Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Каждое комплексное число z=(a;b) можно представить следующим образом:
z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(b;0)(0;1)
Учитывая, что (а;0)=а, (b;0)=b и (0;1)=i, получаем:
z=(a;b)=a+bi
Запись комплексного числа z=(a;b) в виде a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Действительное число а называется действительной частью комплексного числа a+bi, а действительное число b называется мнимой частью комплексного числа a+bi.
Из сказанного в предидущих частях вытекают следующие правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Два комплексных числа z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i равны тогда и только тогда, когда a₁=a₂ и b₁=b₂, т.е. когда равны действительные и мнимые части комплексных чисел. Здесь следует заметить, что понятия "больше" или "меньше" для комплексных чисел не определяются.
Формула сложения в новых обозначениях записывается так:
(a₁+b₁i)+(a₂+b₂i)=a₁+a₂+(b₁+b₂)i
Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом:
(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)=a₁a₂-b₁b₂+(a₁b₂+ a₂b₁)i
Подставим в эту формулу a₁=a₂=0 и b₁=b₂=1, получим важное соотношение-
i²=-1.
Комплексные числа a+bi и a-bi,т.е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число сопряженное числу z обозначается
Сумма: z+=(a+bi)+(a-bi)=2a
Произведение: z*=(a+bi)*(a-bi)=a²-abi+abi+b²=a²+b²
Заметим, что сумма сопряженных чисел есть число действительное, а произведение - число действительное и тем более не отрицательное.
Прежде чем перейти к обратным операциям необходимо рассмотреть еще один частный случай умножения. Положив z₁=(a₁;0)=a₁, а z₁=(a;b), при этом мы получим правило умножения действительного числа на комплексного:
a₁(a+bi)=aa₁+a₁bi
Обратные операции, вычитание и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производятся согласно следующим формулам:

Рассмотрим еще один частный случай - деление комплексного числа a+bi на действительное число a₁:
(a+bi)/a₁=(a/a₁)+(b/a₁)i
Если формула вычитания еще более менее легка, то формула деления очень громоздка, поэтому для деления чаще используется другая формула: Проще умножить числитель и знаменательнатель дроби z₂/z₁ на ₁, т.е. число сопряженное знаменателю. Тогда нахождение частного сведется к умножению числа z₂ на ₁ и к делению на положительное действительное число z₁₁
Другими словами, для деления комплексных чисел рекомендуется пользоваться формулой: