Различные методы нахождения расстояний и углов в пространстве

Цели урока:

Образовательные:

• изучить некоторые методы нахождения расстояний и углов в пространстве, такие как метод параллельных плоскостей, метод объёмов, с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника;
• повторить основные способы решения задач нахождения расстояний и углов в пространстве: по определению и метод координат;
• проверить знание формул нахождения расстояний и углов в пространстве;
• проверить умения решать простейшие задачи на нахождение углов между прямыми и плоскостями в пространстве.

Ход урока

1. Организационный момент. 

2. Вступительное слово.

Цели нашего урока – повторить координатный метод решения задач нахождения расстояний и углов в пространстве, познакомиться с избранными методами решения задач на нахождение расстояний и углов в пространстве, научиться применять их при решении задач.

Начнем урок с устной работы, цель которой – повторить определения и формулы, которые нам понадобятся для нахождения расстояний и углов в пространстве.

3. Работа устно. 

Найти соответствие между левой и правой частями формул. 

 

4. Тренажер. 

Заполнить пропуски в решении.

1. Точка К – середина ребра АA₁ куба АВСDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми A₁В и СК.

2. В правильной треугольной призме АВСA₁B₁C₁ стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 4. Точка D – середина ребра CC₁. Найдите расстояние от вершины С до плоскости АDB₁.

3. Основание прямой четырехугольной призмы прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A₁D₁ перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.

5. Избранные методы нахождения расстояний и углов в пространстве. 

Каждая из трех групп за неделю до урока получила кейсы с методами решения задач. На уроке один представитель от группы показывает презентацию по решению задачи указанным способом.

1 группа (метод параллельных плоскостей).

Вывод. Чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми методом параллельных плоскостей, надо:

1. Определить параллельные плоскости, в которых лежат прямые.
2. Переформулировать данную задачу как задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.
3. Построить расстояние от точки до плоскости.
4. Найти это расстояние.

2 группа (метод объёмов).

Вывод. Чтобы найти расстояние от точки до плоскости методом объёма, надо:

1. Построить искомое расстояние.
2. Определить пирамиду, содержащую это расстояние.
3. Найти объем этой пирамиды, используя равенство объёмов одной фигуры, выраженной двумя независимыми формулами.
4. Воспользоваться формулой

3 группа (с использованием теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

Вывод. Чтобы найти угол между плоскостями методом ортогональной проекции, надо:

1. Определить площадь многоугольника, лежащего в одной из плоскостей.
2. Определить площадь его ортогональной проекции на другую плоскость.
3. Воспользоваться формулой

6. Составление памятки по методам решения задач на нахождение углов и расстояний в пространстве 

7. Работа в группах. 

1. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от точки А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если AD = =2√5, AB = AC =10, BC = 4√5 (решить методом объёмов).
2. В правильной шестиугольной призме A...F₁, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найти угол между плоскостями BA₁D₁ и AA₁E₁ (решить методом ортогонального проектирования).

8. Подведение итогов. 

1. Какие методы нахождения расстояний и углов в пространстве вы узнали сегодня на уроке?
2. Сможете ли вы самостоятельно находить расстояния и углы в пространстве?
3. Какой из методов нахождения расстояний и углов в пространстве вы считаете наиболее приемлемым для вас?
4. Чувствовали ли себя комфортно на уроке?