Цели:
- Обучающая: научить решать текстовые задачи, по алгебре применяя графическое изображение условия задачи, научить заменять алгебраическое решение чисто геометрическим или интеграцией графического метода, метода подобия треугольников и метода уравнений и неравенств.
- Развивающая: развивать умение ориентироваться в нестандартных ситуациях, сообразительность.
- Воспитывающая: прививать любовь к математике и поиску интересных и простых решений.
Оборудование: компьютер, мультимедийная установка.
Ход урока
1. Устная работа (повторить построение графика линейной функции, признаки подобия треугольников, свойства пропорции).
1. Знай.
Задание1. Как продолжить утверждение, чтобы оно стало верным?
“Если два угла одного треугольника…”;
Задание 2. Продолжить фразу так, чтобы утверждение стало верным.
“Если три стороны одного треугольника …”;
Задание 3. Сформулируйте последний признак подобия треугольников.
2. Подумай.
Задание 1.
А В Дано: АВСD – параллелограмм.
F Найти: подобные треугольники и доказать их подобие.
Задание 2.
B Дано: DE‖AC.
DE= x
Xx 3 Найти: x
3. Примени.
Задание1.
Дано: ∆ABC ∆MNK
Найти: x; y.
Задание 2.
Дано:DC⊥AB, AE⊥BC.
Верно ли, что ∆BAE^∆BCD?
4. Сообрази.
Задание 1.
Дано : BC‖AD.
Запишите пропорциональные отрезки.
Задание 2.
Дано: AB· BK=CB·BP.
Найдите равные углы, если они есть.
5. Напрягись.
Задание 1.
Дано: MNKF – прямоугольник.
Сколько образовалось подобных треугольников?
Задание 2.
Подобны ли нарисованные Треугольники?
2. Объяснение решения задач на движение методом подобия.
Основное преимущество геометрического метода в его наглядности. Оно позволяет увидеть то, что в алгебраическом методе скрыто за аналитическими выкладками. Кроме того, выполненный рисунок позволяет рассуждать, делать выводы. Недаром еще великий Р. Декарт в своем труде “ Правила для руководства ума” специально выделял правило о том, что “полезно чертить… фигуры и преподносить их внешним чувствам, для того чтобы таким образом нам было легче сосредотачивать внимание нашего ума”. Особую ценность это правило имеет при решении текстовых задач.
Задача № 1.
Два пешехода вышли одновременно из двух сел А и В навстречу друг другу. После встречи первый пешеход шел 25 минут до села В, а второй шел 36 минут до села А. Сколько минут они шли до встречи?
Решение. 1 способ.
Пусть до встречи пешеходы шли Х минут. Тогда первый был в пути (Х +25) минут, второй (Х + 36) минут. В 1 минуту первый пешеход проходил 1/(х +25)м., а второй 1/(х +36)м. расстояния АВ. Вместе они проходили в 1 минуту 1/х м. расстояния АВ. Составим уравнение:
Это уравнение имеет единственный положительный корень Х= 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.
2 способ.
Теперь рассмотрим метод подобия, часто помогающий избежать громоздких рассуждений и составления сложного уравнения (или нескольких уравнений).
Пусть до встречи пешеходы шли Х минут. Построим графики движения пешеходов. Так как в задаче работа рассматривается как равномерный процесс, то отрезок АО – график движения первого пешехода, а отрезок ВР – график движения второго пешехода, АК – изображает время движения до встречи, МО– время движения первого пешехода после встречи до села В, МО=25,КР– время движения второго пешехода после встречи до села А, КР = 36. Проведем МК ‖ АВ и рассмотрим образовавшиеся треугольники.
Из подобия двух пар треугольников BNM и PNK, MNO и KNA (по двум углам) следует, что
Это уравнение имеет единственный положительный корень Х = 30. Следовательно, пешеходы шли до встречи 30 минут.
3. Закрепление решения задач.
Задача№ 2.
Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой – 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?
Решение.
Можно составить систему из двух уравнений с тремя неизвестными, которая сводится к квадратному уравнению, дающему ответ t1= 21, t2= 28.
А мы условие задачи представим графически, смотри рис. 3.
Рис. 3
Аналогично решению предыдущей задачи из подобия
треугольников имеем
; t2 =144;
t = 12.
12 +6 =28(Ч), 12 + 9 =21(ч).
Ответ: 21 ч, 28 ч.
Задача № 3.
Три пункта – А, В, С – расположены на одной прямой, причем пункт В расположен между А и С. Из пунктов А и В по направлению к С одновременно выехали две машины. Через 5 часов расстояние между ними составило треть расстояния ВС, а еще через 5 часов они одновременно прибыли в С. Найдите отношение скоростей автомобилей.
Решение.
Сразу рисуем графики, соответствующие условию данной задачи (рис. 4) и начинаем размышлять.
(рис. 4)
Некоторые задачи на работу аналогичны задачам на движение. Давайте попробуем применить описанный способ к решению такой задачи.
Задача № 4.
Двое рабочих, выполняя задание вместе, могли бы закончить его за 12 дней. Если сначала будет работать только один из них, а когда он выполнит половину всей работы, его сменит второй рабочий, то все задание будет закончено за 38 дней. За сколько дней каждый рабочий в отдельности может выполнить все задание?
Решение. 1 способ.
Алгебраический метод решения приводит к уравнению
Где Х– количество дней, за которое первый рабочий выполнит все задание.
2 способ. Теперь рассмотрим метод подобия.
Построим графическую модель задачи (рис. 5).
(рис. 5)
Для определенности предположим, что первый рабочий работает быстрее, чем второй. Так как в задаче работа рассматривается как равномерный процесс, то отрезок AN – график работы первого рабочего, а отрезок BD – график работы второго рабочего, AQ изображает время совместной работы, AQ = 12. Проведем NK ІІ BD, тогда AK = 50. Далее используем подобие образовавшихся треугольников.
Треугольники NMA, PQA и PCN подобны по двум углам, отсюда следует, что
Треугольники NMK, PQD и PCB подобны по двум углам, отсюда следует, что
Составим уравнение:
.
Решая это уравнение, находим: х1=18, х2 = 8. Учитывая, что
первый рабочий работает быстрее, то Х<значит, Х = 8. Тогда время
t1, его изображает отрезок
AM, равно 20 ч, а время
t2, его изображает отрезок
MK,равно 30 ч.
Ответ: 20 ч, 30 ч.
Задача № 5.
Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 ч из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 мин – мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту времени все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 ч позже мотоциклиста?
Решение.
Для алгебраического решения задачи ситуация, описанная в ней, требует введения целого ряда неизвестных и составления системы из нескольких уравнений. В целях экономии времени не будем решать задачу с помощью системы. Итак, рассмотрим решение этой задачи геометрическим методом. Ситуацию, описанную в задаче, изобразим графически.
Поскольку все движения равномерные, то условию задачи соответствует рисунок 2.
(рис. 2)
А теперь, как говорили древние математики– индусы, “Смотри!”:
Из подобия треугольников (опустим доказательство ) следует пропорция
Ответ: на 48 мин.
Вывод: Благодаря интеграции алгебраического и геометрического методов, математические знания предстают перед вами как “живая”, динамическая система, способная решать любые задачи.