Геометрия является самым
могущественным средством
для изощрения наших умственных способностей и
дает нам возможность правильно мыслить и
рассуждать.
Г.Галлилей
Алгебра – не что иное, как записанная в
символах геометрия,
а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в
фигурах
София Жермен
Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение. Тригонометрические функции — это испытанный аппарат геометрии и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практически и возникли — из решения треугольников
В школе мы начинаем изучать тригонометрию с
вывода тригонометрических зависимостей из
прямоугольного треугольника. Еще в 8-м классе, я
начинаю работу по обучению детей тригонометрии,
так как значительное число упражнений с
аргументами из промежутка (0; ) выполняются геометрически.
При таком подходе очевидны следующие плюсы.
Во-первых, раннее ознакомление учеников с тригонометрическими заданиями способствует раскрытию творческого потенциала учеников. Во-вторых, расширению математического кругозора. В-третьих, увеличению объема предметных умений. В-четвертых, использование свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников, формул для нахождения площадей фигур, теорем синусов и косинусов приобретают устойчивость.
В 10-м классе геометрический метод дает порой более легкий способ решения тригонометрических заданий. Геометрически можно показать интересные решения тригонометрических задач и проявить при этом смекалку и эрудицию.
Несколько примеров с использованием равнобедренного треугольника.
При решении используются следующие утверждения:
10 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Является медианой и биссектрисой.
20 Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании.
30 Биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам.
Задача 1. Вычислите cos15°.
В 10-м классе используется формула cos (45° – 30°)
В 8-м классе можно решить, используя равнобедренный треугольник
Для нахождения sin.cos. tg угла 22°30’ используем равнобедренный треугольник с углом против основания 45° далее аналогичное решение.
Задача 2. Найти sin 18°
В 10-м классе можно решить следующим образом.
sin 36°= cos 54°= cos (18° + 36°)
2 sin18° cos18° = cos18° cos36° – sin18° sin36°;
2 sin18° cos18°= cos18°(1 – 2sin218°) – 2sin218°cos18°
2 sin18° = 1 – 4sin218°, решаем квадратное уравнение и учтем, что sin18° > 0, получим
sin18° = .
Эту задачу можно решить геометрически
Строим равнобедренный треугольник АВС с АВ=ВС и
АВС=36°, тогда
ВАС -
ВСА = 72° (см рис. 2)
Проведем AD биссектрису ВАС. Получим равнобедренные
AВD и
AСD.
Обозначим AD=ВD=АС= а и АВ=b, тогда СD= а– b. Далее
используем подобие треугольников или свойство
биссектрисы угла
и решим
квадратное уравнение
получим
Так как sin18° = cos72°. Рассмотрим AСD СD = 2АС·cos72° (свойство20)
<–> cos
=
=
sin18° = cos
Рис. 2
При решении многих тригонометрических задач удобно применять прямоугольный треугольник
Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, решаются геометрически быстрее и проще
Задача 3. Вычислите Переформулируем задачу
“Вычислить косинус суммы углов
”
Рис. 3
Построим углы . Из рисунка видно, что
ANB =
DSC (по двум катетам), следовательно
т.е.
Задача 4. Вычислите
В 10-м классе можно решить задачу с помощью формул, затратив на это немало усилий. Геометрически эта задача решается намного проще
Рис. 4
Обозначим
.
tg
.
Вычислим
Построим
прямоугольный
АВС,
где ВС=5n, АС=12n, тогда АВ=13n и
ВАС =
. Для угла
строим
ВСК, так, чтобы катет ВС был
прилежащим к углу
. В результате построения
АВD
равнобедренный, АВ=АD=13n .
АВD=
АDВ =
, 2
![](Image9512.gif)
Задача 5. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x =
Пусть arcsin x = ,
arcsin 2x =
, где
+
=
, тогда sin
= x, sin
=
2x.
Отметим, что x > 0 (иначе arcsin x < 0, arcsin 2x < 0, их
сумма < 0).Построим прямоугольные треугольники,
так чтобы +
образовали
прямой угол.
(рис. 5)
АВСD – прямоугольник.
Пусть АС = 1, тогда ВС = 1 · sin = sin
= x, и CD = 1 · sin
= sin
=
2x.
По теореме Пифагора из треугольника АВС:
AB2 + BC2 = AC2,
(2x)2 + x2 = 1,
5x2 = 1,
x2 = ,
x = , x = –
– не подходит
по условию задачи.
Ответ: .
Задача 6. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = .
Пусть arcsin x = ,
arcsin 2x =
, тогда
+
=
.
x = sin , 2x = sin
. Заметим, что x >
0.
РИС. 6
Построим АОМ =
,
АОВ =
,
МОВ =
+
=
. АМ
ОМ.
Пусть ОА = 1, тогда, из треугольника АОМ, АМ = 1 · sin = sin
= 2x.
Проведём АКОВ.
Из треугольника АОК АК = 1 · sin
= sin
= x.
Проведём КС
ОМ.
СКА =
КОМ =
– как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами.
Проведём АD
КС. Из
АDК KD = AK ·
cos 60° = x ·
=
.
DC = AM = 2x. Значит, КС = KD + DC = + 2x =
.
Из АОК по
теореме Пифагора:
ОК = =
.
Из ОКС: ОК · sin
60° = KC
Ответ: .
Примеры решения тригонометрических уравнений.
Задача 7. Решить уравнение cos x – sin x = 1.
cos x – sin x = 1
Разделим левую и правую часть уравнения на
корень квадратный из суммы квадратов
коэффициентов при cos x и sin x, т. е. на =
:
Геометрическое решение:
Рис. 7
cos x – sin x = 1
ВС = 1 · sin x = sin x,
АС = 1 · cos x = cos x.
Следовательно, АС – ВС = 1. Но в АВС каждая сторона больше
разности двух других сторон, т. е.
АВ > АС – ВС <=> АС – ВС < 1, т. к. АВ = 1. Но по
условию задачи требуется, чтобы АС – ВС = 1. Это
возможно только, если ABС превратится в отрезок, т.е.
если АС = 1, а ВС = 0, т.е. x1 = 0 + 2k, x1 = 2
k, k
Z
если АС = 0, а ВС = 1, т.е. x2 = –x2 = – + 2
l, l
Z
Ответ: 2k; –
+ 2
l, k
Z.
Задача 8 Решить уравнение , если х – острый угол
Геометрическое решение. Проведем BDAC.
Сумма двух отрезков равна 4 .Отрезки найдены по теореме косинусов
Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение “наиболее простых”, оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки
Решение тригонометрических задач методом, основанным на наглядно-геометрической интерпретации развивает логическое мышление и пространственное воображение
Литература
- А Г Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 класса. Москва, “Мнемозина”, 2010.
- А.Ф. Бермант, Л.А. Люстерник. Тригонометрия. Москва, 1957.
- Савин А. Тригонометрия Квант, 1996. – №4.