Цель урока: выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.
Оборудование:
- Компьютер учителя.
- Интерактивная доска.
- Презентация.
- Учебное электронное издание “Математики 5-11”
1. Изучение нового материала. Приложение 1.
Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь стоить на рисунке их сечения различными плоскостями. Уточним, что понимается под сечением тетраэдра или параллелепипеда. Слайд 2. Назовём секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называются сечением тетраэдра (параллелепипеда). Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырёхугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники. (Слайд 3).
При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани. (Слайд 4).
Рассмотрим примеры построения различных сечений тетраэдра и параллелепипеда. (Слайд 5. Слайд 6. Слайд 7).
Задача. На ребрах параллелепипеда даны три точки А,В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС. (Слайд 8)
Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А ,В и С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины, нужно провести отрезки АВ, ВС и СА, и получится искомое сечение – треугольник АВС. Рисунок 1. Если три данные точки А,В и С расположены так, как показано на рисунке 2, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а через точку С – прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с рёбрами нижней грани дают точки Е и D. Остаётся провести отрезок ЕD, и искомое сечение пятиугольник АВСDE – построено.
Более трудный случай, когда данные точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 3. В этом случае можно поступить так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. Далее через точку М проведём прямую, параллельной ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение - шестиугольник ABCDEF – построено.
2. Решение задач.
1) На данных рисунках изображено сечение куба плоскостью. В чем ошибка? Дайте объяснение. (Слайд 9)
2) В тетраэдре DABC точка E – середина ребра СD, точка F лежит в плоскости АВС. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки Е и F параллельно прямой АD.
(Слайд 10) Через точку Е в плоскости АСD проведём прямую параллельную ребру АD. Прямая пересечёт ребро АС в точке в точке Т. Через точки Т и F, лежащих в нижней грани проведём прямую TF. Она пересечёт ребро АВ в точке М. Через точку М в плоскости АDB проведем прямую параллельную ребру АD. Она пересечёт ребро DB в точке О. Четырёхугольник ЕТМО – искомое сечение.
3) Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. постройте сечение куба, проходящее через точки В1, А и С, и найдите его площадь. (Слайд 11)
3. Работа с электронным учебным изданием “Математика 5-11. Практикум” (Дрофа)
1) В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром равным а, через АВ и точку С1 проведите сечение и найдите его площадь. С помощь данной лаборатории, обучающимся демонстрируется куб, с построенным сечением, с различных сторон. Детям легче определить получившееся сечение и найти его площадь. Данное издание можно скачать с сайта karmanform.ucoz.ru
2) В правильной четырёхугольной пирамиде
проведено сечение, проходящее через середины
двух смежных боковых ребер параллельно высоте
пирамиды. Найдите площадь этого сечения, если
боковое ребро равно 18, а диагональ
основания равна 16
.
4. Решение задач.
1). В тетраэдре DABC точки M и N – середины рёбер DA и DB.Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки M и N параллельно прямой DC. Определите вид построенного сечения.
Решение. 1. Соединяем точки М и N так как они принадлежат одной грани тетраэдра. 2. В гранях ADС и BDC через точки M и N проводим прямые параллельные прямой DC . Эти прямые пересекут грань основания в двух точках. Соединяем получившиеся точки и получаем искомое сечение. 3. В сечении получаем параллелограмм. (Обосновать)
2). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей мерез точки M, N и K, если точка К принадлежит грани основания.
Решение. 1. Продолжим до пересечения прямые ВС и MN. Точка пересечения принадлежит основанию тетраэдра, поэтому…
5. Подведение итогов урока. Ученики получают отметки.