Комплексные числа
Главная.

Определение комплесных чисел.

Свойства операций сложения и умножения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня.

Алгебраические уравнения.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексных чисел.

Хорошо известно, что между множеством всех упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех точек плоскости может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Для этого достаточно выбрать на плоскости систему координат и каждой упорядоченной паре чисел (a;b) поставить в соответствие точку M(a;b), т.е. точку с абциссой х=а и ординатой у=b.

Комплексные числа мы определили, как упорядоченные пары действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения. Следовательно, каждому копмлексному числу (a;b)=a+bi может быть поставлена в соответствие точка M(a;b) и, наоборот, каждой точке M(a;b) плоскости - комплексное число (a;b)=a+bi. Установленное таким образом соответствие является, очевидно, взаимно однозначным. Оно дает возможность рассматривать комплексные числа как точки координатной плоскости. Эту плоскость называют комплексной. Ось абсцисс называют действительной, а ось ординат - мнимой.
Часто удобно истолковывать комплексное число (a;b)=a+bi как вектор . Очевидно, что каждому вектору плоскости с началом в точке О(0;0) и с концом в точке M(a;b) соответствует комплексное число (a;b)=a+bi и наоборот. Точке О(0;0) соответствует нулевой вектор.
Изображение комплексных чисел векторами позволяет дать простое геометрическое истолкнование операциям над комплексными числами. Остановимся пока только на сложении.
При сложении чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i складываются их действительные и мнимые части.При сложении соответствующих им векторов складываются их координаты. Поэтому при установленном соответствии между комплексными числами и векторами сумме z1+z2 чисел z1 и z2 будет соответствовать вектор , равный сумме векторов . Таким образом, сумма комплексных чисел геометрически может быть истолкована как вектор, равный сумме векторов, соответствующих слагаемым комплексным числам.

Модулем комплексного числа (a;b)=a+bi называется длина соответствующего этому числу вектора. Для модуля числа z используется обозначение |z|. По теореме Пифагора для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула:

выражающая модуль комплексного числа через его действительную и мнимую части.
Сопряженные комплексные числа имеют равные модули. Действительно,

Заметим, что для действительного числа z=a+i0 модуль совпадает с абсолютной величиной числа:

Комплексные числа z, имеющие один и тот же модуль |z|=r, соответствуют, очевидно, точкам плоскости, расположенным на окружности радиуса r с центром в начале координат.

Если |z| не равен 0, то существует бесонечно много комплексных чисел с данным модулем. Модуль, равный нулю, имеет только одно комплексное число z=0.
Геометрически очевидно, что комплексное число z не равное нулю будет задано, если помимо модуля числа z указать еще и направление вектора z, задав, например, величину угла .
Аргументом комплексного числа z (не равного нулю) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z, причем величина угла считается положительной, если отсчёт производится по часовой стрелке, и отрицательной если отсчет производится против часовой стрелки.
Задав модуль и аргумент, можно однозначно определить комплексное число z. Для числа z=0 аргумент задать не возможно, но в этом и только в этом случае число задается одним своим модулем.
Аргументом комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Например, аргументами комплексного числа z=1+i являются следующие углы: и, вообще, каждый из углов , где k-произвольное число.

Любые два аргумента комплексного числа отличаются на число кратное . Для обозначения всех аргументов числа a+bi используется обозначение arg z или arg(a+bi). Если речь идет о каком-либо определенном аргументе, его обычно обозначают буквой
Действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль |z|=r и аргумент следующим образом:
a=rcos, b=rsin

Таким образом, аргументы комплесного числа могут быть найдены из системы уравнений:

Аргументы комплексного числа можно найти и иначе:
tg=b/a

Это уравнение равносильно предидущей системе, оно имеет больше решений, но отбор нужных решений не составит труда, так как из алгебраической записи всегда видно в каком квадранте плоскости оно расположено.
В заключение рассмотрим вопрос о геометрическом смысле модуля разности двух комплексных чисел. Построим вектор z2 и (-z1). По определению модуля число | z2-z1 | есть длина вектора z2-z1, т.е. длина вектора . Из равенства треугольников OMN1 и M1M2O следует, что || = |M1M2|. Итак, длина вектора z2-z1 равна расстоянию между точками z2 и z1.
tg=b/a

Таким образом,модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между этими точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам. Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет при решении некоторых задач с успехом использовать простые геометрические факты.