Комплексные числа | |
Главная. Определение комплесных чисел. Свойства операций сложения и умножения. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корня. Алгебраические уравнения. |
Свойства операций сложения и умножения.Введенные в первом пункте операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:1.z1+z2=z2+z1(Переместительный закон для сложения). 2.(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(Cочетательный закон для сложения) 3.Для любых комплексных чисел z1 и z2 существует комплексное число z такое, что z1+z=z2. Это число называется разностью чисел z2 и z1. 4.z1z2=z2z1(Переместительный закон для умножения.) 5.(z1z2)z3=z1(z2z3)(Сочетательный закон для умножения.) 6.Для любых комплексных чисел z1 не равном 0 и z2 существует число z такое, что z1z=z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2. Деление на комплексное число = (0;0) не возможно. 7.z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(Распределительный закон.) Введенные операции сложения и умножения позволяют рассматривать комплексные числа как обобщение действительных чисел, а на действительные числа смотреть как на частный случай комплексных. В самом деле, рассмотрим не все комплексные числа, а только комплексные числа вида (а;0). Из формул сложения, умножения, вычитания и деления легко усматривается, что в результате всех этих действий над этими числами всегда получаются числа такого же вида. Кроме того, видно, что правила действий с комплексными числами вида (а;0) полностью совпадают с соответствующими правилами действий с действительными числами. Всвязи с этим комплексное число вида (а;0) отождествляют с действительным числом a, и считают что (a;0)=a. Например, (0;0)=0, (2;0)=2 (-7;0)=-7. Множество действительных чисел становится при этом подмножеством множества комплексных чисел. Комплексные числа вида (0;b) называют мнимыми. Число (0;1) называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i, т.е. (0;1)=i. Используя формулу умножения, легко проверить, что произвольное мнимое число (0;b) представимо в виде произведения чисел (b;0) и (0;1), т.е. (0;b)=(b;0)(0;1). Но так как (b;0)=b и (0;1)=i, то мнимое число (0;b) записывают в виде bi. Например,(0;2)=2i,(0;-1)=-1i |