Урок геометрии «Правильные многогранники. Платоновы тела»

Вид урока: урок исследование с элементами проектной деятельности.

Цель урока: расширение знаний учащихся по теме “Многогранники”.

Задачи урока:

• Изучить виды правильных многогранников и их свойства.
• Выяснить: какие правильные многоугольники являются гранями правильных многогранников, сколько видов правильных многогранников существует.
• Познакомиться с “космическими Пифагоровыми многогранниками”.
• Узнать, где в природе можно встретить правильные многогранники.
• Провести практикум по изготовлению правильных многогранников.

Воспитательные задачи урока: привить интерес к предмету и понимание необходимости приобретения прочных знаний в школьном курсе геометрии, повысить уровень учебной мотивации.

Оборудование:

• презентация;
• мультимедийная установка (проектор, экран, компьютер);
• модели многогранников, разверток;
• индивидуальные листы и инструменты для выполнения практической работы.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Выступление учащихся с сообщениями:
   1. 1 ученик – с темой “Правильные многоугольники”;
   2. 2 ученик – с темой “Правильные многогранники”;
   3. 3 ученик – с темой “Кубок Кеплера”;
   4. 4 ученик – с темой “Правильные многогранники в природе”.
3. Практическая работа по изготовлению правильных многогранников.
4. Выставка работ учащихся.
5. Подведение итогов.
6. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявление цели и задач урока, последовательности действий. (Слайды 1-3).

Тема нашего урока – “Правильные многогранники” и эпиграфом урока являются слова английского писателя Льюиса Керролла: “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.

2. Выступление учащихся с сообщениями.

1 ученик – с темой “Правильные многоугольники”: (Слайды 4-6).

Их название произошло от древнегреческого: “эдра” - грань, “тетра” - 4, “гекса” - 6, “окта” - 8, “икоса” - 20, “додека” - 12.

Издавна ученые интересовались “идеальными” или правильными многогранниками, то есть многоугольниками, имеющими равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником является равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которые могут ограничить часть плоскости.

Общую картину интересующих нас правильных многоугольников составляют:

Очевидно, что теоретически нет каких-либо ограничений на число сторон правильного многоугольника, т. е. число правильных многоугольников бесконечно. А что же такое правильный многогранник?

2 ученик – с темой “Правильные многогранники”: (Слайды 7 - 18).

Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Сколько же существует правильных многогранников? Кажется, ответ на этот вопрос прост: их столько же, сколько правильных многоугольников. Однако это не так. В “Началах” Евклида мы находим строгое доказательство того, что существует только пять правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (пятиугольники).

Дело в том, что сумма плоских углов в вершинах многогранника не должна превышать 360^о. А сколько граней должно быть в каждой вершине? Расчет внутреннего угла правильного n-угольника можно вести различными способами, мы выберем самый простой и быстрый. Известно, что сумма внешних углов n-угольника всегда равна 360^о (взятых по одному), тогда

Пусть n=6, тогда =120⁰, следовательно, если возьмём шестиугольник: 120⁰*3=360⁰ – сумма плоских углов не должна превышать 360⁰.

Это говорит о том, что если нам захочется взять гранью многогранника правильный многоугольник с числом сторон n=6, то мы не сможем построить такой многогранник.

Виды многогранников:

Формулу Г+В=Р+2 заметил 1640 г. Рене Декарт, а вновь ее открыл в 1752 г. Эйлер и она носит его имя. Она верна не только для правильных многогранников, а вообще для всех выпуклых многогранников.

Древнегреческий философ Платон считал, что мир состоит из четырех “стихий” - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих стихий имеют форму четырех правильных многогранников:

• тетраэдр - олицетворение огня, т. к. его вершина направлена вверх как язык у разгоревшегося пламени;
• икосаэдр - олицетворение воды, как самый обтекаемый;
• гексаэдр (куб) - олицетворение земли, как самый устойчивый;
• октаэдр - олицетворение воздуха;
• пятый многогранник – додекаэдр, считался главнейшим и олицетворял весь мир.

3 ученик – с темой “Кубок Кеплера”: (Слайды 19 - 23).

Из Древней Греции можно перенестись в Европу 16-17в.в. Иоганн Кеплер (1571-1630г.) - величайший астроном и математик, который тоже занимался теорией правильных многогранников.

Его знаменитая модель солнечной системы носит название “Кубок Кеплера”. В то время были известны 5 планет. Кеплер считал, что в орбиту Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера, в которую вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. А в сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписана сфера орбиты Земли, а она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой орбиты описана около октаэдра, в который вписана сфера Меркурия. Эту модель Кеплер описал в своей книге “Тайны мироздания”. Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Но последующие научные открытия не подтверждали этого, и у Кеплера хватило мужества признать ошибки, но некоторые идеи этой теории носили свое научное продолжение.

Интерес к правильным многогранникам не потерян и в наши дни. В 80-е годы московскими инженерами В. Макаровым и Морозовым была выдвинута гипотеза, что ядро Земли имеет форму растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли (она проявляется в том, что в земной коре пространственно проектируется вписанные в Земной шар проекции правильных многогранников - додекаэдра и икосаэдра).

Многие залежи расположены вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки. 62 точки – вершины и середины ребер, авторы назвали их узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые явления. Сюда можно отнести очаги древних культур Перу, Северной Монголии, Гаити, Обской культуры. В этих точках наблюдаются минимумы и максимумы атмосферных давлений, точки завихрения Мирового Океана, в одной из них находится Бермудский треугольник, озеро Лох-Несс.

4 ученик – с темой “Правильные многогранники в природе”: (Слайды 24 - 28).

В природе мы тоже часто встречаемся с правильными многогранниками.

Так, скелет одноклеточного морского животного феодарии по форме напоминает икосаэдр, вероятнее всего из всех многогранников, имеющих такое же число граней, икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает животному преодолевать давление водной толщи.

Ну а химики, вообще постоянно имеют дело с правильными многогранниками. Кристаллы банальной поваренной соли - кубы; при производстве алюминия используется алюминиево-калиевый кварц, а его монокристалл - октаэдр, кристаллы бора - икосаэдр, серного колчедана - додекаэдр. Карборан - борорганическое соединение имеет структуру правильного икосаэдра. Карборан и его производные используют при формировании материалов для солнечных батарей, а также для создания препаратов, используемых при лечении злокачественных опухолей.

Многие свойства кристаллов нашли применения в различных областях нашей жизни, так, например, мобильный телефон, планшетный компьютер, причем все чаще кристаллы выращивают, запрограммировав им определенные свойства и качества. Существует еще ряд звездчатых многогранников, а так же полуправильные многогранники - их грани правильные многоугольники, а все многогранные углы равны, причем каждый из них можно вписать в сферу. Конечно, стоит вопрос, сколько их. Более 2000 лет считали, что их 13, но сейчас нашли еще один. Эти многогранники называют телами Архимеда. Но об этом мы продолжим рассказывать в других исследованиях.

3. Практическая работа по изготовлению правильных многогранников.

Учащимся предлагается изготовить развертки и модели правильных многогранников, выполнив необходимые измерения и расчеты. (Слайд 29).

4. Выставка работ учащихся.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание: подготовить сообщение на тему: “Многогранники в архитектуре”.

Литература.

1. Щепан Еленьский “По следам Пифагора” изд. “Дедгиз”,1961г.
2. И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин “За страницами учебника математики” изд. “Просвещение”, 1989 г.
3. С. В. Виноградова, Н. Н. Деменева “Математика 5-11 классы. Предметные недели в школе”, изд. “Учитель”, 2008 г.
4. А. П. Киселев “Элементарные геометрия” изд. “Просвещение”, 1980г.