Решение комбинаторных задач с помощью перестановок

Учебно-методическое обеспечение: учебник алгебры, Алгебра. 9.  Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворовар. М.: Просвещение, 2011.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений.

Формы работы: фронтальная.

Продолжительность урока: 45 минут.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация. 

Цели:

1) решение комбинаторныхзадач с помощью перестановок, закрепление навыков вычисления факториалов;

2) выработка умений и навыков по их применению, развитие решений алгебраических вычислительных навыков; развитие навыков нахождения и исправления ошибок;

3) воспитание чувства взаимопомощи.

Этапы  урока

1. Организационный момент. Постановка целей и задач урока.

2. Актуализация, систематизация опорных знаний.

3. Закрепление изученного материала.

4. Проверочная работа.

5. Итоги урока.

6. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный этап. Создать положительный психологический настрой.

Здравствуйте, ребята, готовы ли вы к уроку? Скажите который час? Давайте сделаем часы и назначим место встречи своим друзьям. (КЛОК БАДДИС¹)

2. Проверка домашнего задания. Давайте проверим домашнее задание. Встречаемся друзьями в 3 часа. По домашнему заданию есть вопросы?

№736. Р₃=3! = 6 (закрепление цифрами 5, 7, 8).

№739. Р₄ = 4!= 24 >24(1+3+5+7) = 384

3. Актуализация.

- Ребята, я вам предлагаю одну задачу. Исходя из этой задачи, вы старайтесь поставить цель сегодняшнему уроку.

Вы учите 15 предметов. Если в один день у вас 6 уроков, 7 уроков, то сколькими способами заместитель директора по учебной части может составить расписание уроков? В каком случае у нее будет возможностей больше?

Ответы сверяем с друзьями, которым вы назначили встречу в 9 часов.

(КЛОК БАДДИС¹)

- Значит, чем мы сегодня будем заниматься? Какие задачи мы будем решать?

(Ожидаемый ответ: Комбинаторные задачи. (2 слайд))

- На какие термины мы опираемся при решении комбинаторных задач?

(Ожидаемый ответ: Факториал)

- Что называется факториалом? n! ? (3 слайд)

- Вспомним таблицу факториалов. (4 слайд)

- Почему мы факториал представляем в виде произведения?

- (Ожидаемый ответ: упрощать выражения.)

-   Как легче упростить выражение? (5 слайд)

- (Ожидаемый ответ: =1,4)

4. Работа с учебником.

№747 (а, б)

а) Делится ли число 14! на 168? 168 = 2•2•2•3•7. (Cокращаются с 14!)

б) Делится ли число 14! на 136? 136 = 2•2•2•17. (14! не сокращается с 17)

Задача (6 слайд). Что вы видите на рисунке? Что любят делать кошки? Сколькими способами 4 кошки могут удирать в разные стороны?

Решение: Пусть воры разбегаются поочередно.

У первого – 4 варианта выбора/

У второго – 3 варианта выбора/

У третьего – 2 варианта выбора/

У четвертого – 1 вариант выбора/

По правилу умножения 4 • 3 • 2 • 1 = 4! = 24

Ответ: 24 способа.

Задача (7 слайд). Ребята сегодня какой день недели?

В среду у вас сколько уроков?

В 9 классе в среду 7 уроков: физика, математика, география, татарский язык, физкультура, иностранный язык,информатика. В среду сколькими способами можно составить расписание?

Физике – 7 вариантов

Математике – 6 вариантов

Географии – 5 вариантов

Татарскому языку – 4 варианта

Физкультуре – 3 варианта

Иностранному языку - 2 варианта

Информатике - 1 вариант

По правилу умножения

7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 7! = 5040

Задача (8 слайд). В семье – шесть человек, а за столом в кухне – шесть стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти шесть стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?

Для удобства будем считать, что семья (бабушка, дедушка, мама, папа, дочь, сын) будет рассаживаться поочередно.

У бабушки – 6 вариантов выбора стульев.

У дедушки – 5 вариантов выбора стульев.

У мамы – 4 варианта выбора стульев.

У папы – 3 варианта выбора стульев.

У дочери – 2 варианта выбора стульев.

У сына – 1 вариант выбора стульев.

По правилу умножения: 6x5x4x3x2x1 = 720 (дней).

Пример. (9 слайд) Решите заданные примеры и проверьте с друзьями, назначенным встречу на 6 часов.(КЛОК БАДДИС¹)

 ; ; ;

Ожидаемый ответ:

( ; ; ;

= 31,5)

Задание № 19. Государственной итоговой аттестации (ГИА) содержит задания комбинаторики и теории вероятности. А теперь из книги “3000 задач” закрепим тему несколькими примерами.

(10 слайд)

№ 2618. Саша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 6.

Двузначных чисел – 90

На цифру 6 оканчиваются - 9

№2619. Антон наудачу выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 37.

Трёхзначных чисел – 900, на 37 оканчивается – 9

№ 2620. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало нечетное число очков.

Возможностей – 6

Нечетных чисел – 3

№ 2621. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, кратное 3.

Возможностей – 6

На 3 кратны – 2 (3, 6)

 

На экзамене может получиться такой ответ ?

Ожидаемый ответ: Нет, должна получиться конечная десятичная дробь.

№ 2622. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало 1.

Возможностей – 6.

Ответ: .

№ 2623. Из слова ФУНКЦИЯ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

Число букв – 7.

Согласных – 4.

 

6. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. А теперь проверим, как вы закрепили изученный материал? (11 слайд)

Самостоятельная работа - №30. Комбинаторное правило умножения. Перестановки.

1 вариант

1. Укажите все способы, какими можно расставить пять книг на двух полках (учтите при этом случаи, когда одна из полок окажется пустой)
2. Сколькими способами 9 участников конкурса могут выступить в порядке очередности в четверти финала конкурса?
3. Найдите значение выражения:



4. Делится ли число 40! на а) 410; б) 500; в) 780?
5. Используя цифры 0, 3, 7, 8, составьте все возможные двузначные числа, в которых цифры не повторяются.

2 вариант

1. Укажите все способы, какими можно разложить четыре мяча в две корзины (учтите при этом случаи, когда одна из корзин окажется пустой)
2. Курьер должен развезти пиццу по шести адресам. Сколько маршрутов он может выбрать?
3. Найдите значение выражения:



4. Делится ли число 50! на а) 400; б) 98; в) 510?
5. Используя цифры 0, 2, 4, 6, 8 составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры повторяются.
6. Рефлексия (подведение итогов урока). (Слайд 12)

- Какая была сегодня тема урока?

- Ребята, какую цель мы поставили перед уроком?

- Какие открытия мы сделали?

- Какую формулу закрепили?

- Всртречаются ли комбинаторные задачи в жизни?

(Выслушивается ответ каждого ученика).

В конце урока класс делится на две группы. Они составляют РАФТ² – постер (брошюру) и повесят на доску.

1 группа – брошюра, объясняющая термин “факториал”.

2 группа – Этот год был годом экологии в Татарстане. Составьте комбинаторную задачу на экологическую тему и покажите решение на постере.

5. В конце урока ставьте себе оценки.

6. Домашнее задание. (13 слайд)

Обязательные задания: №743, 749.

Дополнительное творческое задание: “Составить 2 комбинаторные задачи”.

____________

¹ (Clockbuddies) – “друзья по часам (времени)” - обучающая структура, в которой учащиеся встречаются со своими одноклассниками в “отведенное учителем” время для эффективного взаимодействия.

² Роль – Аудитория – Форма – Тема – структурированный вариант организации проектной работы, в которой конечный продукт может отличаться в зависимости от роли учеников, формы выполнения и темы задания.