Основные типы систем уравнений

Цели:

1. Систематизировать основные типы систем уравнений. Рассмотреть способы их решения.
2. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанaлизу своей учебной деятельности.

Оборудование: доска, экран, проектор.

Ход урока

I. Организационный момент. Сообщение темы и целей урока.

II. Повторение и закрепление пройденного материала.

• ответы на вопросы по домашнему заданию. Разбор нерешенных задач.
• контроль усвоения материала.

Самостоятельная работа. На экране или на оборотной стороне доски заранее заготовлены задания. Два ученика решают у доски. Проверка ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку.

1 вариант

1. Сумма двух чисел равна 30, а их произведение равно 216. Найдите эти числа.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а его периметр равен 48 см. Найдите катеты.

2 вариант

1. Сумма двух чисел равна 40, а их произведение равно 364. Найдите эти числа.
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его периметр равен 60 см. Найдите катеты.

III. Изучение нового материала.

Система уравнений, в которой хотя бы одно из уравнений не является линейным, называется системой нелинейных уравнений. Существуют способы решения любой системы линейных уравнений. Для систем нелинейных уравнений универсальных способов не существует.

Основной подход к решению систем нелинейных уравнений состоит в том, что с помощью тех или иных преобразований получают линейное уравнение, содержащее неизвестные. Это уравнение позволяет выразить одну неизвестную через другие и затем использовать для решения способ подстановки.

Остановимся на самых распространенных системах нелинейных уравнений.

А) Системы, содержащие одно линейное уравнение.

Такие системы решаются способом подстановки. Из линейного уравнения одна из неизвестных выражается через другую и подставляется в оставшееся уравнение. Затем это уравнение с одной неизвестной решается, потом определяется и вторая неизвестная.

Пример 1. Решить систему уравнений:

Так как в системе второе уравнение является линейным, то выразим из него неизвестную у=-(х+8) и подставим в первое уравнение: х²+(х+8)2+6х-2(х+8)=0 или х²+10х+24=0. Отсюда, (-6;-2), (-4;-4).

Б) Системы, которые с помощью замен сводятся к линейным.

Решить систему уравнений

Введем замены неизвестных: и= и v= . Получим систему линейных уравнений

Эта система имеет единственное решение: и=1, v=1. Возвращаясь к неизвестным х, у, получим систему линейных уравнений:

Система имеет единственное решение: х=1, у=1.

В) Однородные системы.

Системы уравнений, у которых левая часть одного из уравнений является однородным многочленом, а правая часть равна нулю или у которых левые части двух уравнений являются однородными многочленами, а правые части равны числам, не равным нулю, называются однородными системами уравнений.

Решить систему уравнений

Первое уравнение этой системы является однородным. Решаем его относительно неизвестной у, считая х постоянной величиной, и получим: у=-х и у=. Подставим полученное соотношение во второе уравнение. При у=-х имеем: х²-х(-х)-(-х)²+3х+7(-х)+3=0 или х² – 4х+3=0. Тогда х₁=1, у₁=-1, х₂=3, у₂=-3. В случае у= получаем: х²-х- ( )²+3х+7+3=0 или х² +26х+12=0. Тогда х_3,4=-13; у_3,4=. Система имеет четыре решения.

Г) Симметричные системы.

Система уравнений называется симметричной, если при замене х на у, а у на х уравнения системы меняются. Для решения симметричных систем в качестве новых переменных используют простейшие симметричные выражения: и=х+у, v=ху. Способ замены неизвестных.

Решить систему уравнений

Система уравнений является симметричной, так как при замене х на у, а у на х получаем систему

которая с точностью до перестановки слагаемых и сомножителей совпадает с исходной.

Введем новые неизвестные: и=х+у, v=ху. Тогда х²+у²=(х+у)²-2ху=и2-2v и исходная система будет иметь вид

Сложив уравнения системы, получим квадратное уравнение: и²+и-12=0, откуда и₁=-4, и₂=3. Тогда v₁=9, v₂=2. Возвращаясь, получаем

Решив их, получим для первой системы - отсутствие решений, для второй – (1;2) и (2;1).

Во многих случаях, система не являющаяся симметричной, с помощью соответствующих замен неизвестных может быть сведена к таковой.

Решить систему уравнений

Введем замены неизвестных: и=х+у и v= . Получим систему линейных уравнений

и₁=1, и₂=. Тогда v₁=-, v₂=1. Возвращаясь, получаем

Решив их, получим для первой системы - (-1;2), для второй – ().

В заключение темы заметим, что при анализе или решении линейных или нелинейных систем уравнений можно использовать графические методы, иногда встречаются и системы двух уравнений с тремя неизвестными, которые мы рассмотрим на следующих уроках.

IV. Контрольные вопросы.

• Как решаются системы, содержащие линейные уравнения?
• Дайте определение однородной системы уравнений.
• Как решаются однородной системы уравнений?
• Дайте определение симметричной системы уравнений.
• Как решаются симметричные системы уравнений?

V. Задания на уроках и на дом.

(на экране проецируется через проектор).

VI. Подведение итогов урока.