Алгебра и начало анализа. Теорема Безу. 11-й класс

Цель урока:

• способствовать развитию навыков деления многочлена на многочлен и использованию схемы Горнера;
• закрепить навыки работы в электронных таблицах OpenOffice.org Calc;
• организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний;
• разобрать и доказать теорему Безу при решении проблемной ситуации: можно ли разложить многочлен третьей степени на множители;
• рассмотреть использование теорему Безу для решения уравнений высших степеней;
• содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку, компьютерный класс.

«Для того, чтобы совершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».
 Декарт (1596 -1650). Французский математик, физик, филолог, философ.

Ход урока

I. Организационный момент

Наша задача сегодня в совместной деятельности подтвердить слова Декарта (слайд 1). Тема нашего урока (слайд 2) «Теорема Безу» настолько значима, что даже используется в заданиях ЕГЭ и различных олимпиадах. Теорема Безу облегчает решение многих заданий, содержащих уравнения высших степеней. К сожалению, она изучается только на профильном уровне.

II. Возникновение проблемной ситуации

На этом уроке мы научимся решать уравнения высших степеней, а алгоритм решения выведем сами.

Решить уравнение: x³ - 2x² - 6x + 4=0 (Слайд 3). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть уравнения в виде произведения, и так как произведение равно нулю, то приравнять к нулю каждый множитель. Для этого надо разложить многочлен 3-ей степени на множители. Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

III. Актуализация опорных знаний

Вспомним, как разложить на множители многочлен х² - 5х - 6? (Слайд 4).

(По формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ах² + bх + с = a(x – x₁)(x-x₂), где х₁ и х₂ корни трехчлена).

Найдите корни трехчлена двумя способами. Какими?

(по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета).

Решают на доске от каждой группы по одному ученику. Остальные учащиеся в тетрадях. Получили: х² - 5х - 6 = (х - 6) (х + 1).

Это значит, что трехчлен делится на каждый из двучленов: х – 6 и х + 1.

Обратите внимание на свободный член нашего трехчлена и найдите его делители (±1, ±2, ±3, ±6).

Какие из делителей являются корнями трехчлена? (-1 и 6)

Какой вывод можно сделать? (Корни трехчлена являются делителями свободного члена).

IV. Выдвижение гипотезы

Так какой же одночлен поможет подобрать корни многочлена?

Р(х) = x³ - 2x² - 6x + 4=0?

(Свободный член).

Выпишите его делители: ±1; ±2; ±4.

Найдите значения многочлена для каждого делителя. С помощью электронных таблиц и непосредственно:

1 группа вычисляет в тетради, вторая за компьютерами в OpenOffice.org Calc.

Р(1)= -3
Р(-1)=7
Р(2)=-8
Р(-2)=0
Р(4)=12
Р(-4)=-68

(При вычислении в электронных таблицах в ячейку В2 ученики вводят формулу: =А1^3-2*A1^2-6*A1+4. С помощью маркера автозаполнения получают значения многочлена во всем столбце).

Какой из делителей является корнем многочлена? (-2)

Таким образом, один из множителей в разложении будет х-(-2) = x + 2.

Как найти другие множители?

(Разделить «в столбик» на двучлен х + 2)

А как еще можно? (по схеме Горнера). (Слайд 5)

Что такое схема Горнера? (Схема Горнера – это алгоритм деления многочленов, записанный для частного случая, когда делитель равен двучлену x–a).

Выполняем деление: первая группа «в столбик», вторая – по схеме Горнера.

Разделили без остатка.

Вернемся к уравнению: x³ - 2x² - 6x + 4= (x²-4x+2)(x+ 2)=0

x²-2x+2=0 - квадратное уравнение. Решите его:

D₁ = 4 – 2 = 2;

Ответ: -2, .

А мог получиться остаток при делении? Ответим на этот вопрос позднее. А сейчас назовите значение многочлена при х = - 2. (Значение равно нулю).

Прошу обратить ваше внимание, что x = - 2 является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на х-(-2) равен 0.

 Рассмотрим х=1 - не является корнем уравнения.

Попробуем разделить многочлен на х-1. Вторая группа выполняет деление «в столбик». Первая – по схеме Горнера дополняет таблицу ещё одной строкой.

Итак, x³ - 2x² - 6x + 4 = (х – 1)∙( x² - х – 7) – 3.

Отметим, что x=1 не является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на (х-1) равен значению многочлена при х=1.

Вот и ответ на вопрос об остатке. Да, остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена.

Давайте продолжим схему Горнера для остальных делителей свободного члена. Теперь пусть первая группа вычисляет за компьютером, а вторая в тетрадях.

V. Доказательство гипотезы

(Слайд 6) Вы заметили закономерность об остатке. Какую? (остаток получился, при таком значении х, которое не является корнем многочлена).

А давайте запишем эту закономерность в общем виде.

Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое число.

Докажем утверждение: Остаток от деления Р(х) на (x - а) равен Р(а).

Доказательство. Разделим Р(х) c остатком на (x - а).

Получим Р(х)= (x - а)Q(х) + R; по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени (x - a), т.е. меньшую 1. Но степень многочлена меньше 1 только в случае, когда она равна 0, и поэтому в обоих случаях R на самом деле является числом – нулем или отличным от нуля.

Подставив теперь в равенство Р(х)= (x - а)Q(х) + R значение x = a, мы получим Р(a)= (a - а)Q(х) + R, P(a) = R, так что действительно R = P(a).

Эту закономерность отметил и математик Безу.

Сообщение ученицы

(Слайд 7) Этьенн Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьенна Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный "Курс математики", написанный им в 1764-69 годах.

Безу развил метод неопределённых множителей. В элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе.

Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем ученого названа одна из основных теорем алгебры.

Следствие

Какой должен быть остаток, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а)? (равен 0).

Получаем следствие из теоремы Безу: Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0.

VI. Усвоение изученного

(Слайд 8) Решить уравнение: х⁴ - x³ - 6x² - x + 3 = 0.

Целые корни многочлена Р(х) = х⁴ - x³ - 6x² - x + 3 должны быть делителями свободного члена, так что это могут быть числа -1, 1, 3, -3.

Подберем корень по схеме Горнера:

х⁴ - x³ - 6x² - x + 3= (х + 1)(х³ -2х² – 4х +3) =0

 Q(x) = х³ -2х² – 4х +3=(x- 3)(x² + x -1)=0;

x² + x -1 =0; D= 5, x =

Ответ: -1; 3; .

VII. Итог:

Итак, что дает нам Теорема Безу? (Слайд 9)

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена.

Вернуться по ссылке на слайд 1.

Удалось ли вам убедиться в справедливости слов Декарта? Как вы их поняли для себя? (Высказывания учеников: «Заучивать механически бесполезно, необходимо осмысливать изучаемое», «Без размышления ум не развивается, потому что это будет шаблонное мышление, которое никому неинтересно»).

VIII. Домашнее задание:

Решить уравнения двумя способами: а) х³ - 3х² –х + 3 = 0; б) х⁴ + 4х² – 5 = 0.

Литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – М.: Просвещение, 2009.
2. Алгебра: учеб. для учащихся 9 кл. с углубл. изучением математики / [Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев]; под ред. Н. Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 2005.
3. Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ / Автор-составитель А. В. Деревянкин. – М.: Издательство центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008.
4.  Биографический словарь деятелей в области математики. А. И. Бородин, А. С. Бугай. Пер. с укр. – К.: Радянська школа, 1979.