Геометрия является самым
могущественным средством
для изощрения наших умственных способностей и
дает нам возможность правильно мыслить и
рассуждать.
Г.Галлилей
Алгебра – не что иное, как записанная в
символах геометрия,
а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в
фигурах
София Жермен
Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение. Тригонометрические функции — это испытанный аппарат геометрии и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практически и возникли — из решения треугольников
В школе мы начинаем изучать тригонометрию с
вывода тригонометрических зависимостей из
прямоугольного треугольника. Еще в 8-м классе, я
начинаю работу по обучению детей тригонометрии,
так как значительное число упражнений с
аргументами из промежутка (0; 
) выполняются геометрически.
При таком подходе очевидны следующие плюсы.
Во-первых, раннее ознакомление учеников с тригонометрическими заданиями способствует раскрытию творческого потенциала учеников. Во-вторых, расширению математического кругозора. В-третьих, увеличению объема предметных умений. В-четвертых, использование свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников, формул для нахождения площадей фигур, теорем синусов и косинусов приобретают устойчивость.
В 10-м классе геометрический метод дает порой более легкий способ решения тригонометрических заданий. Геометрически можно показать интересные решения тригонометрических задач и проявить при этом смекалку и эрудицию.
Несколько примеров с использованием равнобедренного треугольника.
При решении используются следующие утверждения:
10 Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Является медианой и биссектрисой.
20 Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании.
30 Биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам.
Задача 1. Вычислите cos15°.
В 10-м классе используется формула cos (45° – 30°)
В 8-м классе можно решить, используя равнобедренный треугольник
Для нахождения sin.cos. tg угла 22°30’ используем равнобедренный треугольник с углом против основания 45° далее аналогичное решение.
Задача 2. Найти sin 18°
В 10-м классе можно решить следующим образом.
sin 36°= cos 54°= cos (18° + 36°)
2 sin18° cos18° = cos18° cos36° – sin18° sin36°;
2 sin18° cos18°= cos18°(1 – 2sin218°) – 2sin218°cos18°
2 sin18° = 1 – 4sin218°, решаем квадратное уравнение и учтем, что sin18° > 0, получим
sin18° = 
.
Эту задачу можно решить геометрически
Строим равнобедренный треугольник АВС с АВ=ВС и
АВС=36°, тогда ВАС - ВСА = 72° (см рис. 2)
Проведем AD биссектрису ВАС. Получим равнобедренные 
AВD и AСD.
Обозначим AD=ВD=АС= а и АВ=b, тогда СD= а– b. Далее
используем подобие треугольников или свойство
биссектрисы угла 
и решим
квадратное уравнение 
получим 
Так как sin18° = cos72°. Рассмотрим AСD СD = 2АС·cos72° (свойство20)
<–> cos 
= 
= 
sin18° = cos
Рис. 2
При решении многих тригонометрических задач удобно применять прямоугольный треугольник
Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, решаются геометрически быстрее и проще
Задача 3. Вычислите 
Переформулируем задачу
“Вычислить косинус суммы углов 
”
Рис. 3
Построим углы 
. Из рисунка видно, что 
ANB = DSC (по двум катетам), следовательно 
т.е. 
Задача 4. Вычислите 
В 10-м классе можно решить задачу с помощью формул, затратив на это немало усилий. Геометрически эта задача решается намного проще
Рис. 4
Обозначим 
.
tg
.
Вычислим 
Построим
прямоугольный АВС,
где ВС=5n, АС=12n, тогда АВ=13n и 
ВАС = 
. Для угла 
строим ВСК, так, чтобы катет ВС был
прилежащим к углу . В результате построения АВD
равнобедренный, АВ=АD=13n . АВD= АDВ = 
, 2
= 0.
Задача 5. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = 
Пусть arcsin x = 
,
arcsin 2x = 
, где 
+ = 
, тогда sin = x, sin 
=
2x.
Отметим, что x > 0 (иначе arcsin x < 0, arcsin 2x < 0, их
сумма < 0).Построим прямоугольные треугольники,
так чтобы + образовали
прямой угол.
(рис. 5)
АВСD – прямоугольник.
Пусть АС = 1, тогда ВС = 1 · sin = sin = x, и CD = 1 · sin = sin =
2x.
По теореме Пифагора из треугольника АВС:
AB2 + BC2 = AC2,
(2x)2 + x2 = 1,
5x2 = 1,
x2 = 
,
x = 
, x = –
– не подходит
по условию задачи.
Ответ: .
Задача 6. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = 
.
Пусть arcsin x = ,
arcsin 2x = , тогда + = 
.
x = sin , 2x = sin . Заметим, что x >
0.
РИС. 6
Построим 
АОМ = , АОВ = , МОВ = + = . АМ
ОМ.
Пусть ОА = 1, тогда, из треугольника АОМ, АМ = 1 · sin = sin = 2x.
Проведём АКОВ.
Из треугольника АОК АК = 1 · sin = sin = x.
Проведём КС
ОМ. СКА = КОМ = – как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами.
Проведём АD
КС. Из 
АDК KD = AK ·
cos 60° = x · 
= 
.
DC = AM = 2x. Значит, КС = KD + DC = + 2x = 
.
Из АОК по
теореме Пифагора:
ОК = 
= 
.
Из ОКС: ОК · sin
60° = KC
Ответ: 
.
Примеры решения тригонометрических уравнений.
Задача 7. Решить уравнение cos x – sin x = 1.
cos x – sin x = 1
Разделим левую и правую часть уравнения на
корень квадратный из суммы квадратов
коэффициентов при cos x и sin x, т. е. на 
= 
:
Геометрическое решение:
Рис. 7
cos x – sin x = 1
ВС = 1 · sin x = sin x,
АС = 1 · cos x = cos x.
Следовательно, АС – ВС = 1. Но в 
АВС каждая сторона больше
разности двух других сторон, т. е.
АВ > АС – ВС <=> АС – ВС < 1, т. к. АВ = 1. Но по
условию задачи требуется, чтобы АС – ВС = 1. Это
возможно только, если ABС превратится в отрезок, т.е.
если АС = 1, а ВС = 0, т.е. x1 = 0 + 2
k, x1 = 2k, k
Z
если АС = 0, а ВС = 1, т.е. x2 = –x2 = – 
+ 2l, lZ
Ответ: 2k; – + 2l, kZ.
Задача 8 Решить уравнение 
, если х – острый угол
Геометрическое решение. Проведем BD
AC.
Сумма двух отрезков равна 4 .Отрезки найдены по теореме косинусов
Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение “наиболее простых”, оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки
Решение тригонометрических задач методом, основанным на наглядно-геометрической интерпретации развивает логическое мышление и пространственное воображение
Литература
- А Г Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 класса. Москва, “Мнемозина”, 2010.
- А.Ф. Бермант, Л.А. Люстерник. Тригонометрия. Москва, 1957.
- Савин А. Тригонометрия Квант, 1996. – №4.