Профиль класса: общеобразовательный.
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.
Знания и умения учащихся:
- ученик знает понятия графа и мультиграфа, знаком с понятиями “вершина графа” (смежные вершины) и “ребро графа” (кратные ребра и петли);
- умеет приводить примеры использования графов в различных учебных предметах и повседневной жизни.
Цели:
Образовательные:
- закрепить понятие графа, сформировать представление о степени вершины графа (четная, нечетная вершины), сформулировать определение о связности графа, рассмотреть утверждение о количестве ребер графа и теорему о четности числа нечетных вершин графа;
- отработать навыки использования теоретических знаний для решения новых задач.
Развивающие:
- развивать логическое мышление учащихся, способность к рассуждению, внимательность;
- формировать умение представлять информацию в виде графов.
Воспитательная:
- воспитывать культуру общения на уроке, взаимоуважение.
План урока
- Организационный момент (приветствие класса, подготовка к уроку, проверка домашнего задания, включающая повторение материала предыдущего урока);
- Теоретический материал (знакомство с темой предстоящего урока, объяснение нового материала и краткая запись в рабочую тетрадь новых теоретических сведений по теме урока);
- Закрепление материала (решение задач);
- Итоги урока (краткий вывод и домашнее задание).
Ход урока
Давайте вспомним основные понятия теории графов. Для этого проведем разминку по типу незаконченного предложения (Презентация, сл.: 2, 3, 4). Каждый ученик имеет карточки с пропущенными словами в предложение. Учитель зачитывает предложение, останавливаясь перед пропущенным словом, и выбирает ученика, который в свою очередь должен поднять карточку. Далее этот ученик читает дальше предложение, также останавливаясь перед пропущенным словом, и уже сам выбирает одноклассника для ответа и т. д. по цепочке.
Проверим в классе решение домашней задачи (Презентация, сл.: 5, 6, 7). Один ученик выходит к доске и рисует граф. Далее мы вместе проверяем ребра (дороги между городами), считаем количество выходящих ребер из каждой вершины и смотрим связи между городами.
Сегодня на уроке мы продолжим изучение графов, познакомимся с понятием “степень вершины графа” и сформулируем определение связности графа (обратим внимание на наш граф из домашнего задания и определим, является ли он связным или нет и почему). Рассмотрим утверждение о количестве ребер графа, и проверим в соответствие с этим утверждением, правильно ли мы посчитали количество ребер графа в домашней задаче. И рассмотрим теорему о четности числа нечетных вершин графа.
Количество ребер, выходящих из одной вершины, называют степенью этой вершины. Для петли будем считать, что это ребро выходит из вершины дважды (Презентация, сл. 8).
Запишем определение в рабочую тетрадь и зарисуем представленный граф, для данного графа посчитаем степень каждой вершины. Ребята смотрят на слайд и работают самостоятельно, далее вслух зачитаем степень каждой вершины.
Вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной (Презентация, сл. 9).
Запишем определение в тетрадь и перечислим через запятую сначала четные вершины, а потом нечетные вершины для уже нарисованного графа. Проверим задание вслух.
Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Пусть граф имеет n вершин, тогда число ребер равно:
(Презентация, сл. 10)
Запишем утверждение в рабочую тетрадь и посчитаем количество ребер графа в домашней задачке. Проверим ответ в классе. Рассмотрим задачу и ее решение на подсчет числа ребер графа без построения. (Презентация, сл. 11).
Сформулируем теорему о количестве вершин нечетной степени любого графа и запишем формулировку в рабочую тетрадь. (Презентация, сл. 12).
Теорема. Количество вершин нечетной степени любого графа всегда четно.
Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин.
Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной.
А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.
Разберем доказательство и проверим теорему на нашей домашней задачке.
Рассмотрим несколько задач.
Задача. В государстве 50 городов, из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.
Решение. Подсчитаем общее количество выходящих дорог из городов: 50 * 4 = 200. Однако, мы понимаем, что при подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 100.
Задача. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).
Сегодня мы с вами познакомились с новыми определениями, связанными с понятием графа, рассмотрели утверждение, которое помогает быстро подсчитывать число ребер графа, и сформулировали теорему, которая значительно упрощает решение многих задач. В частности, поучительная сторона этой теоремы заключается в исследовании и ответе на вопрос, возможно или нет решение данной задачи, прежде чем приступать за ее решение.
В качестве домашнего задания ученики получать карточки с тремя задачами (Презентация, сл. 13).