Показательные уравнения. 10-й класс

Учебник: Колягин Ю. М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Москва, «Просвещение», 2014.

Урок проведён в универсальном 10-м классе средней общеобразовательной школы.

Цели урока: изучение способов решения показательных уравнений, тренировка в применении полученных знаний при решении заданий по теме, развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, формирование умения чётко и ясно излагать свои мысли, формирование познавательных интересов и мотивов самосовершенствования, воспитание умения работать с имеющейся информацией и культуры труда.

Структура урока

1. Организационный этап. Постановка темы и цели урока

– Прочитайте тему  сегодняшнего  урока (Приложение 1, слайд № 1)
– «Показательные уравнения».
– Нам это уже известно или это новый вид уравнений?
– Это новый вид уравнений.
– Попробуйте сформулировать цели урока.
– Мы узнаем, какие уравнения  называются  показательными, изучим способы их решения и будем учиться применять новое знание при решении задач по теме.
Учитель корректирует ответы учащихся.

2. Актуализация знаний. Устная работа (слайд № 3)

1. Подберите корень уравнения  2^х = 32;   3^х = 27;   10^х = 10000
2. Решите уравнение   х² = 36;   х² + х = 0;   х² + 2х + 1 = 0
3. Найдите область значений функции   у = π^х;   у = (0,5)^х;   у = (0,5)^|х|
4. Сравните, используя свойства функций,  с единицей   2^{– 5};   (0,5)^{– 3};   (0,5)^0,5

3. Изучение нового материала (лекция)

Уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени, считается показательным (слайд № 4).  Рассмотрим основные виды показательных уравнений (слайд № 5) (учащиеся записывают названия видов и примеры в тетрадях).

1. Элементарные показательные уравнения. Эти уравнения сводятся к решению уравнений вида а^х = а^в, где а >0, а ≠ 1. При этом используется свойство степени, которое мы изучали (повторить следствие 2 на стр. 160  учебника). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1 (слайд № 6).

(0,0016)^{0,2 х + 1} = 25; 
5 ^{– 4 (0,2 х + 1)} = 52;  
– 0,8 х – 4 = 2; 
– 0,8 х = 6; 
х = – 7,5 .

Ответ: – 7,5.  

Пример 2 (слайд №7)

36 · 6^х = 1;  
6^{2 + х} = 60; 
2 + х = 0;  
х = – 2.

Ответ: – 2.

Пример 3 (слайд №8)

81^х · 2^4х = 36; 
3^4х · 2^4х = 62; 
6^4х = 6²; 
4х = 2;  
х = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 4 (слайд № 9)

2^{х – 3} = 3^{х – 3}; 
х – 3 = 0; 
х = 3.
Ответ: 3.

2. Вынесение общего множителя за скобки (слайд № 10). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример 1.  

2 · 3^{х + 1} – 6 · 3^{х – 1} – 3^х = 9;  
3^х(2 · 3 – 6 · 3^{– 1} – 1) = 9; 
3^х · 3 = 9;  
3^х = 3;  
х = 3.
Ответ: 3.

Пример 2 (слайд № 11).  

5^2х – 7^х – 5^2х · 17 + 7^х · 17 = 0;  
5^2х – 5^2х · 17 = 7^х – 7^х · 17;
5^2х(1 – 17) = 7^х(1 – 17);
– 16· 52х = – 16 · 7х;
5^2х =  7^х;
25^х = 7^х;
х= 0.
Ответ: 0.

3. Сведение к квадратному уравнению (слайд № 12). Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Пример:

9^х – 4 · 3^х = 45;
3^{2х – 4} · 3^х – 45 = 0;
Замена 3^х = t, t > 0;
t² – 4 t – 45 = 0;
D = 16 +180 = 196;
t₁ = 9,
t₂ = – 5 – не удовлетворяет условию t > 0;
3^х = 9;
3^х = 32;
х = 2;
Ответ: 2.

4. Закрепление изученного материала

– Продолжаем учиться решать показательные уравнения. (Решение всех последующих уравнений записывается на доске с объяснениями, следует вызвать ученика по желанию). Разберём  №680(3),  681(1),  682(3),   684(1),  693(2).

5. Обучающая самостоятельная работа с самопроверкой

– Предлагаю вам самостоятельно решить следующие уравнения (слайд № 13), а затем проверить себя самостоятельно с помощью готовых решений (решение уравнений следует заранее  заготовить, например, на слайдах, а затем показать учащимся по окончании работы).

1. (0,3)^{5 – 2х} = 0,09;
2. 225 · 15^{2х + 1} = 1;
3. 3^х + 1 – 3^х = 18;
4. 9^х – 26 · 3^х – 27 = 0

Решение № 1 (слайд № 14)

(0,3)^{5 – 2х} = (0,3)²;
5 – 2х = 2;
– 2х = – 3;
х = 1,5.
Ответ: 1,5.

Решение № 2 (слайд № 15)

15² · 15^{2х + 1} = 150;
152х + 3 = 150;
2х + 3 = 0;
х = – 1,5.
Ответ: – 1,5.

Решение № 3 (слайд № 16)

3^х · 3 – 3^х  = 18;
3^х(3 – 1) = 18;
3^х · 2 = 18;
3^х = 9;
3^х = 3²;
х = 2.
Ответ: х = 2.

Решение № 4 (слайд № 17)

3^2х – 26 · 3^х  – 27 = 0;
Замена 3^х = t, t > 0;
t² – 26 t – 27 = 0;
t₁ = 27,   
t₂ = – 1 не удовлетворяет условию t > 0;
3^х = 27;   3^х = 3³;   х = 3;
Ответ: 3.

6. Подведение итога урока. Рефлексия

– Итак, подведём итоги проделанной работы. Что нового вы узнали?
– С какими видами показательных уравнений мы познакомились?

7. Домашнее задание (слайд № 18)

Стр. 226-228, № 679, № 684(3), № 690(1).