Урок математики по теме "Отражение свойств функции в пословицах и поговорках"

Девиз урока: Математике учиться – всегда пригодиться.

Тип урока: урок повторения и применения полученных знаний.

Цель урока:  Изобразить  графически  как  некоторую  функцию пословицу  и  описать  свойства  функции-пословицы. (Презентация)

Определение 1.  Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве Х ⊂ D(f), если  для любых двух элементов  х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(х₁) <  f(х₂).
Иными словами: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Например, y = ax+ b, a> 0 линейная функция (показать на этом примере в классе).

«Каков мастер, такова и работа», –  гласит пословица. Изобразим графиком, как уровень выполнения работы улучшается по мере улучшения профессионализма мастера.
Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это профессионализм мастера (его разряд, талант). По вертикали (ось ординат) будем откладывать качество выполнения работы. Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем больше профессионализм мастера) значение функции будет больше (качество работы будет лучше).

(Разобрать вместе с классом, они подсказывают).

«Чем дальше в лес, тем больше дров», –  гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где всё давным-давно собрано, до чащоб, куда ещё не ступала нога заготовителя. 
Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это лесная дорога. По вертикали (ось ординат) будем откладывать (допустим, в кубометрах) количество дров на данном километре дороги.

График представит количество дров как функцию пути.
Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес…) значение функции будет больше (…тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

(Ученики сами в тетрадях изображают графиком пословицу).

«Кто много знает, с того много и спрашивается», –  гласит пословица. Изобразим графиком, как уровень полученных знаний влияет на степень ответственности человека.

Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это степень образованности человека (например, оценки школьника в дневнике). По вертикали (ось ординат) будем откладывать степень спроса (то, что ожидает учитель от этого ученика, или его родители). Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем больше образованность человека или ученика в школе) значение функции будет больше (степень спроса будет увеличиваться, т.е. учитель ожидает, что ученик правильно выполнит домашнее задание или напишет контрольную работу на «5»).

Определение 2. Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х ⊂ D(f), если для любых двух элементов  х₁ и х₂ множества Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f(х₁) > f(х₂).
Иными словами: функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Например, y = ax + b, a < 0 линейная функция (показать на этом примере в классе).

«Начальства много, а толку мало».
Функция, которая показывает, как изменяется мера толка в зависимости от количества начальства, монотонно убывающая.
Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это количество начальства. По вертикали (ось ординат) будем откладывать меру толка. Согласно пословице эта функция неизменно убывает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней точки (количество начальства) значение функции будет меньше (мера толка).

(Разобрать вместе с классом, они подсказывают). 

«Где много слов, там мало дела».
Функция, которая показывает, как изменяется эффективность дела в зависимости от количества слов, монотонно убывающая.
Горизонтальная ось графика (ось абсцисс) – это количество слов. По вертикали (ось ординат) будем откладывать эффективность дела. Согласно пословице эта функция неизменно убывает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней точки (количество слов) значение функции будет меньше (эффективность дела). Другими словами – нужно поменьше говорить, а больше делать.

Ограниченность функции

Определение 3: Функцию у = f(х) называют ограниченной снизу на множестве Х ⊂ D(f), если существует число m такое, что для любого значения выполняется неравенство f(x) > m (если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа).

Определение 4: Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве Х ⊂ D(f), если существует число М такое, что для любого значения выполняется неравенство f(x) < M (если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа).

Если функция ограничена и снизу и сверху, то её называют ограниченной.

«Выше меры конь не скачет» (разобрать вместе с классом). Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».

«Сорока никогда соловьиные песни не поёт» (ученики изображают сами). Если изобразить траекторию песен сороки, то уровень пения в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху уровнем пения мастерства соловья.

Определение: Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве Х ⊂ D(f), если:

1.  Существует число х_о  Х такое, что f(x_о) = M;
2.  Для любого значения х  Х выполняется неравенство f (x) <  f(x_о).

Например, квадратичная функция y = ax² + b + c,  a < 0. если ветви параболы направлены вниз, то график квадратичной функции имеет наибольшее значение функции в вершине параболы.

 «Дружный табун и волков не боится». Изобразим эту пословицу графиком, где степень дружбы табуна представлена как функция. По мере того, как табун становится дружнее и сплоченнее (достигает своего наибольшего значения), после этого табун уже не боится волков.

«Умные речи и в потемках слышно». Изобразим график, где умная речь  представлен как функция.

Речь можно произнести любую, но когда она достигает своего наибольшего значения, т.е становится умной, то её слышно везде, даже и в потёмках.

Определение: Число mназывают наименьшим значением функции у= f(x) на множестве Х ⊂ D(f), если:

1) Существует число хо  Х такое, что f(x_о) = m;
2) Для любого значения х  Х выполняется неравенство f(x) > f(x_о).

Например, квадратичная функция y= ax² + b+ c,  a > 0. если ветви параболы направлены вверх, то график квадратичной функции имеет точку минимума в вершине параболы.

«От погасшего угля не добудешь огня».

Если изобразить эту пословицу на графике, где возможность разжечь огонь от углей представлена как функция температуры углей, то станет видно, что, в определенный момент, когда угли совсем остынут, от них уже невозможно будет вновь зажечь огонь.

Закрепление материала

На доске написаны пословицы, попробуйте изобразить их графически и описать свойства. 

Поменьше говори – побольше услышишь. (убыв.)
Наварила ровно на Маланьину свадьбу. (наиб.)
Снег глубок — хлеб  хорош. (возр.)
С книгой поведешься — ума наберешься. (возр.)
Кому повезет, у того и петух несется. (наиб.)
Не подымай меня высоко, да и не опускай низко. (огр.)

Самостоятельная работа: (задание лучше выполнять в группах или в парах)

Среди пословиц и поговорок выбрать те, где можно описать свойства функций: Возрастание, убывание, ограниченность, наибольшее и наименьшее значения функции. Изобразить графически. (Приложение 1)

Итог урока

– Ребята, сегодня мы с вами попытались представить пословицы и поговорки в виде некоторой функции, изобразили графически пословицы и поговорки, описали свойства функций-пословиц.

Рефлексию урока представить в виде: закончи предложение «А у меня не получилось…», «А мне не понравилось….», «Что было интересного….», «Я и не думал …» и т.д.