Геометрия является самым
могущественным средством для изощрения
наших умственных способностей и даёт нам возможность
правильно мыслить и рассуждать.
Г.Галилей
Стаж моей педагогической работы – 27 лет, в профильных классах работаю 15 лет. И всегда, как и всех учителей математики тревожил вопрос, почему так мало часов отводится на геометрию. Ведь сколько можно решить красивых задач, рассмотреть различные способы их решения, выполнить практические задания, но не хватает времени.
Поскольку сегодня в мире возникло много новых профессий, много новых видов человеческой деятельности и даже наук, возникли новые информационные технологии, которые оттесняют в школе старые и традиционные предметы, заменяя их современными. Что же касается математики, то необходимо сократить, прежде всего, геометрию как предмет устаревший, почти не изменившийся за последние несколько тысячелетий, мало используемый в практической жизни.
Как сказал И.Ф. Шарыгин: “Дело в том, что образовательные процессы подчиняются строгим биологическим законам и ускорить их невозможно, подобно тому, как нельзя ускорить процесс вынашивания плода, который в своем развитии проходит этапы, совершенно ненужные с точки зрения взрослой особи. Не существует такого скоростного лифта, который мог бы вознести ребенка или даже молодого человека сразу на верхние этажи здания цивилизации. Такие попытки в образовании, в том числе и математическом, уже делались и неоднократно, но все они кончались плачевно.
Чем выше здание, тем прочнее должен быть фундамент. Человек, получивший хорошее фундаментальное образование, гораздо быстрее приспособится к условиям современной жизни, сумеет найти в ней свое место, чем тот, кто поверхностно познакомился с многочисленными современными предметами, научился нажимать кнопки сложных приборов, не понимая сути происходящих в них процессов. Владение же геометрическим методом очень полезно современному человеку, так как позволяет ему быстро и наглядно понять суть сложного явления, дать ему ясную интерпретацию”.
Одной из важнейших социально-педагогических задач, стоящих сегодня перед системой образования, является задача дифференцированного обучения, обучения детей с разным уровнем развития и различными способностями. И здесь очень важна роль геометрии. Геометрия становится одним из немногих средств, при обучении одаренных детей и при обучении отстающих детей.
Причем эти два множества (одаренные и отстающие дети) имеют вовсе не нулевое пересечение. Но многие дети попадают в разряд отстающих по математике из-за неудачных методик и даже конфликтов с учителем. И здесь возникает важнейшая общественно-педагогическая задача: помочь им вовремя избавиться от ярлыка. Ведь среди них нередко встречаются и одаренные дети.
Уже подтверждено практикой, что при широкой геометризации школьной математики на ее начальных ступенях значительно сокращается число отстающих, лучше усваиваются и негеометрические разделы. У детей развивается воображение, а тем самым значительно возрастает творческий потенциал.
Работа в классах с профильным преподаванием математики состоит из трех этапов: заинтересовать, выявить (отобрать), научить. Этап “заинтересовать” может длиться чуть ли не до окончания школы. Очень важна роль геометрии на первых двух этапах. Посредством геометрии можно заинтересовать математикой многочисленные категории школьников, даже не очень хорошо обученных. И опять же, посредством геометрического материала мы можем отбирать детей способных, а не специально обученных. Нередки случаи, когда прекрасно подготовленный олимпиадный профессионал не справляется на олимпиаде с геометрической задачей, и именно эту задачу, чуть ли неединственную, решил неподготовленный специально школьник.
В классе, скомплектованном из учащихся, выбравших математику для профильного изучения, можно отказаться от различных форм мелочной опеки, строя работу более крупными блоками.
Цели, которые реализуются при изучении геометрии, исходят из общих целей образования, где главными являются воспроизводство существующей в стране социальной системы и её развитие. Изучение математики направлено на достижение следующих целей
- овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
- интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;
- формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
- воспитание культуры личности, отношение к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.
Наиболее часто провожу уроки следующих типов:
– уроки лекционного типа, на которых, например, могут ставиться задачи
для дальнейшей проработки, анализироваться истоки возникновения новых
математических методов и результаты, которых с их помощью удалось достичь;
– уроки-беседы, на которых совместными усилиями учителя и учащихся
доказываются те или иные теоремы;
– уроки-практикумы, на которых учащиеся самостоятельно решают задачи,
отрабатывая навыки;
– уроки-семинары, на которых учащиеся рассказывают о проделанной работе,
о решении какой-то задачи, сравнивают решения;
– уроки-зачеты, где учащиеся демонстрируют знание материала и умение его
применять на практике. Ученику нужно уметь не просто воспроизводить добытые
прежде знания, но и проводить исследование “в реальном времени”.Если ученики при
изучении темы заранее знают, что зачет будет проходить именно в такой форме, то
они начинают стараться всё, что можно, открывать самостоятельно и уже не считают
знание ответов на вопросы из заданного списка достаточным, чтобы тема им была
зачтена. Иначе говоря, они понимают, что к зачету совершенно недостаточно “все
выучить”, нужно ещё и “владеть”, то есть свободно пользоваться идеями и методами
изученной темы.
Основными направлениями работы считаю:
– формирование пространственных представлений учащихся на наглядном
материале;
– подготовку к олимпиадам и ЕГЭ где нужны повышенные требования по математике;
– привлечение на уроки материала, традиционно изучаемого на занятиях кружка;
– решение задачи разными способами. Часто полезно решить одну и ту же задачу
тремя различными способами, чем решать три-четыре задачи. Нахождение наиболее
простых, оригинальных путей решения нередко является результатом длительной,
кропотливой работы.
Стереометрия – едва ли не самый сложный предмет из школьной математики. На конкурсных вступительных экзаменах во многие технические вузы, и на ЕГЭ предлагаются задачи по стереометрии. Для успешного решения этой задачи требуется хорошее пространственное воображение, которое может быть развито как музыкальный слух. Задачи по стереометрии помогают развитию пространственного воображения больше, чем другие разделы математики. Можно сказать, что решение задач по стереометрии это способ развития общего уровня человека. Хорошее пространственное воображение нужно архитектору, хирургу, конструктору, геологу и т.д.
Очевидно, что при сдаче ЕГЭ геометрические задачи дают возможность отобрать самых подготовленных по математике учащихся. С другой стороны, низкие результаты решения геометрических задач могут говорить о неблагополучном положении с геометрической подготовкой учащихся в средней школе.
Чтобы выдвинуть обоснованные предположения о причинах неуспеха при решении задач, надо принять во внимание характерные особенности геометрических задач, включавшихся в варианты ЕГЭ.
- Все эти задачи – вычислительные. Это значит, что для успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. В большинстве задач применяются теорема Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса острого угла, теорема косинусов (реже – синусов), требуется вычислить элементы подобных треугольников.
- Несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур на уровне применения этих свойств для проведения вычислений и, что очень важно, для распознавания различного вида фигур.
- Решение задач требует комплексного применения нескольких геометрических фактов. Это значит, что для успешного решения нужно суметь выделить стандартные конфигурации и применить в них изученные свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии.
- Характерной особенностью задач, включавшихся в варианты ЕГЭ, является использование в качестве “ключевого момента решения” применения определения или свойства фигуры в нестандартной ситуации. Поэтому для успешного решения задачи учащийся должен владеть достаточно широким спектром различных ситуаций применения геометрических фактов, либо обладать гибким мышлением, позволяющим осуществлять перенос стандартных умений в измененную ситуацию. Наличие такого рода шага в решении играет именно “ключевую” роль. Действительно, если ученик использует этот шаг, то решение сводится к применению 2-3 типичных приемов вычисления и задача решается очень быстро. Если же этот шаг ученик не может выполнить, то либо решение значительно усложняется, либо становится невозможным.
Из всего сказанного выше следует, что для успешного выполнения геометрических заданий чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:
1) овладение базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;
2) формирование системных знаний об изучающихся в школьном курсе фигурах;
3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;
4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.
Об организации учебного процесса в пояснительной записке к Программе по математике для средней школы говорится, что учебный процесс должен быть организован так, чтобы все учащиеся освоили материал курса на обязательном уровне и, кроме того, чтобы обучение способствовало “удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие школьники должны получать индивидуальные задания (и в первую очередь нестандартные математические задачи), их следует привлекать к участию в математических кружках, олимпиадах, факультативных занятиях; желательно рекомендовать им дополнительную литературу”. Поскольку овладение геометрическим материалом на повышенном уровне не относится к обязательным требованиям, но для части учащихся является весьма желательным результатом обучения, то роль индивидуального подхода при обучении геометрии весьма велика. Поэтому большое значение приобретают все известные в методической науке приемы дифференциации и индивидуализации обучения.
Для всевозможных дополнительных занятий (факультативов, кружков, практикумов, курсов и т.п.) и индивидуальных заданий (на уроке, в домашнем задании) полезно использовать пособия, содержащие задачи из вариантов ЕГЭ. Отдельные задачи можно включать и в общую работу на уроке. Знакомство с ними расширит область нестандартных ситуаций применения изученных геометрических сведений.
Содержание данной статьи поможет учителю математики организовать такую работу.
См. Приложение 1, Приложение 2.
Литература
- Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: “Просвещение”, 1996.
- Егерев Н.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А., Маслова Т.Н., Орловская И.Ф., Позойский Р.И., Ряховская Г.С., Федорова Н.М. – Под общей редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Минск, изд-во “Вышейшая школа”, 1990.
- Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия 10. – М.: Изд-во МФТИ, 1996.
- Калинин А.Ю., Терешин Д.А. Стереометрия 11. – М.: Физматкнига, 2005.
- Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия. 9–10 классы. – М.:, “Просвещение”, 1982.
- Лурье М.В. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 240 с. – (Серия “В помощь абитуриенту”).
- Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. – К.: “Магистр-S”, 1996.
- Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. – М.: “Наука”, 1989.
- Родионов Д.Е., Родионов Е.М. Стереометрия в задачах. М.: Учебный центр “Ориентир” МГТУ им. Н.Е.Баумана.
- Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2003. – 910 с.
- Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. Библиотечка “Квант”. – М.: “Наука”, 1984.