Тела вращения. Цилиндр

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Далее будем называть это тело цилиндром.

Цилиндр, образованный при вращении прямоугольника AOO₁A₁ вокруг стороны OO₁, которая называется осью вращения (осью цилиндра) и является высотой цилиндра. Основания цилиндра - равные круги, расположенные в параллельных плоскостях. Высотой цилиндра называют также расстояние между плоскостями его оснований. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований, перпендикулярный плоскостям оснований, называется образующей цилиндра (это, например, отрезки A₁A, M₁M, B₁B, N₁N). Все образующие параллельны оси вращения и имеют одинаковую длину, равную высоте цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось вращения. Все осевые сечения цилиндра - равные прямоугольники (это, например, прямоугольники ABB₁A₁ и MNN₁M₁).

Плоскость, содержащая образующую и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной к цилиндру плоскостью. Образующая цилиндра при вращении вокруг оси образует боковую (цилиндрическую) поверхность цилиндра.

На рис. 5.2 показана развертка цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник со сторонами H и C, где H - высота цилиндра, а C - длина окружности основания.

Приведем формулы для вычисления площадей боковой S_б и полной S_n поверхностей

S_б = H·C = 2RH, S_n = S_б+2S = 2R(R+H).

Конус

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом.

Конус, образованный вследствии вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой - нибудь точкой окружности основания называется образующей конуса. На рис. 5.3 отрезки PA, PB, PM, PN - образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту.

Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

Обозначим через S_б и S_n соответственно площади боковой и полной поверхности конуса: , где - угол при вершине развертки. Далее заметим, что . Следовательно, , где R - радиус, а l - образующая конуса;

Усеченный конус

Усеченным конусом называется часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания.

Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса может быть найдена по формуле: S_б= (R+r)l, где R и r - радиусы оснований, l - образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле: S_n= (Rl+rl+R²+ r²).

Сфера

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.

Сферу обозначают так: (O, R). Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R, называется шаром.

Иными словами шар - это объединение сферы и всех ее внутренних точек.

Можно также определить шар и как тело, образованное при вращении круга вокруг своего диаметра.

Шар обозначают также как сферу: (O,R). Точка O называется центром сферы (шара). Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара). Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы (шара). Иногда под радиусом или хордой подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром.

Т1. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то линия сечения сферы этой плоскостью - окружность.

Доказательство.

Из теоремы следует, что, когда расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, сечение шара этой плоскостью - круг. Если плоскость удалена от центра сферы на расстояние R, то она называется касательной плоскостью.

Т2. Касатльная плоскость имеет со сферой единственную общую точку (точку касания) и перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Т3. Плоскости, равноудаленные от центра сферы, пересекают ее по равным окружностям.

Доказательство следует из того, что , где r - радиус линии пересечения.

Ясно, что наибольшая окружность образуется при пересечении плоскостью, проходящей через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы. (Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара).

Прямая, проведенная через точку сферы перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной прямой к сфере.

Т4. Касательная прямая сферы имеет со сферой единственную общую точку.

Через любую точку сферы можно провести бесконечное число касательных прямых, причем все они лежат в касательной плоскости.

Уравнение сферы.

Пусть O(a; b; c) - центр сферы в декартовой системе координат, R - радиус сферы, A(x; y; z) - произвольная точка сферы. (Смотри о координатах в главе 8.) Тогда

OA²=R² или (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²= R².

Мы получили уравнение сферы с центром O(a; b; c) и радиусом R.

В частности, если центром сферы является начало координат, то имеем уравнение x²+y²+z²= R².

Заметим, что шар задается неравенством

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3