Задачи на совместную работу

Научить решать опорные задачи, которые помогут “открыть” решение составных задач на совместную работу.
Расширить представления учащихся о практике решения задач различными способами
Дети учатся находить сначала указанную часть величины, а потом, увеличивая или уменьшая эту величину на найденную часть, построение схематического рисунка к условию задачи его использование при решении задачи, устанавливается соответствие между задачами на работу и аналогичными задачами на движение. Особенно сложен переход от дроби к числу, которое указывает на число часов работы, нахождения в пути и т. д. Необходимо больше уделять внимания опорным задачам, выстроить определенную цепочку рассуждений, научить связывать порознь усвоенные приемы решения, комбинировать их при поиске решений новых задач.

Цели урока:

• Воспитательные:
  • вырабатывать умение преодолевать трудности,
  • стимулировать мотивацию и интерес к изучению математики,
  • приучать к эстетическому оформлению записи в тетради,
  • формировать умение выслушивать других.
• Развивающие:
  • развивать логическое мышление сообразительность, познавательный интерес;
  • развивать умение контролировать свои действия;
  • обучение действию по аналогии;
  • развивать культуру математической речи;
  • вырабатывать умение общения.
• Образовательные:
  • проверить, с помощью самостоятельной работы, навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями;
  • познакомить с методом решения задач на совместную работу;
  • расширять кругозор учащихся;
  • научить использовать арифметический способ для решения задач на «совместную работу»;
  • стимулировать учащихся к овладению этим методом для решения других текстовых задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Постановка целей и задач урока

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения текстовых задач арифметическим способом; решение исторических задач и старинных способов их решения расширит представление о практике решения задач в старые времена.

3. Устная работа

1. Бассейн наполняется за 3 ч. Какая часть бассейна наполняется за 1 ч?

Решение:

1: 3 = 1/3 часть бассейна наполнится за 1 час.

Ответ: 1/3

2. Работу выполнили за 5 часов. Какую часть работы выполняли в каждый час?

Решение:

1 : 5 = 1/5 часть работы выполняли каждый час.

Ответ: 1/5

3. В каждый час труба наполняет 1/12часть бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Решение:

1: 1/12 = 12 часов – время для наполнения бассейна.

Ответ: 12 часов.

4. Путник проходит в час 1/6 часть пути. За сколько часов он пройдет весь путь?

Решение:

1 : 1/6 = 6 часов затратит путник на весь путь.

Ответ: 6 ч.

5. В каждый час первая труба наполняет 1/4 бассейна, а вторая – 1/3 бассейна. Какую часть бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной работы.

Решение:

1/4 + 1/3 = (3 + 4)/12 = 7/12 (часть бассейна) – наполняют обе трубы за 1 час

Ответ: 7/12

6. Два путника одновременно вышли навстречу друг другу и встретились через 3 часа. На какую часть первоначального расстояния они сближались в каждый час?

Решение:

1 : 3 = 1/3 часть расстояния соответствует сближению путников за час.

Ответ: 1/3.

4. Проверка домашнего задания

Учащиеся должны были придумать сами или подобрать из различных источников
опорные задачи на совместную работу

5. «Открытие» детьми нового знания. Способы действия в новой ситуации

Учитель: Хорошо. Все успешно справились с предложенным заданием, а теперь прошу все внимание на доску. Мы начинаем изучать новую тему, которая называется «Задачи на совместную работу».
Сегодня на уроке мы научимся решать новые задачи на совместную работу, опираясь на усвоенные методы решения опорных задач
Хочу напомнить, что всю работу принято считать равной единице и при этом всё равно, какую работу выполняют и в чём её измеряют.

Решение старинной задачи всем классом.
На экране вы видите текст одной из задач «Арифметики Магницкого», попробуйте ее решить. Какие будут варианты? (Дети высказывают свои варианты решения).

Лошадь съедает воз сена за два месяца, овца – за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?

Решение:

1) Известно, что лошадь съедает воз сена за месяц.
2) 1 : 2 = 1/2 (воза) съедает за месяц коза.
3) 1 : 3 = 1/3 (воза) съедает за месяц овца.
4) 1 + 1/2 + 1/3 = (6 + 3 + 2)/6 = 11/6 (воза) съедает за месяц лошадь, коза и овца.
5) 1 : 11/6 = 1 · 6/11 = 6/11 (месяца) съедят воз сена лошадь, коза и овца.

Ответ: 6/11 (месяца).

А теперь посмотрите, как решалась эта задача в 17 веке.

Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев. Тогда лошадь съедает 6 возов, коза – 3, а овца – 2. Всего 11 возов, значит, в месяц они съедают 11/6 воза, а один воз съедят за 1 : 11/6 = 6/11 (месяца)

Приведенный способ решения задачи указывает на то, что авторы решения применяли такое рассуждение, видимо, потому, что не умели действовать с дробями.

Учитель: Продолжим изучение методов решения задач на совместную работу.

Задача 1.

В городе есть искусственный водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за 8часов, а третья – за 24 часа. За сколько времени наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

Решение:

1. 1 : 4 = 1/4 (водоема) – наполнится через первую трубу за час.
2. 1 : 8 = 1/8 (водоема) – наполнится через вторую трубу за час.
3. 1 : 24 = 1/24 (водоема) – наполнится через третью трубу за час.
4. 1/4 + 1/8 + 1/24 = (6 + 3 + 1)/24 = 10/24 (водоема) – наполнится через три трубы за час.
5. 1: 10/24 = 1· 24/10 = 12/5 = 2(ч)

Ответ: через три трубы, работающие одновременно, водоем наполнится за 2ч.
Таким образом, при решении задач на совместную работу складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники.

Итак, алгоритм.
При решении задач на совместную работу вся выполненная работа принимается за единицу.
а) Находим часть работы выполненной одним объектом за единицу времени (производительность Р1). (Р = 1/Т)
б) Находим часть работы выполненной другим объектом за единицу времени (производительность Р2).
в) Находим часть работы выполненной двумя и более объектами за единицу времени (производительность Р = Р1 + Р2).
г) Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми участвующими объектами (Т = 1 : Р).

6. Первичное закрепление изученного материала

Устная работа

Задача. Маша принесла своим друзьям медведям торт. Известно, что старший медведь может съесть торт за два дня, средний медведь за три дня, а младший за шесть дней. За сколько дней три медведя вместе съедят торт?

Решение:

1 : 2 = 1/2 (часть торта) – съест старший медведь за 1 день
1 : 3 = 1/3 (часть торта) – съест средний медведь за 1 день
1 : 6 = 1/6 (часть торта) – съест младший медведь за 1 день
1/2 + 1/3 + 1/6 = (3 + 2 + 1)/6 = 1 (то есть один торт) – вместе три медведя съедят торт за 1 день

Ответ: за 1 день.

Кто быстрее всех решит верно, следующую задачу:

За пять недель пират Ерёма способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром пираты, действуя вдвоём?

Учитель: Давайте теперь решим задачу следующего содержания

Задача 2.

Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг другу. Один пешеход может пройти весь путь за три часа, а другой – за 4ч.
Через сколько времени они встретятся?
Решение:
Это тоже задача на «совместную работу», хотя, строго говоря, никто не работает. Но можно считать, что «работа» пешеходов – это прохождение пути. Поэтому весь путь принимаем за «единицу» и вычисляем часть пути, пройденную каждым пешеходом.

1. 1:3 = 1/3 (расстояния) – проходит первый пешеход за один час.
2. 1 :  4 = 1 : = 1 · = (расстояния) – проходит второй пешеход за один час.
3. + = = (расстояния) – сближаются оба пешехода за час.
4. 1 :  = 1 · = = 1(ч).

Ответ: пешеходы встретятся через 1ч.

5. Самостоятельное решение подобных задач по рядам с самопроверкой

Задача 3. Один ученик может убрать класс за 20 мин, а второй за 30 мин. За сколько минут они могут убрать класс, работая вместе?

Решение:

Примем всю работу за единицу.
1 : 20 = 1/20 (часть всей работы) – выполнит первый ученик за 1 мин
1 : 30 = 1/30 ( часть всей работы) – выполнит второй ученик за 1 мин;
1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12 (часть всей работы) – выполнят при совместной работе два ученика за 1 мин
1 : 1/12 = 12 (мин) – выполнят всю работу два ученика

Ответ: 12 мин

Задача 4. Через первую трубу водоем можно наполнить за 5ч, а через вторую – за 6 ч. За сколько часов наполнится водоем при совместной работе этих труб?

Задача 5. Грузовая машина проезжает расстояние между двумя городами за 3 ч, а легковая – за 2 ч. Машины одновременно выехали из этих городов навстречу друг другу. Через сколько часов они встретятся?

6. Работа с учебником по дифференцированным заданиям

№ 612, №613(1)
для сильных учащихся № 614(1) и № 615(2).

7. Рефлексия деятельности

С помощью беседы обсудить с учащимися вопросы:

– Задачи, какого типа научились решать?
– Что нового на уроке узнали?
– Что научились делать?
– Что находим первоначально при решении задач на совместную работу?
– Где испытывали затруднения?

8. Домашнее задание.

№ 613(2),611Выучить алгоритм решения задач на совместную работу, повторить правила сложения и вычитания обыкновенных дробей
Учащиеся должны придумать сами или подобрать из различных источников задачи на нахождение времени при совместной работе.
Сообщить, что на следующем уроке будем решать задачи с более сложной формулировкой.
Назвать оценки, которые получили учащиеся

Используемая литература

1. Учебник Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон и др. «Математика 5».
2. Методические рекомендации к учебнику «Математика5» Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон и др