Геометрия является самым могущественным средством
для изощрения наших умственных способностей и
дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Г.Галлилей

Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия,
а геометрия — это просто алгебра, воплощенная в фигурах

София Жермен

Многие тригонометрические задачи не решаются привычными для них методами или решаются очень сложно, а использование какого-нибудь геометрического приема дает короткое решение. Тригонометрические функции — это испытанный аппарат геометрии и их тоже нужно излагать, отправляясь от простых наглядных задач, как они практически и возникли — из решения треугольников

В школе мы начинаем изучать тригонометрию с вывода тригонометрических зависимостей из прямоугольного треугольника. Еще в 8-м классе, я начинаю работу по обучению детей тригонометрии, так как значительное число упражнений с аргументами из промежутка (0; ) выполняются геометрически. При таком подходе очевидны следующие плюсы.

Во-первых, раннее ознакомление учеников с тригонометрическими заданиями способствует раскрытию творческого потенциала учеников. Во-вторых, расширению математического кругозора. В-третьих, увеличению объема предметных умений. В-четвертых, использование свойств равнобедренного и прямоугольного треугольников, формул для нахождения площадей фигур, теорем синусов и косинусов приобретают устойчивость.

В 10-м классе геометрический метод дает порой более легкий способ решения тригонометрических заданий. Геометрически можно показать интересные решения тригонометрических задач и проявить при этом смекалку и эрудицию.

Несколько примеров с использованием равнобедренного треугольника.

При решении используются следующие утверждения:

1⁰ Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию. Является медианой и биссектрисой.

2⁰ Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при основании.

3⁰ Биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам.

Задача 1. Вычислите cos15°.

В 10-м классе используется формула cos (45° – 30°)

В 8-м классе можно решить, используя равнобедренный треугольник

Для нахождения sin.cos. tg угла 22°30’ используем равнобедренный треугольник с углом против основания 45° далее аналогичное решение.

Задача 2. Найти sin 18°

В 10-м классе можно решить следующим образом.

sin 36°= cos 54°= cos (18° + 36°)

2 sin18° cos18° = cos18° cos36° – sin18° sin36°;

2 sin18° cos18°= cos18°(1 – 2sin²18°) – 2sin²18°cos18°

2 sin18° = 1 – 4sin²18°, решаем квадратное уравнение и учтем, что sin18° > 0, получим

sin18° = .

Эту задачу можно решить геометрически

Строим равнобедренный треугольник АВС с АВ=ВС и АВС=36°, тогда ВАС - ВСА = 72° (см рис. 2)

Проведем AD биссектрису ВАС. Получим равнобедренные AВD и AСD. Обозначим AD=ВD=АС= а и АВ=b, тогда СD= а– b. Далее используем подобие треугольников или свойство биссектрисы угла и решим квадратное уравнение получим

Так как sin18° = cos72°. Рассмотрим AСD СD = 2АС·cos72° (свойство2⁰) <–> cos = =

sin18° = cos

Рис. 2

При решении многих тригонометрических задач удобно применять прямоугольный треугольник

Задачи, связанные с обратными тригонометрическими функциями, решаются геометрически быстрее и проще

Задача 3. Вычислите Переформулируем задачу “Вычислить косинус суммы углов ”

Рис. 3

Построим углы . Из рисунка видно, что ANB = DSC (по двум катетам), следовательно т.е.

Задача 4. Вычислите

В 10-м классе можно решить задачу с помощью формул, затратив на это немало усилий. Геометрически эта задача решается намного проще

Рис. 4

Обозначим . tg. Вычислим Построим прямоугольный АВС, где ВС=5n, АС=12n, тогда АВ=13n и ВАС = . Для угла строим ВСК, так, чтобы катет ВС был прилежащим к углу . В результате построения АВD равнобедренный, АВ=АD=13n . АВD= АDВ = , 2

0, т.е. = 0.

Задача 5. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x =

Пусть arcsin x = , arcsin 2x = , где + = , тогда sin = x, sin = 2x.

Отметим, что x > 0 (иначе arcsin x < 0, arcsin 2x < 0, их сумма < 0).Построим прямоугольные треугольники, так чтобы + образовали прямой угол.

(рис. 5)

АВСD – прямоугольник.

Пусть АС = 1, тогда ВС = 1 · sin = sin = x, и CD = 1 · sin = sin = 2x.

По теореме Пифагора из треугольника АВС:

AB² + BC² = AC²,

(2x)² + x² = 1,

5x² = 1,

x² = ,

x = , x = – – не подходит по условию задачи.

Ответ: .

Задача 6. Решить уравнение: arcsin x + arcsin 2x = .

Пусть arcsin x = , arcsin 2x = , тогда + = .

x = sin , 2x = sin . Заметим, что x > 0.

РИС. 6

Построим АОМ = , АОВ = , МОВ = + = . АМОМ.

Пусть ОА = 1, тогда, из треугольника АОМ, АМ = 1 · sin = sin = 2x.

Проведём АКОВ. Из треугольника АОК АК = 1 · sin = sin = x.

Проведём КС ОМ. СКА = КОМ = – как углы с взаимно перпендикулярными сторонами.

Проведём АD КС. Из АDК KD = AK · cos 60° = x · = .

DC = AM = 2x. Значит, КС = KD + DC = + 2x = .

Из АОК по теореме Пифагора:

ОК = = .

Из ОКС: ОК · sin 60° = KC

Ответ: .

Примеры решения тригонометрических уравнений.

Задача 7. Решить уравнение cos x – sin x = 1.

cos x – sin x = 1

Разделим левую и правую часть уравнения на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при cos x и sin x, т. е. на = :

 Геометрическое решение:

Рис. 7

cos x – sin x = 1

ВС = 1 · sin x = sin x,

АС = 1 · cos x = cos x.

Следовательно, АС – ВС = 1. Но в АВС каждая сторона больше разности двух других сторон, т. е.

АВ > АС – ВС <=> АС – ВС < 1, т. к. АВ = 1. Но по условию задачи требуется, чтобы АС – ВС = 1. Это возможно только, если ABС превратится в отрезок, т.е.

если АС = 1, а ВС = 0, т.е. x₁ = 0 + 2k, x₁ = 2k, kZ

если АС = 0, а ВС = 1, т.е. x₂ = –x₂ = – + 2l, lZ

Ответ: 2k; – + 2l, kZ.

Задача 8 Решить уравнение , если х – острый угол

Геометрическое решение. Проведем BDAC.

Сумма двух отрезков равна 4 .Отрезки найдены по теореме косинусов

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение “наиболее простых”, оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки

Решение тригонометрических задач методом, основанным на наглядно-геометрической интерпретации развивает логическое мышление и пространственное воображение

Литература

1. А Г Мордкович. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10 класса. Москва, “Мнемозина”, 2010.
2. А.Ф. Бермант, Л.А. Люстерник. Тригонометрия. Москва, 1957.
3. Савин А. Тригонометрия Квант, 1996. – №4.

Презентация