Комплексные числа | |
Главная. Определение комплесных чисел. Свойства операций сложения и умножения. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корня. Алгебраические уравнения. |
Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел записанных в тригонометрической форме.Вернёмся к формулам из прошлого пункта:![]() ![]() Эти формулы связывают действительную и мнимую части комплексного числа z=a+bi с его модулем r и аргументом ![]() ![]() ![]() Данная форма записи называется тригонометрической. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи числа к тригонометрической, достаточно найти модуль комплексного числа и один из его аргументов. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел очень полезна при делении и умножении чисел. Прежде чем перейти к рассмотрению этих операций, отметим, что два комплексных числа: ![]() ![]() ![]() ![]() равны тогда и только тогда, когда r1=r2, ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть теперь: ![]() ![]() ![]() ![]() два числа записанные в тригонометрической форме. Представим в тригонометрической форме их произведение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, ![]() ![]() ![]() Таким образом, справедливо следующее утверждение: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения. Перейдем к делению чисел. Запишем частное двух комплексных чисел - ![]() ![]() ![]() ![]() в тригонометрической форме. Умножая числитель и знаменатель частного z1/z2 на cos ![]() ![]() ![]() ![]() или, ![]() Следовательно: ![]() Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного. |