Тема урока "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии"

Разделы: Математика

Цели.
  1. Построение знаний о сумме n первых членов геометрической прогрессии, вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии;
  2. Развитие исследовательских умений;
  3. Осознание практической значимости полученных знаний.

Оборудование.

  1. Мультимедиапроектор;
  2. Экран;
  3. Документ камера;
  4. Карточки желтого, розового и оранжевого цвета для каждого учащегося;
  5. Презентация (Приложение);
  6. Алгебра.9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю.Н.Макарычев, Р.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. – . 18-е изд. – М.; Просвещение, 2011.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний.

Учитель: У каждого из вас есть карточки трёх цветов. Ваша задача- выбрать правильный ответ и показать карточку нужного цвета. (Слайд 2–6)

II. Постановка проблемного вопроса.

Учитель: (Слайд 7)

1) Я предлагаю вам сделку. Ежедневно в течение месяца я буду приносить вам по 100 тысяч. А вы мне за это в первый день дадите 1 копейку, во второй – 2 копейки, в третий – 4 копейки и так каждый день будете увеличивать плату в 2 раза. Если вам сделка выгодна, то с завтрашнего дня и начнем.

2) А выгодна ли эта сделка в самом деле? Посчитаем.

3) 100000·30 = 3000000 руб – ваш доход

4) 1 + 2 + 4 + …+ …=?

5) Как называется данное выражение? (Сумма.)

6) Что представляют собой слагаемые? (Это члены геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=30.)

7) Подведем итог - чтобы ответить на поставленный вопрос, надо найти сумму n =30 членов геометрической прогрессии. Это и есть тема урока. Запишите её в тетрадях.

8) Сформулируйте цель урока (найти способ вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии). (Слайд 8)

III. Решение проблемного вопроса.

1) Запишите сумму: S = 1 + 2 + 4 + 8 +…

2) Представьте слагаемые, начиная со второго в виде степени числа 2: S = 1 + 21 + 22 + 23 + 24 +…229 (*)

3) Умножьте обе части равенства на 2 ( что такое 2 для данной геометрической прогрессии) : 2S = 2 + 22 + 23 + 24 +…230 (**)

4) Сравните равенства (*) и (**), укажите равные элементы.

5) Какое можно выполнить с данными равенствами, чтобы упростить правую часть (Вычесть из второго первое):

2S – S = (2 + 22 + 23 + 24 +…230 ) – (1 + 21 + 22 + 23 + 24 +…229) = 230 – 1 или S = 230 – 1 = (210)3 – 1 ≈ 10 млн руб. (Слайд 9)

Так кому выгодна эта сделка?

6) Повторим этапы вывода данной формулы:

  1. Записать сумму n первых членов.
  2. Умножить обе части равенства на q.
  3. Из пункта б вычесть пункт а.
  4. Выразить S.

IV. Самостоятельная работа. (1 учащийся работает за доской.)

Дана геометрическая прогрессия bn : b1, q, n. Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии (если затрудняетесь, помощь окажет помощник (Слайд 10).)

Решение:

Sn = b1 + b2 +…+ bn

qSn = qb1 + qb2 +…+ qbn =b2 + b3 +.. qbn

qSn – Sn = bnq – b1

Sn(q – 1) = bnq – b1

, где q ≠1 (Cлайд 11)

V. Закрепление и расширение первичных знани.

а) Решить № 648(а), 649(б).

б) Ежедневно каждый болеющий гриппом может заразить 4 окружающих. Через сколько дней заболеет 342 учащихся ? (Решение проверяются при помощи документ камеры.)

VI. Подведение итогов.

  1. Назовите тему урока.
  2. Какова была цель урока?
  3. Оцените свой уровень понимания темы урока. (Слайд 12)
  4. Домашнее задание: пункт 28, № 650, задача: Ежедневно каждый курильщик выкуривает в среднем 8 сигарет. После выкуривания 1 сигареты в легких оседает 0,0002 грамма никотина. С каждой последующей это количество увеличивается в 2 раза. Сколько граммов никотина оседает в легких за 1 день?