Цели урока:
- Сформировать навык анализировать уравнения перед их решением и составлять уравнения по их корням.
- Развитие умения мыслить по аналогии, умения наблюдать и делать выводы, умения обобщать.
- Воспитание чувств коллективизма, товарищества, ответственности за порученное дело.
Оборудование: карточки с таблицами для каждой группы, карточки с заданиями по вариантам для домашней работы, экран и проектор.
Ход урока
1. Организационный момент.
- Приветствие учащихся, деление их на группы-мастерские;
- Сообщение темы урока и целей урока.
- Зачитывание эпиграфа урока:
Да путь познания не гладок,
Но знать должны со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет.
2. Актуализация опорных знаний.
Повторение необходимых теоретических сведений, которые понадобятся на следующих этапах урока. Фронтальный опрос по вопросам (каждому ученику задается один из вопросов):
- Как называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где a≠0?
- Название выражения b²-4ac?
- Число корней квадратного уравнения при D=0.
- Как называется число, делящееся на 2 нацело?
- Существуют ли действительные корни в квадратном уравнении, если D<0?
- Как называется квадратное уравнение, в котором a=1?
- Степень уравнения ax²+bx+c=0, a≠0.
- Как называются числа a, b и c в квадратном уравнении?
- Число корней квадратного уравнения при D>0.
- Чему равно произведение чисел с разными знаками, с одинаковыми знаками?
- Как складываются числа с разными знаками?
3. Исследование квадратных уравнений.
Постановка проблемных вопросов перед группами учащихся для исследования.
- Количество корней мы с вами определяем, после того как вычислим значение дискриминанта, а какие знаки имеют корни, только после их нахождения. Сейчас мы должны исследовать уравнения и ответить на такие вопросы:
- Как, не решая уравнения, узнать, имеет ли оно действительные корни?
- В каком случае квадратное уравнение имеет корни одного знака или разных знаков?
Каждая группа получает один из двух проблемных вопросов, записанных на карточке, и, произведя исследование с квадратными уравнениями должна сделать вывод по поставленному вопросу. Каждый учащийся решает по одному или лучше по два уравнения из карточки, чтобы произвести взаимопроверку и исключить неверные ответы. Затем они группой заполняют таблицу карточки, анализируют полученные результаты и делают выводы по проблемному вопросу.
Такие же таблицы можно начертить на доске или вывести на экран через проектор, и если возникнут затруднения с выводами, то сделать их вместе с учителем.
| Карточка 1. Вопрос исследования:
При каких коэффициентах – квадратные уравнения будут всегда иметь
действительные корни? Решите уравнения, заполните таблицу и сделайте выводы по вопросу исследования. |
|||||||
| Квадратные уравнения | a | b | c | b² | -4ac | D | Есть ли корни? |
| 3x²+4x-5=0 3x²-4x+5=0 x²+4x+3=0 -x²+4x+3=0 x²+4x-5=0 x²-4x+5=0 |
|||||||
| Справка. Наличие корней зависит от значения D, поэтому обратите внимание на то, какой знак имеют выражения b² и -4ac. Сделайте выводы, какие знаки должны иметь коэффициенты, чтобы уравнение имело корни. | |||||||
Выполнив задание, данная группа должна сделать вывод: Квадратное уравнение будет всегда иметь корни, если коэффициенты a и c имеют разные знаки.
| Карточка 2. Вопрос исследования:
При каких коэффициентах – квадратные уравнения будут иметь корни одного
знака или разных знаков?
Решите уравнения, заполните таблицу и сделайте выводы по вопросу исследования. |
|||||
| Квадратные уравнения | a | b | c | X 1 |
X 2 |
| x²+9x+18=0 x²-4x-21=0 ½x²-3x+4=0 x²-x-30=0 x²+9x+20=0 x²-7x+10=0 |
|||||
| Справка. Вначале определите, какие знаки, и каких коэффициентов, дают одинаковые знаки корней. Аналогичные рассуждения для корней разных знаков. | |||||
Выполнив задание, данная группа должна сделать вывод: Квадратное уравнение имеет корни разного знака, если коэффициент с- отрицателен, и корни одного знака, если коэффициент с- положителен.
4. Составление квадратных уравнений.
- Какая теорема поможет в составлении квадратных уравнений? (Виета)
Задания даются для обеих групп одинаковые:
1) Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) 3 и 4; б) 1-√2 и 1+√2.
Например: x²-7x+12=0, (x-3)(x-4)=0.
2) Составьте и решите квадратное уравнение, имеющее два равных корня.
Например: x²-10x+25=0.
3) Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются противоположные числа.
Например: x²-9=0.
5. Постановка домашнего задания.
Перед учащимися ставится задача - провести исследование квадратных уравнений по следующим вопросам и раздаются карточки.
1) Первая группа получает задание:
Проверить, что число 1 является корнем уравнений
5x²-2x-3=0;
-2x²+13x-11=0;
x²-19x+18=0;
x²+17x-18=0.
Найти второй корень уравнения. Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения? Чему равны корни квадратного уравнения, коэффициенты которого обладают указанным свойством?
(Учащиеся должны сделать утверждение: если a+b+c=0, то x1=1, x2=c/a.)
2) Вторая группа получает задание:
Проверить, что число - 1 является корнем уравнения
x²-5x-6=0;
17x²-19x-36=0;
7x²+3x-4=0;
x²+3x+2=0.
Найти второй корень уравнения. Какая особенность коэффициентов объединяет эти уравнения? Чему равны корни квадратного уравнения, коэффициенты которого обладают указанным свойством?
(Учащиеся должны сделать утверждение: если a+c=b, то x1=-1, x2=-c/a).
6. Подведение итогов урока.
Рефлексия. Учащиеся высказываются об уроке по следующим пунктам:
1. На уроке я работал …
2. Своей работой на уроке я…
3. Урок для меня показался …
4. За урок я …
5. Мое настроение …
7. Домашнее задание мне кажется …
С учётом работы в течение всего урока комментируется и оценивается работа каждого учащегося в группе.