1. Ладья стоит на поле al. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией?
РЕШЕНИЕ: Выигрышная стратегия есть у второго игрока: каждым ходом он может возвращать ладью на диагональ a1-h8. Первый игрок вынужден будет каждый раз уводить ладью с этой диагонали. Поскольку поле h8 принадлежит диагонали a1-h8, на него сумеет поставить ладью именно второй игрок.
2. Двое играют на шахматной доске, передвигая по очереди одного короля, начальное положение которого – правый верхний угол. Допускаются ходы на одно поле влево, вниз или влево-вниз по диагонали. Выигрывает тот, кому удастся поставить короля на левый нижний угол. Кто выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Выигрывает первый игрок, если свой первый и последующие ходы он совершает на черные поля параллели находящейся ниже текущей.
3. Двое по очереди ставят по одному коню на шахматную доску. Нельзя ставить фигуру под бой ранее поставленной (не важно, самим игроком или его противником) фигуры. Кто не может сделать ход, проигрывает. Кто победит при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок. Для него существует выигрышная стратегия, основанная на симметрии: для победы ему достаточно всякий раз делать ход, симметричный ходу первого игрока относительно центра доски.
4. Двое по очереди ставят слонов на клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет.) Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией?
РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок. Для него существует выигрышная стратегия, основанная на симметрии: для победы ему достаточно всякий раз делать ход, симметричный ходу первого игрока относительно вертикали (горизонтали), делящей игровое поле пополам.
5. Квадрат разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер.
РЕШЕНИЕ: Выигрывает тот, кто вступает в игру вторым, его стратегия такова: в ответ на любой ход начинающего он ставит фишку на клетку, расположенную на диагонали, идущей из правого верхнего угла.
6. Прямоугольник разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди, за ход разрешается передвинуть фишку на любое число квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
РЕШЕНИЕ: Рассмотрим диагональ из клеток, начиная с верхней правой. Выигрывает начинающий, если первым своим ходом ставит фишку на указанную диагональ, а затем в ответ на каждый ход противника возвращает фишку на эту диагональ.
7. Дана белая доска размером 100 х 100 клеток. Двое по очереди красят ее клетки в черный цвет, причем первый всегда закрашивает квадрат 2 х 2, а второй— три клетки, образующие “уголок”. Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
РЕШЕНИЕ: Второй выигрывает.
В одном из углов доски второй играющий своим первым ходом закрашивает три клетки в прямоугольнике 2x3 (рис. 13), а три оставшиеся клетки из этого прямоугольника объявляет "заповедником". В дальнейшем второй делает любые возможные ходы, не затрагивающие клетки "заповедника". Если такой ход становится невозможным, то он закрашивает клетки заповедника. Легко понять, что ответного хода у первого играющего нет.
8. Дана полоска клетчатой бумаги длиной в 100 клеток. Двое играющих по очереди красят клетки в черный цвет, причем первый всегда красит четыре подряд стоящие клетки, а второй — три подряд стоящие. Уже покрашенную клетку второй раз красить нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре: первый или второй?
РЕШЕНИЕ: При правильной игре выигрывает второй.
Своим первым ходом второй игрок закрашивает три клетки, отступив на три клетки от одного из краев полосы (рис. 14) и объявив три не закрашенные крайние клетки “заповедником”.
В дальнейшем второй игрок может делать любые возможные ходы, не вторгаясь в заповедник. Если таких ходов у него больше не осталось, то он закрашивает клетки заповедника. Разумеется, у первого игрока в такой ситуации ответного хода нет.
9. Двое по очереди записывают натуральные числа от 1 до 25 в клетки таблицы 5x5, причем каждое число может быть записано только один раз. Если после заполнения всей таблицы сумма чисел в каком-нибудь столбце или в строке равна 70, то выигрывает начинающий, в противном случае выигрывает его соперник. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть, чтобы выиграть?
РЕШЕНИЕ: Выигрывает начинающий.
| 24 | ||||
Начинающий первым ходом ставит в угол число 24. Затем он разбивает все клетки на пары (рис. 15), а числа— на 11 “хороших” пар с суммой 23 (1 + 22, 2 + 21,.... 11 + 12) и одну “плохую” пару 23, 25. В дальнейшей игре, после того как второй игрок записывает число в какую-то клетку некоторой пары, первый ставит парное по отношению к нему число в оставшуюся клетку. “Плохая” пара одна, значит, ее нет либо в строке, либо в столбце, содержащем 24, а 24 в сумме с двумя хорошими парами дает 70.
Симметричная стратегия.
В строчку написано несколько минусов. Два игрока по очереди переправляют один или два соседних минуса на плюс. Выигрывает игрок, переправивший последний минус. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
РЕШЕНИЕ: Начинающий выигрывает, разбив первым ходом минусы на два "куска" равной длины. После этого начинающий может каждым ходом переправлять минусы, симметричные тем, которые перед этим переправил второй.
Двое покрывают поверхность стола монетами одного достоинства. (Монеты кладут без нахлеста.) Проигрывает тот, кто не сможет положить монету. Кто выигрывает при правильной игре
РЕШЕНИЕ: Выигрывает первый игрок, если свой первый ход он делает в центр стола, а последующие симметрично тем, которые делает второй игрок. (Симметрия может быть как центральная, так и центрально-осевая.)
Двое по очереди обрывают лепестки у ромашки, причем за один раз можно оборвать один или два соседних (рядом растущих) лепестка. Выигрывает тот, кто сделает последний ход. Кто выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок, если своим первым ходом он разделит число оставшихся лепестков, на две равные по количеству части, проведя тем самым воображаемую ось симметрии. Осуществляя этот шаг, он должен учесть четное или нечетное количество лепестков было у ромашки первоначально. Затем он повторяет каждый раз ход, сделанный начинающим игроком, симметрично относительно проведенной воображаемой оси.
На доске через запятую выписаны числа 1, 2, ..., 99.
Двое играющих по очереди заменяют одну из
имеющихся запятых на знак “+” или знак “ 
” (“умножить”). После того
как запятых не останется, игроки вычисляют
значение полученного выражения. Если результат
является нечетным числом, то выигрывает первый, а
если четным — второй. Кто выигрывает при
правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Выигрывает второй игрок.
Для достижения успеха второй игрок может пользоваться симметричной стратегией: если первый ставит какой-то знак между числами k и k + 1, то второй ставит такой же знак между числами 99-k и 100 - k. Выражение, которое получится в конце игры, будет содержать несколько слагаемых-произведений, причем слагаемое, содержащее число 50, является четным, а остальные слагаемые естественным образом разобьются на пары “симметричных” слагаемых одинаковой четности. Таким образом, выражение, полученное в конце игры, окажется четным.
На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Если их сумма делится на 3, побеждает тот, кто делал первый ход, если нет – его партнер. Кто из них выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: При правильной игре выигрывает второй игрок, если он, выбрав симметричную стратегию, будет стирать относительно воображаемой прямой, проходящей между числами 500 и 501, числа, симметричные тем, которые стер первый игрок. Каждая такая пара чисел, в том числе и оставшаяся, в сумме дает число 1001, которое не делится на 3, т. к. сумма цифр числа 1001 равна 2.
На окружности даны 20 точек. Двое по очереди проводят хорду с концами в этих точках так, чтобы хорды не пересекались. Проигрывает тот, кто не сможет провести хорду. Кто победит при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Начинающий игрок победит. Его выигрышная стратегия такова: своим первым ходом он проведет хорду, разбивающую остальные 18 точек на две равные части. Каждым следующим ходом будет строить хорды, соединяя точки в том же порядке, как и второй игрок, соблюдая симметрию относительно первой хорды.
Математические игры с цифрами и числами.
Аня и Таня выписывают 8-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Аня. Может ли Таня добиться, чтобы получившееся число делилось на 9?
РЕШЕНИЕ: Может, если во время своего хода она будет приписывать цифру, дающую 9 в сумме с предыдущей цифрой, написанной Аней. По признаку делимости на 9 получившееся 8-значного число будет делиться на 9, так как сумма цифр этого числа, равная 36, делится на 9.
Играют двое. Первый пишет на доске ненулевую цифру. Второй приписывает справа к ней некоторую цифру. Затем первый приписывает слева к получившемуся числу некоторую цифру. Первый стремится к тому, чтобы получившееся на доске трехзначное число делилось на 11, а второй хочет ему помешать. Кто выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Второй игрок не сможет помешать выиграть своему сопернику, если первый игрок, учитывая условия признака делимости на 11, в разряде сотен будет писать цифру, дающую в сумме с цифрой из разряда единиц число, которое при делении на 11 дает остаток, записанный ненулевой цифрой первого хода.
Двое по очереди пишут цифры со старшего разряда по порядку вплоть до младшего. Начинать с нуля нельзя, а остальные цифры — совершенно произвольные. Если число разделится нацело на 11, то победителем объявляется игрок, написавший последнюю цифру, а если не разделится, то победителем считается написавший предпоследнюю цифру. Кто выиграет при правильной игре, если всего должно быть написано: а) 6 цифр; б) 7 цифр?
РЕШЕНИЕ: а) Выигрывает второй, копируя цифры
первого. Получается число вида 
, которое делится на 11.
в) Выигрывает второй, если на втором месте
напишет цифру, которая меньше предыдущей на 1,
затем будет копировать цифры, написанные первым
игроком. Получается число вида 
. Какую бы цифру ни
поставил вместо 
первый
игрок, на 11 число делиться не будет, так как сумма
цифр, стоящих на четных местах, равна а+в+с-1, а
сумма цифр, стоящих на нечетных местах, еще без
последней цифры 
уже равна а+в+с.
В игре "Кто первым назовет число 100", содержащейся уже в собрании задач по "занимательной" математике, составленной Баше в 1612 году, участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Другой прибавляет к названному числу любое целое число от 1 до 9 и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму. Выигрывает тот, кто назовет число 100. Кто выигрывает при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: Второй игрок выигрывает, называя числа, дополняющие число, названное первым игроком до числа, кратного 10.
Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль. Кто выигрывает при правильной игре.
РЕШЕНИЕ: В этой игре выигрывает тот, кто получит единицу. Проигрышными позициями являются нечетные числа. Побеждает первый.
6. На доске сначала написано число 1. Чуня прибавляет к нему 3, 5 или 7. К результату Проня должен прибавить 3, 5 или 7 так, чтобы получилось простое число. Затем опять Чуня прибавляет 3, 5 или 7 и т. д. Если Проня не сможет получить простое число, то он проиграет. Если же Проня получит простое число, большее 100, то он выиграет. Кто выиграет при правильной игре?
РЕШЕНИЕ: В первой сотне есть лишь одна тройка последовательных нечетных составных чисел: 91, 93 и 95. Поэтому единственный шанс остановить игру в пределах первой сотни — получить число 88. Чуня может это сделать, называя числа 8, 18, 28, ..., 88. (В самом деле, если Проня прибавит 3, то Чуня прибавит 7; если 5 — то 5; если 7 — то 3.)
Имеются одинаковые кучи камней. Двое играющих берут по очереди любое число камней из любой кучи, но только из одной. Выигрывает игрок, взявший последние камни. Кто выиграет при правильной игре, если было: а) 2 кучи камней; б) 3 кучи камней?
РЕШЕНИЕ: а) Второй игрок выиграет, поддерживая равенство куч, повторяя ходы начинающего игрока. б) Начинающий выигрывает. Он забирает за один ход все камни из одной кучи, а затем каждым ходом уравнивает количества камней в двух оставшихся кучах.
8. В одной куче 18 конфет в другой – 23. Двое по очереди съедают одну из куч, а другую делят на две кучи. Кто не может поделить (если в куче одна конфета), проигрывает. Есть ли у начинающего выигрышная стратегия?
РЕШЕНИЕ: Да, у начинающего есть выигрышная стратегия: съедает кучу с нечетным числом конфет, а с четным - делит на две кучи, содержащие обязательно нечетное число конфет каждая. Второму игроку ничего не остается делать, как съедать одну кучу с нечетным числом конфет, а другую делить на кучи с четным и нечетным числом конфет. Рано или поздно получатся две кучки, содержащие по одной штучке конфет каждая. Второй игрок съедает одну из конфет и проигрывает.
9. Двое играют в следующую игру: имеется две кучки конфет. Играющие делают ходы по очереди. Ход состоит в том, что играющий съедает одну из кучек, а другую делит на две (равные или неравные) части. Если он не может разделить кучку, так как в ней всего одна конфета, то он ее съедает и выигрывает. В начале в кучках было 33 и 35 конфет. Кто выигрывает, начинающий или его партнер, и как для этого надо играть?
РЕШЕНИЕ: Первым ходом начинающий должен съесть кучку в 33 конфеты, а другую разделить на кучки в 17 и 18 конфет. В дальнейшем он должен играть так, чтобы оставлять партнеру в обеих кучках 5k+2 или 5k+3 конфет (проверьте, что он сможет этого добиться). Таким образом, его партнер вынужден будет делить кучку в 2 или в 3 конфеты и проиграет.
10. Двое играют в следующую игру. Каждый игрок
по очереди вычеркивает одно число из ряда 
до тех пор, пока
не останется два числа. Если сумма этих чисел
делится на 5, то выигрывает первый игрок, если не
делится – то второй. Кто выигрывает при
правильной игре: первый или второй?
РЕШЕНИЕ: Числа этой последовательности можно разбить на 12 "хороших" пар, в которых числа дополняют друг друга в сумме до числа, оканчивающегося цифрой 5 и делящегося на 5 без остатка (например, 1+4, 2+3,…). Только три числа, запись которых оканчивается цифрами 5,6,7, не имеют пары. Первый выигрывает, если он, учитывая это, первым ходом вычеркнет одно из трех чисел, оканчивающееся цифрой 5 (5,15 или 25). Затем, начиная со своего второго хода, будет вычеркивать числа, образующие "хорошие" пары с теми, которые ходом раньше вычеркнул второй игрок, но при этом должен не упустить момент избавиться от "плохой" пары, имеющей числа, в записи которых на последнем месте цифры 6 и 7. От нее он должен избавиться в тот момент, как только второй игрок удалит своим очередным ходом одно из чисел 6,7,16,17,26 или 27 (например, второй вычеркнул 16, тогда первый должен вычеркнуть 7,17 или 27). Это случится раньше, чем закончится игра, т. е. последняя пара чисел будет "хорошей", что говорит о победе первого игрока.
11. Играют двое. Первый называет произвольное целое число от 2 до 9. Второй умножает это число на произвольное целое число от 2 до 9. Затем первый умножает результат на любое целое число от 2 до 9 и т. д. Выигрывает тот, кто первым получит произведение, большее 1000. Кто при правильной игре выигрывает - начинающий или его партнер? Каков секрет победы?
РЕШЕНИЕ: Используя метод "Анализ с конца",
можно числовой промежуток от 2 до 1000 разбить на
числовые промежутки, одни из которых являются
выигрышными позициями, а другие проигрышными
позициями. Так как 
- выигрышная позиция, то 
- проигрышная позиция, 
- выигрышная
позиция, 
-
проигрышная позиция, 
- выигрышная позиция, 
- проигрышная позиция, 
- выигрышная
позиция,
-
проигрышная позиция. Значит, начинающий игрок
выигрывает, если называет число 4,5 или 6, а затем,
выбирает такие числа, которые позволяют
перемещаться по выигрышным позициям. Если его
партнер попал в выигрышную позицию, то
начинающий своим следующим ходом, должен назвать
такое число, которое позволит 
ему опять занять выигрышную позицию. Чтобы
не переводить однажды проигрышную позицию в
выигрышную, можно промежутки , ,
объединить в один промежуток 
, который будет являться
проигрышной позицией.