Тип урока: Урок усвоения и закрепления первичных знаний.
Цель урока:
- Ознакомить учеников с понятием корней многочлена, научить находить их. Усовершенствовать навыки применения схемы Горнера по разложению многочлена по степеням и деления многочлена на двучлен.
- Научиться находить корни уравнения с помощью схемы Горнера.
- Развивать абстрактное мышление.
- Воспитывать вычислительную культуру.
- Развитие межпредметных связей.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока, сформулировать цели.
2. Проверка домашнего задания.
3. Изучение нового материала.
Пусть Fn(x)= anxn +a n-1xn-1+...+ a1x +a0 -многочлен относительно x степени n, где a0, a1,...,an –данные числа, причем a0 не равно 0. Если многочлен Fn(x) разделить с остатком на двучлен x-a, то частное (неполное частное) есть многочлен Qn-1(x) степени n-1, остаток R есть число, при этом справедливо равенство Fn(x)=(x-a) Qn-1(x) +R. Многочлен Fn(x) делится нацело на двучлен (x-a) только в случае R=0.
Теорема Безу: Остаток R от деления многочлена Fn(x) на двучлен (x-a) равен значению многочлена Fn(x) при x=a, т.е. R= Pn(a).
Немного истории. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции). Одним из способов решения уравнений высших степеней является способ разложения на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Вычисление коэффициентов многочлена и остатка записывается в виде таблицы, которая называется схемой Горнера.
Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда частное равно двучлену x–a.
Горнер Уильям Джордж (1786 - 1837), английский математик. Основные исследования относятся к теории алгебраических уравнений. Разработал способ приближенного решения уравнений любой степени. В 1819 г. ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен х - а (схема Горнера).
Вывод общей формулы для схемы Горнера.
Разделить с остатком многочлен f(x) на двучлен (x-c) значит найти такой многочлен q(x) и такое число r, что f(x)=(x-c)q(x)+r
Запишем это равенство подробно:
f0xn + f1 xn-1 + f2 xn-2 + ...+fn-1 x + fn =(x-c) (q0 xn-1 + q1 xn-2 + q2 xn-3 +...+ qn-2 x + qn-1 )+r
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:
xn : f0 = q0 => q0 = f0 xn-1 : f1 = q1 - c q0 => q1 = f1 + c q0 xn-2 : f2 = q2 - c q1 => q2 = f2 + c q1 ... ... x0 : fn = qn - c q n-1 => qn = fn + c qn-1.
Демонстрация схемы Горнера на примере.
Задание 1. С помощью схемы Горнера разделим с остатком многочлен f(x) = x3 - 5x2 + 8 на двучлен x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x3 - 5x2 + 8 =(x-2)(x2-3x-6)-4, где g(x)= (x2-3x-6), r = -4 остаток.
Разложение многочлена по степеням двучлена.
Используя схему Горнера, разложим многочлен f(x)=x3+3x2-2x+4 по степеням двучлена (x+2).
В результате должны получить разложение f(x) = x3+3x2-2x+4 = (x+2)(x2+x-4)+12 = (x+2)((x-1)(x+2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2)3 -3(x+2)2 -2(x+2)+12
Схему Горнера часто используют при решении уравнений третьей, четвертой и выших степеней, когда удобно разложить многочлен на двучлен x-a. Число a называют корнем многочлена Fn(x) = f0xn + f1 xn-1 + f2 xn-2 + ...+fn-1 x + fn , если при x=a значение многочлена Fn(x) равно нулю: Fn(a)=0, т.е. если многочлен делится нацело на двучлен x-a.
Например, число 2 является корнем многочлена F3(x)=3x3-2x-20, так как F3(2)=0. это означает. Что разложение этого многочлена на множители содержит множитель x-2.
F3(x)=3x3-2x-20=(x-2)(3x2+6x+10).
Любой многочлен Fn(x) степени n 
1 может иметь не более n
действительных корней.
Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
Если старший коэффициент уравнения равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, целые.
Закрепление изученного материала.
Для закрепления нового материала учащимся предлагается выполнить номера из учебника 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученика решают у доски, а остальные, решив, в тетради задания сверяются с ответами на доске).
Подведение итогов.
Поняв структуру и принцип действия схемы Горнера, ее можно использовать и на уроках информатики, когда рассматривается вопрос о переводе целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. В основе перевода из одной системы счисления в другую лежит следующая общая теорема
Теорема. Для перевода целого числа Ap из p-ичной системы счисления в систему счисления с основанием d необходимо Ap последовательно делить с остатком на число d, записанное в той же p-ичной системе, до тех пор, пока полученное частное не станет равным нулю. Остатки от деления при этом будут являться d-ичными цифрами числа Ad, начиная от младшего разряда к старшему. Все действия необходимо проводить в p-ичной системе счисления. Для человека данное правило удобно лишь при p = 10, т.е. при переводе из десятичной системы. Что касается компьютера, то ему, напротив, “удобнее” производить вычисления в двоичной системе. Поэтому для перевода “2 в 10” используется последовательное деление на десять в двоичной системе, а “10 в 2” — сложение степеней десятки. Для оптимизации вычислений процедуры “10 в 2” компьютер использует экономную вычислительную схему Горнера. [1]
Домашнее задание. Предлагается выполнить два задание.
1-е. Используя схему Горнера разделить многочлен f(x)=2x5-x4-3x3+x-3 на двучлен (x-3).
2-е. Найти целые корни многочлена f(x)=x4-2x3+2x2-x-6.(учитывая, что любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена)
Литература.
- Курош А.Г. “Курс высшей алгебры”.
- Никольский С.М, Потапов М.К. и др. 10 класс “Алгебра и начала математического анализа”.
- [1] https://inf.1sept.ru/article.php?ID=200600907.