Двумерный симплекс, или "Треугольник Паскаля" в Pascal

Разделы: Информатика

Цели:

  • обобщение и систематизация знаний, умений и навыков по теме «Двумерный массив»;
  • повторение организации пользовательских функций и процедур;
  • развитие логического и алгоритмического мышления учащихся;
  • развитие познавательного интереса, творческих способностей.

Задачи:

  • повторить задание формулой и вывод элементов двумерного массива, элементов главной и побочной диагоналей квадратной матрицы;
  • совершенствование умений применения пользовательских функций и рекурсивных процедур для задания элементов матрицы;
  • развивать логическое и алгоритмическое мышление при работе с закономерностями, при создании программ на обработку элементов квадратной матрицы;
  • развивать межпредметные связи (программирование и математика);
  • повышать уровень математической и информационной культур;
  • прививать умение сотрудничать, оказывать помощь.
  • развивать интерес к изучению предмета, формировать научное мировоззрение.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Оборудование: дидактический, раздаточный материалы, электронное пособие «Увлекательное программирование», ПК с языком программирования Free Pascal, электронная доска.

Формы и методы: фронтальная, групповая, индивидуальная; вербальный, наглядный, иллюстративный, практический, репродуктивный, проблемно-поисковый, исследовательский, закрепление, самостоятельная работа, беседа.

Ход урока

I. Орг.момент.

Проверить готовность учащихся к уроку, правильную организацию рабочего места. Отметить отсутствующих в журнале.

II. Формулировка темы урока.

Хочешь научиться плавать, – смело входи в воду!

Хочешь научиться программировать, – пиши программы.

На доске написано слово «SIMPLEX» (Приложение1)

Simplex

«Simplex» – (от английского слова simple [‘simpl], простой, несложный) – простейший n-мерный выпуклый многогранник с количеством вершин n+1).

0-симплекс – 1 вершина (точка);

1-симплекс (одномерный) – 2 вершины (отрезок);

2-симплекс (двумерный) – 3 вершины (треугольник);

3-симплекс (трехмерный) – 4 вершины (тетраэдр).

Какие слова из этих определений мы с вами встречали на уроках программирования? (одномерный, двумерный массив, треугольник, дать определение).

Pascal

Чей портрет Вы видите на экране? (Блез Паскаль)

Подсказка: Фамилия этого человека для нас с вами связана вплотную с информатикой: как с историей развития вычислительной техники, так и с программированием.

Какой вклад он внес в информатику? (он создал арифмометр, в честь его назван один из языков программирования)

Как вы думаете, какая тема нашего сегодняшнего урока? (Двумерный симплекс или «Треугольник Паскаля» в Pascal)

Да, это следующая, заключительная, тема в разделе «УВЛЕКАТЕЛЬНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ»

Оказывается, Блез Паскаль, выдающийся математик, физик, философ и писатель очень интересовался одной таблицей треугольного вида (на экране):

Первое упоминание о таком треугольнике появилось в 10 веке в Древней Индии, им интересовались многие математики, так в Иране его называют треугольником Хайяма. Нам он известен под названием «треугольник Паскаля». В 1563 году, уже после смерти автора, вышел «Трактат об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля.

Сегодня наш урок мы посвятим такому треугольнику.

III. Постановка целей урока

В ходе подготовки к ЕГЭ по информатике из курса программирования наибольшее затруднение вызывают:

  1. работа с матрицами;
  2. рекурсивные функции и процедуры.

Цели:

  • повторить, отработать задание и вывод элементов двумерного массива, заданных формулой;

а также

  • применение пользовательских функций и рекурсивных подпрограмм для задания элементов матрицы.

Выполнение заданий, направленных на проверку знаний и умений по темам алгоритмизации и программирования позволит набрать 42,5% (чуть меньше половины) от максимального количества баллов.

IV. Обобщение и систематизация

Треугольник Паскаля

1 1 1 1 1 …
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
1
…

До наших времен треугольник Паскаля дошел в приведенном ранее на экране виде (повторить фото), а сам Паскаль рассматривал его в форме (превратить в таблицу из простого списка):

1) Рассмотрим закономерности в такой матрице:

  1. первая строка и первый столбец состоят из 1. Как это задать? (A[1,j]:=1; A[I,1]:=1;)
  2. задать все остальные элементы A[i,j]:=A[i,j-1] + A[i-1,j];
  3. вывести треугольный вид таблицы

2) Вписать в карточку недостающие операторы (такое задание тоже есть в ЕГЭ)

Пользовательская функция

  1. Для чего служит пользовательская функция? Ее общий вид.
  2. Давайте создадим функцию, задающую сумму 2-х элементов (РАБОТА В ГРУППАХ за ПК, изменение готовой программы) Приложение2

Рекурсивная процедура

  1. Что такое рекурсия? Для чего она нужна (объект является рекурсивным, если он содержит сам себя или определен с помощью себя).
  2. Для чего служит процедура? Ее общий вид.
  3. Отличие процедуры от функции.
  4. РАССМОТРЕТЬ И ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ГОТОВУЮ ПРОГРАММУ С РЕКУРСИВНОЙ ПРОЦЕДУРОЙ (в эл. пособии) Приложение3

Проблема

Треугольник Паскаля симметричен относительно главной диагонали. Как использовать этот факт? (подумать дома)

V. Постановка д.з

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника"

Рассмотрим несколько удивительных свойств (см. в пособии):

  1. Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого первого вплоть до стоящего непосредственно над числом x
  2. Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа x.
  3. Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число x (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

Д/З:

Проверить любое 1 свойство (Как? Например, с помощью метода флажков)

Дополнительное задание:

Оказывается помимо треугольника Паскаля, существует треугольник Лейбница (см. рисунок).

Найти закономерности (числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним)

Доп. Д/З: Составить программу, выводящую элементы треугольника Лейбница

Творческое задание:

Написать программу вывода элементов треугольника Лейбница, используя рекурсивную функцию или процедуру.

VI. Итоги и рефлексия

Тестирование (тестовая программа в пособии) Приложение3

  1. Двумерный симплекс – это:
    1. Двумерный массив (матрица);
    2. Треугольник;
    3. Одномерный массив.
  2. Треугольник Паскаля – это:
    1. произвольный треугольник, полученный с помощью языка Pascal
    2. части квадратной матрицы, образованные ее диагоналями;
    3. арифметический треугольник, элементы которого задаются формулой a[i,j]:=a[i,j-1] + a[i-1,j]
  3. Элементы побочной диагонали квадратной матрицы можно задать формулой:
    1. A [i ,i ]
    2. A [n + 1 -j , j ]
    3. A [1 , n ]
  4. Рекурсивная процедура (функция)
    1. содержит сам себя или определен с помощью себя
    2. любая процедура (функция) является рекурсивной
    3. процедура, задающая элементы двумерного массива

Результаты:

4 правильных ответа – материал урока усвоен;

1-3 правильных ответа – прочитать раздел «Двумерный симплекс» пособия еще раз

Рефлексия

Какие разделы программирования мы сегодня рассмотрели на уроке?

  • Двумерный массив
  • Квадратная матрица
  • Главная, побочная диагональ
  • Пользовательская функция
  • Процедура
  • Рекурсивная процедура

Какие разделы в программировании, на ваш взгляд, нуждаются в дополнительной проработке?

Оценки за работу на уроке

VII. Резерв

  1. Оказывается, 112=121, 113=1331, совпадает с элементами треугольника Паскаля.
  2. Также коэффициенты в разложении степеней двучленов совпадают с элементами треугольника Паскаля:
    (a+b)1=1a+ 1 b
    (a+b)2= 1 a2 + 2 ab + 1 b2
    (a+b)3= 1 a2 + 3 a2b + 3 a b2 + 1 b2 (коэффициенты – элементы треугольника Паскаля)

Приложение.