Цель урока: расширить знания учащихся о способах разложения многочлена на множители.
Задачи урока:
1. создать условия для актуализации ранее полученных знаний о разложении
многочленов на множители;
2. способствовать приобретению навыков разложения многочленов на множители с
помощью формулы a2 – b2 = (a – b)(a + b)
3. способствовать развитию познавательного интереса учащихся.
4. развивать умение анализировать, обобщать, делать выводы, развивать
математическую речь учащихся (устную и письменную); формировать навыки
самостоятельной работы с учебником, навыки самоконтроля, взаимоконтроля.
Тип урока: урок формирования умений и навыков.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала(самостоятельная работа).
Вариант 1.
1) Вычислите произведение чисел:
а) 97*103;
б)17,7*18,3.
2) Выполните умножение:
а) (3a – 4b)(3a + 4b);
б) (-6a – 5b)(6a –5b).
3) Упростите выражение: (2a – 3b)(2a + 3b) + 9b(b + 1).
Вариант 2.
1) Вычислите произведение чисел:
а) 104*96;
б) 15,7*16,3.
2) Выполните умножение:
а) (2b – 3a)(2b + 3a);
б) (-4a – 5b)(4a – 5b)
3) Упростите выражение: (3a – 4b)(3a + 4b) – 9b(a – 1).
III. Изучение нового материала.
В равенстве (a –b)(a + b) = a2 – b2 поменяем местами части и получим тождество a2 – b2 = (a – b)(a + b). Разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) и их суммы. Такое тождество называют формулой разности квадратов. Её используют для разложения на множители разности квадратов чисел или выражений.
Пример 1.
Докажем, что число 474 – 322 составное .
Используем формулу разности квадратов и получим:
474 – 322 = (472) – 322 = (472 – 32)(472 + 32).
Видно, что у данного числа есть множители 472 – 32 и 472 + 32.Поэтому такое число по определению является составным.
Пример 2.
Докажем, что число 164 – 2312 кратно 25.
Применим формулу разности квадратов и получим: 164 – 2312 = (162)2 – 2312 = 2562 – 2312 = (256 – 231)(256 + 231) = 25*487.
Так как данное число имеет делитель 25, то оно кратно 25.
Пример 3.
Сократим дробь
Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Имеем:
Пример 4.
Найдём значение выражения 1002 – 992 + 982 – 972 +…+ 22 – 12.
В приведённую сумму входят 100 чисел. Сгруппируем их последовательно попарно и используем формулу разности квадратов. Получаем:
1002 – 992 + 982 – 972 +…+ 22 – 12 = (1002 – 992) + (982 – 972) +…+ (22 – 12) = (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +…+ (2 – 1)(2 + 1)= 1*199 + 1*195 +…+ 1*7 + 1*3 = 199 + 195 +…+ 7 + 3.
После группировки членов получилось 50 выражений, поэтому надо сложить 50 чисел. Каждое следующее число на 4 меньше предыдущего (т.е. числа образуют арифметическую прогрессию).
Чтобы найти сумму чисел так же сгруппируем их попарно: первое с последним, второе с предпоследним и т.д. Имеем: 199 + 195 +…+ 7 + 3=(199 + 3) + (195 + 7) +… = 202 +…+ 202*25 =5050.
Заметим, что при попарной группировке 50 чисел получилось 25 скобок и затем 25 одинаковых чисел 202.
Пример 5.
Разложим на множители выражение 25х4 – 16у2.
Представим этот двучлен в виде разности квадратов и используем формулу разности квадратов:
25х4 – 16у2 = (5х2)2 – (4у)2 = (5х2 – 4у)(5х2 + 4у).
Пример 6.
Разложим на множители квадратный трёхчлен х2 + 4х + 3.
Дополним это выражение до квадрата суммы:
Х2 + 4х + 3 = х2 + 4х + 4 –1 = (х2 + 4х + 4) – 1 = (х + 2)2 – 12
Затем применим формулу разности квадратов:
(х + 2)2 – 1 = (х + 2 – 1)(х + 2 + 1) = (х + 1)(х + 3).
Таким образом, получили х2 + 4х + 3 = (х + 1)(х + 3)
Заметим, что ранее для разложения квадратных трёхчленов использовали способ группировки членов. Представим член 4х в виде 4х = х + 3х.
Тогда имеем: х2 + 4х + 3 = х2 + х + 3х + 3 = (х2 + х) + (3х + 3) = х(х + 1) + 3(х + 1) = (х + 1)(х + 3).
Пример 7.
Разложим на множители двучлен n4 + 4.
Для разложения двучлена дополним его до квадрата суммы .Для этого прибавим и вычтем 4n2 и используем формулу разности квадратов. Получаем: n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = (n4 + 4n2 + 4) – 4n2 = (n3 + 2)2 – (2n)2 = (n2 + 2 – 2n)(n2 + 2 – 2n) = (n2 – 2n + 2)(n2 + 2n + 2).
IV. Задание на уроке.
№ 939(в); 940(б); 942(б, г); 943(а); 944(д); 945(в); 946(б, д); 948(в); 951(а, д); 953(а).
V. Задание на дом.
№ 939(б, л.); 940(г, м); 942(в).
VI. Творческие задания.
1. Разложите на множители выражение:
а) х2 + 6х+ 8;
б) 8 – х –х2;
в) х2 + 14х + 48;
г) -х2 + 10х –24;
д) 4х2 + 1;
е) х4 + х2 + 1.
(Ответы: а) (х + 2)(х + 4); б) (х + 4)(2 – х); в) (х + 6)(х + 8); г) (х –4)(6 – х); д) (2х2 – 2х + 1)(2х2 + 2х + 1) (добавить и вычесть 4х2); е) (х2 – х +1)(х2 + х + 1) (добавить и вычесть х2).)
2. Докажите,что при любом натуральном n значение выражения:
а) (3n2 + 2)2 – 42 кратно 3;
б) (5n + 1)2 – 92 кратно 5;
в) (4n + 1)2 – (2n + 5)2 кратно 6;
г) (3n + 4)2 – (4n + 3)2 кратно 7.
3. Сократите алгебраическую дробь:
VII. Подведение итогов урока.