на одной прямой с серединами сторон AD и BC.
Упражнение №10.
Через точку квадрата провели прямую, пересекающую прямые, содержащие противоположные стороны квадрата в точках Е и F. Через эту же точку провели вторую прямую, перпендикулярную первой, пересекающую вторую пару параллельных прямых, содержащих стороны квадрата, в точках G и H. Докажите, что EF=GH. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Упражнение №12.
Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон постоянна.
Выведите отсюда, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника, до его сторон постоянна.
Упражнение №13*.
В выпуклом пятиугольнике ABCDE известно, что AE=AD,
AC=AB и AEB+ABE = DAC.
Докажите, что сторона CD вдвое больше одной из медиан треугольника ABE.
Упражнение №15.
На сторонах выпуклого четырехугольника, как на диаметрах, построены 4 круга.
Докажите, что они покрывают весь четырехугольник.
Упражнение №16.
На сторонах выпуклого четырехугольника, как на диаметрах, построены 4 окружности.
Докажите, что общая хорда двух окружностей, построенных на двух соседних сторонах, параллельна общей хорде двух других окружностей.
Упражнение №17.
Докажите, что точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, сами эти вершины и центр его вписанной окружности лежат на одной окружности.
Упражнение №18.
АВ – диаметр окружности a, а В – центр
окружности 
. Прямая,
проходящая через А пересекает второй раз
окружность a в точке К, а окружность - в точках M и N. Докажите, что
МК=КN.
Упражнение №19.
На сторонах АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности, пересекающиеся второй раз в точке Е. Докажите, что Е?ВС.
Упражнение №20.
На биссектрисе AD треугольника АВС, как на диаметре, построена окружность. Она пересекла АВ и АС второй раз в точках M и N соответственно. Докажите, что АM=AN.
Упражнение №21.
Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине А треугольника АВС пересекают прямую ВС в точках P и Q. Докажите, что окружность построенная на отрезке PQ, как на диаметре, проходит через точку А.
Упражнение №22.
Каждая из двух взаимно перпендикулярных хорд окружности делится другой на отрезки, равные a и b (a>b). Найдите расстояние от центра окружности до каждой хорды.
Упражнение №23.
На противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма ABCD, вне его, построены равные треугольники ABE и CDF, причём AE=CF и BE=DF. Докажите, что ЕF проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD и делится в этой точке пополам.
Упражнение №24.
На противоположных сторонах АВ и CD параллелограмма, вне его, построены два квадрата.
Докажите, что прямая, соединяющая их центры проходит через центр параллелограмма.
Упражнение №25.
Дан параллелограмм ABCD. Через произвольную точку М, не лежащую на прямых, содержащих его стороны, провели прямые, соединяющие М с вершинами ABCD. Затем через вершины A, B, C и D провели прямые, параллельные прямым MC, MD, MA и MB соответственно. Докажите, что все эти прямые пересекутся в одной точке.
Упражнение №26.
В прямоугольном треугольнике один из углов равен трети прямого угла.
Докажите, что отрезок серединного перпендикуляра к гипотенузе, заключенный внутри треугольника, втрое меньше большего катета.
Упражнение №27.
Точка К – середина стороны АВ квадрата ABCD, точка L расположена на диагонали АС, причём AL:LC=3:1. Найти угол KLD.
Упражнение №28.
В треугольнике один из углов равен 120?. Докажите, что треугольник, образованный основаниями его биссектрис – прямоугольный.
Упражнение №29.
Острый угол прямоугольного треугольника равен 30o, а гипотенуза равна 8. Найти отрезки, на которые гипотенузу делит высота, проведённая из вершины прямого угла.
Упражнение №30.
Острый угол прямоугольного треугольника равен 30?. Докажите, что высота и медиана, проведённые из вершины прямого угла, делят его на три равные части. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Упражнение №31.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1, а один из острых углов равен 15?o Найдите гипотенузу.
Упражнение №32*.
Из вершины А треугольника АВС опущены перпендикуляры АМ и АР на биссектрисы внешних углов В и С. Найдите отрезок РМ, если периметр треугольника АВС равен 10.
(hint: circumference, circumscribed around AMP contains also point D – center of an external circumference of the triangle ABC. If it crosses lines AB and AC in points K and L, then AK=AL=5. Compare angles MAP and APL).
Упражнение №33.
Окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС, и касается катета АС. В каком отношении точка касания делит катет АС?
Упражнение №34.
ВВ1 и СС1 – медианы треугольника
АВС. На продолжении медианы СС1 за точку С1
отложен отрезок С1С2=
СС1. Оказалось, что С2В1=АВ1.
Докажите, что СС1 
ВВ1.
Упражнение №35.
Высоты остроугольного треугольника АВС, проведённые из вершин В и С, равны 7 и 9, а медиана АМ равна 8. Точки Р и Q симметричны точке М относительно прямых АС и АВ соответственно. Найдите периметр четырехугольника АРМQ.
Упражнение №36.
На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС взяты соответственно точки M и N так, что ВМ=CN. Докажите, что середина отрезка MN лежит на средней линии треугольника АВС, параллельной его основанию АС.
Конспект №17. Летнее ДЗ для (будущего) 6-го класса
Целью настоящего конспекта является повторение, закрепление и углубление материала, являвшегося предметом изучения в ходе учебного года в 5-ом классе. Он, как всегда, содержит и дополнительныех сведенияй, оформленные как упражнения.
Принцип непрерывности обучения предполагает, что изучение предмета не должно иметь больших, длительных перерывов, чтобы материал не успел забыться, выветриться из голов. Лучше всего начать заниматься этим конспектом не раньше, чем через 2 недели после окончания учебного года, чтобы успеть отдохнуть от учёбы, и закончить не позднее, чем за 2 недели до начала учебного года, чтобы, опять-таки, успеть отдохнуть перед учёбой!
Как и раньше, вначале у всех имеются 6 двоек: 222222. Затем. За каждую пару решённых задач добавляется 1 балл. Таким образом, после 36 правильно решённых задач 6 двоек превращаются в 6 пятёрок: 555555. За каждую решённую после этого задачу ставится “5”, так что теоретически возможное число пятёрок за этот Летний конспект равно 25, при этом в одном модуле не может быть более 6 пятёрок, полученных за Летний конспект.
Многочлены
Упражнение №2
Разложите многочлен Р(х)=х3+2х2-3х-2 по степеням бинома х-2: Р(х)=Q(x-2).
То есть, найдите (методом неопределённых коэффициентов) коэффициенты многочлена Q(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0
Упражнение №3. Разложить на множители многочлен и решить уравнение x4-4x3+5x2-4x+4=0
Упражнение №4. Разложить на множители многочлен 1+x+y+z+xy+yz+xz+xyz
Упражнение №5.
Пусть Р(Х) и Q(X) – многочлены, а – число. Найдите остаток от деления Q(P) на P-a.
Упражнение №6.
Предполагая, что degP>1, найти остаток от деления многочлена Р(Р) на многочлен Р-х
Упражнение № 7*. Найдите остаток от деления n-кратной композиции Р(Р(...)) на Р-а.
Упражнение № 8*
Найдите остаток от деления n-кратной композиции Р(Р(...)) на Р-х, предполагая degP>1.
Упражнение № 9*. Найдите остаток от деления Р(Р) на Р-х-а, предполагая degP>1.
Комбинаторика
Упражнение №10
Сколькими способами можно поставить оценки в классе из 21 человек (оценки ставятся по 5-балльной системе от 2 до 5 включительно).
Упражнение №11.
Сколькими способами можно в классе из 21 человека назначить старосту и двух его заместителей? (Заместители не различаются по своим функциям).
Упражнение №12.
Сколькими способами 7 учеников могут составить “поезд” из 7 одноместных вагончиков на аттракционе?
Сесть на карусель из 7 мест?
Упражнение №13.
Сколько существует семизначных телефонных номеров (могут, в отличие от чисел, начинаться и с 0) в которых не встречаются цифры 5 и 7?
Две одинаковые цифры не идут подряд?
Есть хотя бы две одинаковые цифры?
Упражнение №14. Сколько существует различных способов раскраски граней куба 6-ю цветами?
Геометрия
Упражнение №17.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD построены равносторонние треугольники ВСМ и DCN, расположенные по разные стороны с параллелограммом от прямых BC и CD. Докажите, что треугольник AMN – равносторонний.
Упражнение №19.
Сторона АВ параллелограмма ABCD равна 1, а биссектрисы углов А и D делят сторону ВС на 3 равные части. Найдите все возможные значения периметра параллелограмма.
Упражнение №20.
Найдите стороны и углы параллелограмма ABCD, если периметр его равен 40, а высота и биссектриса угла, проведённые из вершины В, делят сторону AD на 3 равных по длине отрезка.
Упражнение №21.
Сторона ВС параллелограмма ABCD вдвое больше стороны АВ. Биссектрисы углов А и В пересекают прямую CD в точках M и N, причём MN=12. Найдите стороны параллелограмма.
Упражнение №22.
А1, В1, С1 – образы
произвольной точки О внутри треугольника АВС
относительно середин его сторон ВС, АС и АВ
соответственно. Докажите, что 
АВС= А1В1С1
и прямые АА1, ВВ1 и СС1
пересекаются в одной точке (т.е., конкуррентны).
Упражнение №23.
Диагональ АС параллелограмма АВСD равна 24, а диагональ BD=8, и они пересекаются под углом 60o. Найдите длину отрезка, соединяющего вершину D с серединой стороны ВС, если известно, что угол BDC – тупой.
Упражнение №24.
Сторона АВ треугольника АВС больше стороны ВС,
а А=40o. D 
AB, BD=AC, M BC, BM=MC, N AD, AN=ND. Чему
равен BNM?
Hint: the problem is that equal segments here are situated uncomfortably – in different places, so it is difficult to use the fact they are equal. We already met with this situation and know what to undertake: to place them next to each other and they will make an equilateral triangle.
Упражнение №25.
В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали четырехугольника равны. (Hint: again, as in the previous exercise, substitute diagonals with certain segments, situated more conveniently to each other and the segment MN).
Упражнение №26.
Докажите, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Hint: look for similar triangles. As a consequence, prove the following statement:
Упражнение №27.
Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС. Докажите, что расстояние между серединами отрезков ВС и АН равно радиусу описанной окружности треугольника АВС.
Текстовые задачи
Упражнение №28.
Связной идёт по дороге к штабу со скоростью 6км/ч. В 9:00 он выпустил голубя с письмом, тот доставил письмо и вернулся к связному в 9:45. В какой момент времени голубь доставил письмо, если он летел всё время со скоростью 10км/ч?
Упражнение №29.
(Китай, IIв) Всей деревней в складчину покупают буйвола. Если каждые 7 семей внесут по 190 юаней, то для покупки буйвола не хватит 330 юаней, если же каждые 9 семей внесут по 270 юаней, то смогут купить буйвола и ещё останется 30 юаней. Сколько семей живёт в этой деревне и сколько стоит буйвол?
Упражнение №30.
Два парома курсируют между двумя берегами реки с постоянными скоростями. Достигнув берега, каждый из них тут же отправляется обратно. Паромы отчалили от противоположных берегов одновременно, и первый раз встретились в 700м от одного из берегов, поплыли дальше каждый к соответствующему берегу, затем повернули назад и вновь встретились в 400м от другого берега. Найдите ширину реки.
Упражнение №31*(Геофак МГУ, 2004)
Две группы геологов исследуют маршрут, проходящий от пункта А через пункт В в пункт С. Первая группа проходит весь путь за 2 дня, а вторая за 3 дня. Расстояние между А и В вдвое меньше расстояния между В и С. Скорости движения групп на участках АВ и ВС постоянны, но на участке АВ скорости обеих групп в m раз меньше, чем их скорости на участке ВС. Группы выходят одновременно из А и С навстречу друг другу. Если первая группа выходит из А, а вторая из С, то они встречаются в В. Если же первая выходит из С, а вторая из А, то они встречаются в пункте D. Найдите m. Какую долю всего маршрута (от А до С) составляет участок между В и D?
Упражнение №32*
Пункты А и В соединены двумя дорогами. Первая дорога в два раза короче второй и проходит через пункт С. Одновременно, по короткой дороге, из пунктов А и В выехали, соответственно, грузовик и мотоцикл. Доехав до пункта С, каждый из них вернулся в свой исходный пункт и продолжил движение по другой дороге. Грузовик и мотоцикл прибыли соответственно в пункты В и А одновременно. Скорости грузовика и мотоцикла постоянные. Если грузовик бы двигался со скоростью мотоцикла, а мотоцикл – со скоростью грузовика, то в момент возвращения мотоцикла в пункт В, грузовик также прибыл бы в этот пункт. Найти отношение скоростей грузовика и мотоцикла и время движения грузовика с момента начала движения до встречи с мотоциклом на второй дороге, если известно, что в пункт С он добрался на 35 минут раньше мотоцикла.
Упражнение №33*
Между вокзалом и аэропортом курсируют такси, каждая из которых имеет свой порядковый номер – 1,2,... Движение организовано так, что такси отъезжает от вокзала в 6:00, а за ним с интервалом в 7 минут начинают работу согласно своим номерам остальные машины. После начала работы каждое такси курсирует туда и обратно независимо от остальных, делая стоянки в течении 5 минут по прибытии в любой из пунктов назначения. Известно, что каждое такси, отправляясь к аэропорту и обратно, тратит на первый км пути 2 мин, а на каждый последующий км на 1/9мин меньше, чем на предыдущий. Пассажир отъехал от аэропорта в 9 часов 44 минуты. Определите номер его такси, зная, что расстояние от вокзала до аэропорта составляет 10 км.
Разные задачи
Упражнение №34.
Стадо инозавров с острова можно вывезти за 19 рейсов на корабле с 106 посадочными местами для динозавров, но нельзя вывезти за три рейса паромом с 671 местом для динозавров. Сколько динозавров в стаде?
Упражнение №35.
При делении числа 2 * 3=6 на 4 получаем в остатке 2. При делении числа 3 * 4=12 на 5 получаем в остатке 2. Верно ли, что остаток от деления произведения двух последовательных натуральных чисел на число, следующее за ними, всегда равен 2? Если верно, то докажите, если нет, то приведите соответствующий пример.
Упражнение №36.
На склад привезли две одинаковые бочки
раствора неизвестной (возможно, разной)
концентрации. Необходимо добиться одинаковой
концентрации в обеих бочках. Имеется третья
пустая бочка и прибор, позволяющий переливать
любое количество раствора из бочки в бочку.
Как добиться равной концентрации в обеих бочках?
Та же задача для трёх и для n одинаковых бочек
раствора неизвестной концентрации.
Упражнение №39.
На конференции за круглым столом собрались физики и математики, каждый из которых либо Рыцарь, либо Лжец, причём известно, что среди физиков и математиков лжецов поровну. Председатель, подводя итоги, заметил: “интересно, что нас здесь 34 человека, причём физиков столько же, сколько и математиков, однако каждый утверждает, что его сосед справа – математик”. Определите, кем был Председатель - Рыцарем или Лжецом?
Упражнение №40.
Незнайка переставил цифры в некотором числе А и получил число В, причём разность А-В оказалась числом, записанном с помощью только одних единиц. Какое наименьшее число могло при этом получиться?
Упражнение №43.
Назовём дроби 
и 
с натуральными числителями и знаменателями соседними,
если ad-bc= 
1. Докажите, что
а) соседние дроби несократимы;
b) дробь 
всегда находится между дробями и , а если они соседние, то она
является соседней по отношению к каждой из них;
с) никакая дробь 
с натуральным числителем и
знаменателем, у которой f < b+d не находится между
соседними дробями и .
Упражнение №44.*
Метровый стержень разделили на 7 равных частей
красными пометками и на 13 равных частей синими
пометками. Затем его распилили на 20 равных
частей. Докажите, что на всех распиленных частях,
кроме двух крайних будет ровно по одной пометке
– синей или красной.
(hint: use the previous exercise and show, that on each part there will be no more,
than one mark)
Упражнение № 45.*
Среди натуральных чисел, меньших 100, выбрали 51 различное число.
Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел,
что никакие два из выбранных не будут иметь
одинаковых цифр ни в одном разряде.
(hint: use Dirichlet principle (or principle of boxes, drawer principle). One can find
ten which holds 6 of these numbers. Continue.)
Упражнение № 47.*
По окончании бальных танцев их участники назвали число своих выступлений: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь? Мальчики обязательно танцуют с девочками!
(mark participant as odd or even depending on the number of dances he/she had been participating in. Watch how it changes with each new dance)
Целочисленные задачи
Упражнение № 48*.
Докажите, что из любых n целых чисел {a1,...,an}
можно выбрать несколько, сумма которых
делится на n.
(Hint: let’s look at S0=0, Sk=a1+...+ak
Think of Simodn and take advantage of Dirichlet principle.)
Упражнение № 49*.
Даны n-1 натуральное число {a1,...,an-1},
причём все они строго больше нуля и меньше n: 0<ai<n,
i = 1, 2,...n-1. Известно также, что сумма любой
комбинации этих чисел не делится на n: 
k, 0<k<n 
любых k чисел из {a1,...,an-1}
0(mod n).
Докажите, что все эти числа ai равны между
собой.
(Hint: let’s assume, that a1?a2. Set S0=a1,
S1=a2, S2=a1+a2,...Sn-1=a1+a2+...+an-)
Упражнение № 50.
Пусть теперь р – простое число, а m – любое
число, не кратное р: m0 (mod p).
Тогда среди р-1 кратного m, а именно, m, 2m, 3m,...(p-1)m
встречаются все остатки от деления на р, кроме,
разумеется, 0: {im(mod p)}={1,2,...,p-1}, i=1,2,...,p-1.
(it also follows from the Dirichlet principle and the fact, that ab 
0(mod p) —> a 0mod p 
b 0(mod p)
Упражнение № 51**.
Если у нас имеется р-1 натуральное число, (p -
простое) никакое из которых не кратно простому
числу р, и m – любое число от 0 до р-1, то можно из
некоторых этих чисел составить сумму, которая в
остатке от деления на р даст именно m.
Иными словами, если имеются {a1,...,aр-1}, ai0(mod р) i=1, 2,...р-1 и 0
m
p-1, то среди чисел a1,...,aр-1 можно
выбрать какие-то числа b1,...,bk так что (b1+...+bk)
m(mod p). Это-то и
требуется доказать. (Hint: let’s build step by step procedure: step
k means that we consider all possible sums of first k numbers in the list, a1,...,ak,...,ap-1
and corresponding remainders m1,...,mr they produce after
division into p. When k=0 we take no numbers and the only sum is 0, thus m0=0;
when k=1 we also have just one sum –a1 and m1?a1(mod
p). When k=2 we already have three combinations, a1, a2, and a1+a2.
Prove, that transition from step #k to step #k+1 always adds new remainders (at least one)
to the list, if only on step #k we did not get all of them already. Assume the opposite.
Say, ak+1(mod p)?t. Then (m1+t)mod p,..., (mr+t)mod p
is just the subset of the same set {m1,...,mr}. Think of (m1+2t)mod
p,..., (mr+2t)mod p, etc.)
Упражнение № 52.
Рассмотрим утверждение Р(n): “среди любых 2n-1 целых чисел можно выбрать n таких, что их сумма будет делиться на n”. Например, Р(2) означает, что “среди любых (2x2-1=3) трёх целых чисел можно найти два, сумма которых будет делиться на 2”, Р(3) означает, что “среди любых (2x3-1=5) пяти целых чисел можно найти три, сумма которых будет делиться на 3. Допустим, что нам известно, что истинны оба высказывания P(n) и P(m). Выведите отсюда, что тогда истинно также и высказывание P(mn).
Упражнение № 53.
Пусть у нас имеются 2n-1 чисел, среди которых не
более n-1 одинаковых. Докажите, что их можно
расположить в последовательность a1,...,an-1,an,an+1,...,a2n-1таким
образом, что akan+k k=1, 2,...,n-1.
Например, три числа, (n=2) можно упорядочить,
поместив неравные числа первым и последним, 5
чисел (n=3), среди которых нет трёх одинаковых (но
могут быть пары равных друг другу) можно
упорядочить так, как это показано на рисунке.
Возможно, вам пригодится математическая
индукция (база-то у вас уже есть!).
Упражнение № 54.*
Пусть теперь q – простое число. Докажите
истинность утверждения Р(q): “среди любых 2q-1
целых чисел можно выбрать q таких, что их сумма
будет делиться на q”.
(order these numbers the way that makes (aq+k-ak)0(modq) k=1, 2,...,q-1. Let S= a1+...+aq.
Let S(modq) r. Show, that among q-1 numbers (aq+k-ak)
one can chose some so that their sum (q-r)mod
q. Finish the proof)
Упражнение № 55.
А теперь докажите утверждение Р(n) n:
среди любых 2n-1 целых чисел можно выбрать n таких, что их сумма будет делиться на n.
Посмотреть, как реализуется описываемая методика преподавания математики другими педагогами и в других образовательных учреждениях, можно на сайте www.abramson.xyz
Литература.
[1] Абрамсон Я.И. Обучение одаренных детей математике. 1-й класс (2010 / 2011 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/602405/
[2] Абрамсон Я.И.
Обучение одаренных детей математике. 2-й класс (2011 / 2012 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/619698/[3] Абрамсон Я.И.
Обучение одаренных детей математике. 3-й класс (2012/2013 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/631585/[4] Абрамсон Я.И.
Обучение одаренных детей математике. 4-й класс (2013/2014 уч/ год) https://urok.1sept.ru/articles/644130/[5] Абрамсон Я.И. Обучение одарённых детей математике. 5-й класс (2014/2015 год) https://urok.1sept.ru/articles/654861/
[6] Абрамсон Я.И. Обучение одарённых детей математике. 5-й класс 2-е полугодие (2015/2016 год) https://urok.1sept.ru/articles/660350/
[7] Абрамсон Я.И. Математика. 1 класс. Книга для учителя. Спб, 2015.
[8] Абрамсон Я.И., Берёзкина С.Г. Уроки математики в первом классе. Спб, 2013.
[9] Абрамсон Я.И. Экспериментальное обучение математике в начальной школе. Вопросы психологии, 2015, №1
[10] Абрамсон Я.И Математика 2 класс. Книга для учителя. Спб, 2015