“Считай несчастным тот день или тот
час,
в который ты не усвоил ничего нового
и ничего не прибавил к
своему образованию”
Я.А.Каменский
I. Цель урока: изучить арифметические прогрессии
II. Задачи урока:
Образовательные:
- Дать определение арифметической прогрессии,
- Дать определение разности арифметической прогрессии;
- Дать определение убывающей и возрастающей арифметической прогрессии;
- Вывести формулу n –го члена,
- Изучить характеристическое свойство арифметической прогрессии;
- Сформировать навыки решения типовых задач (нахождение n – го члена, разности арифметической прогрессии, задавать арифметическую прогрессию)
Развивающие:
- Активизировать познавательную деятельность через решение проблемной ситуации, через решение задач;
- Развивать навыки сравнения, анализа.
- Развивать коммуникативные способности детей, развивать математическую речь.
- Формировать у учащихся навыки первичного самоконтроля.
- Использование метапредметных связей через исторический экскурс, “литературную” задачу, задачу со здоровьесберегающим элементом.
Воспитательные:
- Учить учащихся целеполаганию.
- Воспитывать культуру математического мышления,
- Заинтересовать своим предметом, развить интерес к изучению математики.
- Развитие ключевых компетенций (коммуникативной, информационной, самоорганизации, самообразования)
III. Урок изучения нового материала.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Мотивация учебной деятельности; сообщение темы, цели и задач урока
Эпиграфом нашего урока будут слова известного польского педагога Яна Амоса Каменского…. И я очень надеюсь, что сегодняшний день будет счастливым для каждого из вас и вы откроете для себя новые страницы такого замечательного предмета, как математика.
Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но человечество зовёт.
Известный лозунг:
“Прогресс – движение вперёд”.
С латинского языка слово “прогресс” буквально и означает “движение вперёд”. Скажите, а какие однокоренные слова со словом “прогресс” вы знаете? (прогрессивный, прогрессирующий, прогрессия). Хорошо!
На предыдущих уроках вы рассматривали числовые последовательности, и сегодня на уроке мы познакомимся с последовательностью, которая носит название “арифметическая прогрессия”. Запишите, пожалуйста, тему урока...
Какая же будет цель нашего сегодняшнего урока?
Цель: изучить арифметическую прогрессию
Какие задачи надо поставить перед собой, чтобы эту цель достичь?
Задачи:
Дать определение арифметической прогрессии;
Изучить свойства;
Научиться решать задачи по данной теме;
Вывести формулу n – го члена арифметической прогрессии.
(может быть вариант: узнать, что это такое; выяснить, как определить её среди других последовательностей, или: чем отличается; так как последовательность числовая, то мы должны разобраться, какими свойствами обладают её члены; может быть почему её так назвали и др.)
3. Актуализация знаний:
Рассмотрим несколько последовательностей:
3; 5; 7; 9; 11;...
2; 3; 5; 6; 8;...
1,1; 2,1; 3,1; 4,1; 5,1
1; 4; 9; 16; 25;…
– Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий? Определите правило, по которому составлена данная последовательность. Назовите два следующих члена этой последовательности. Молодцы!
Рассмотрите другие последовательности, посмотрите, по каким правилам они составлены…. Назовите два следующих члена каждой последовательности.
Вспомним правило, по которому составлена первая последовательность....Можно ли ещё найти последовательности, которые составлены по такому же принципу: где разница между последующим и предыдущим равна одному и тому же числу?
4. Формирование новых понятий (изучение нового материала)
Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями.
Прочитаем определение:
Арифметической прогрессией (an) называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом (d – разность арифметической прогрессии)
На доске: (an) - арифметическая прогрессия
а1- первый член;
d – разность арифметической прогрессии
а2 = а1 + d
а3 = а2 + d
….
аn = аn-1 + d
d = аn – аn-1
– Можете вы сами придумать какую – нибудь арифметическую прогрессию?...
– Найдем разность арифметических прогрессий, которые мы рассмотрели…
3; 5; 7; 9;11;...d = 2
1,1; 2,1; 3,1; 4,1; 5,1 d = 1
– Рассмотрим ещё одну арифметическую прогрессию
-1; -2; -3; -4; -5; ...– Чему равна разность этой прогрессии? (d = -1)
– Чем отличается эта прогрессия от
рассмотренных раннее? (d 
0)
– А что происходит с членами первых двух прогрессий? (они возрастают) А с членами последней арифметической прогрессии? (они убывают) Молодцы!
Итак,
Если в арифметической прогрессии разность d 
0, то
прогрессия является возрастающей.
Если в арифметической прогрессии разность d 0, то
прогрессия убывает.
На доске: d 0 – ариф. прогр. возрастает (можно
стрелочкой)
d 0 –
ариф. прогр. убывает (можно стрелочкой)
Теперь выясним, почему арифметическую прогрессию именно так назвали. Рассмотрим последовательность чисел…
3; 7; 11; 15; 19; 23;…
Проверим, будет ли она являться арифметической прогрессией? (да, к предыдущему члену + 4) Чему равна разность этой арифметической прогрессии? (4)
Задание по рядам:
1 ряд: найдите среднее арифметическое первого и третьего членов; (7)
2 ряд: найдите среднее арифметическое второго и четвёртого членов; (11)
3 ряд: найдите среднее арифметическое четвёртого и шестого членов. (19)
Посмотрите внимательно на эту прогрессию, какую закономерность можно заметить? Попробуйте сформулировать это свойство…(Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предыдущим и последующим членами) Именно поэтому такую прогрессию и назвали арифметической, а сформулированное свойство – характеристическим свойством арифметической прогрессии.
На доске: а2 = 
; а3 = 
; а5 = 
-
характеристическое свойство.
Откуда возникли и пришли в нашу жизнь арифметические прогрессии? Числовые последовательности и в частности, арифметические прогрессии, настолько уникальны, что интересовали людей с древних времён. Об этом свидетельствует огромное количество задач, дошедших до наших дней. Перед вами часть папируса Ахмеса (записан около 1650 г. до н.э.); это первый источник древности, в котором записаны задачи на арифметические прогрессии. Они имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т.п.
5. Формирование умений и навыков (закрепление материала + изучение через проблемную ситуацию)
Это в древности, а сейчас 21 век. Рассмотрим ситуацию, с которой каждый из вас через несколько месяцев столкнется: это сдача экзаменов. Решим следующую задачу:
“Подготовку к экзамену советуют начинать с 15 минут. В каждый следующий день время подготовки увеличивают на 9 минут. Сколько минут вы будете заниматься в указанном режиме на 4 день, на 8 день, на 16 день?”
На доске:
Дано: (an) – ариф. Прогрессия а2 = а1 + d
а2 = 15 + 9 = 24…
а1 = 15; d = 9
Найти: а4 – ?
а8 – ?
а16 – ?
– Сложно сразу определить а4, а8, а16 – ? Неужели придётся находить все предыдущие значения?! Нет, ребята. “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий”. Помыслим и попробуем вывести специальную формулу, которая позволит нам находить любой член арифметической прогрессии по первому члену и разности. (пишу на доске)
а 2 = а1 + d
а3 = а2 + d = а1 +2 d
а4 = а3 + d = а1 +3 d
…
аn = а1 + d •(n – 1)
Мы применили метод индукции, от частных примеров пришли к общему выводу и получили формулу n – го члена арифметической прогрессии.
На доске: ...аn = а1 + d •(n – 1) – формула n-го члена арифм. прогрессии
Вернёмся к нашей задаче. Так сколько же минут вы будете заниматься на 4 – ой день?
а4 = а1 + 3* d = 15 + 3 * 9 = 42 минуты
На 8 – ой день а8 = а1 + 7* d = 15 + 7 * 9 = 78 минут
На 16 день а16 = а1 + 15* d = 15 + 15 * 9 = 150 минут. Переведём это в часы и минуты.
150 минут = 2 ч 30 минут!
Ответ:
- на 4 день – 42 минуты;
- на 8 день – 1ч 18 минут;
- на 16 день – 2 ч 30 минут.
Ребята, оказывается, столько заниматься без перерыва на отдых очень вредно! По медицинским показаниям максимальная продолжительность подготовки, не влияющая на здоровье подростков, составляет 1 час 45 минут!
Выясним, на какой день мы достигнем этого предела! И рассмотрим теперь следующую задачу:
“Подготовку к экзамену советуют начинать с 15 минут. В каждый следующий день время подготовки увеличивают на 9 минут. Сколько дней следует готовиться в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка, 1 час 45 минут??”
15 – 16 лет: 1 ч 45 мин (медицинская норма)
а1 = 15; d = 9 1 ч 45 мин. = 105 мин.
аn = 105
аn = а1 + (n – 1) * 9
…
n = 11
Ответ: 11 дней.
Физкультминутка:
– Напугала я вас немного экзаменами? Всё будет хорошо и у вас всё получится! Теперь немного отдохнём, выпрямим спину, потянулись, закроем глаза и нарисуем мысленно 8, теперь повернули её на 900 вправо и нарисовали знак бесконечности…Открыли глаза. Продолжаем работу.
Арифметические прогрессии окружают нас повсюду, их можно встретить в самой неожиданной форме. Например, арифметические прогрессии есть в... литературе.
Выделим слоги и расставим ударения…
Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.
Ямб – стихотворный размер с ударением на чётных слогах. Например, “Мой дядя самых честных правил…”, ударение ставится на 2; 4; 6 ...слоги.
Хорей– стихотворный размер с ударением на нечётных слогах. Например, “Буря мглою небо кроет…”, ударение ставится на 1; 3; 5 ...слоги.
Налицо две яркие арифметические прогрессии.
– Проверим усвоение изученного материала на тесте…
6. Тест (закрепление через самостоятельную работу обучающего характера)
Тест “Проверь свои знания” (распечатки на два варианта) См. Приложение 1.
Подведение итогов (самопроверка)
Одно задание – критический уровень (красные карточки)
Два задания – допустимый уровень (жёлтые карточки)
Три задания – оптимальный уровень (зелёные карточки)
7. Домашнее задание.
Д.З.: п.25 учебника,
Творческое задание: “Арифметические прогрессии вокруг нас” (задачи, рассказ, эссе, стихотворение, кроссворд и т.д.)
Итог урока.
Итак, урок приближается к концу: – Дополните фразы:
Сегодня на уроке я….
– узнал…
– учился…
–…
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
Я желаю, чтобы арифметические прогрессии и вообще математика вели по жизни вас только вперёд! Я благодарю всех за работу! Мне было приятно с вами общаться! До свидания! См. Приложение 2.