Комплексные числа
Главная.

Определение комплесных чисел.

Свойства операций сложения и умножения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня.

Алгебраические уравнения.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел записанных в тригонометрической форме.

Вернёмся к формулам из прошлого пункта:
a=rcos, b=rsin

Эти формулы связывают действительную и мнимую части комплексного числа z=a+bi с его модулем r и аргументом . Каждео комплексное число z=a+bi, отличное от нуля, может быть следовательно записано в виде:
z=r(cos+isin)

Данная форма записи называется тригонометрической.
Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи числа к тригонометрической, достаточно найти модуль комплексного числа и один из его аргументов.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел очень полезна при делении и умножении чисел. Прежде чем перейти к рассмотрению этих операций, отметим, что два комплексных числа:
z1=r1(cos1+isin1) и z2=r2(cos2+isin2)

равны тогда и только тогда, когда r1=r2,1=2 +k, k принадлежит множеству целых чисел. Т.е. когда модули чисел равны, а аргументы отличаются на k, где k - некоторое целое число.
Пусть теперь:
z1=r1(cos1+isin1) и z2=r2(cos2+isin2) -

два числа записанные в тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме их произведение:
z1z2=r1r2(cos1cos2 -sin1sin2+isin1cos2+ icos1sin2)

или
z1z2=r1r2(cos(1+2) -isin(1+2))

Следовательно,
|z1z2|= r1r2, arg(z1z2)=1+ 2+k, где k-некоторое целое число.

Таким образом, справедливо следующее утверждение: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.
Перейдем к делению чисел. Запишем частное двух комплексных чисел -
z1=r1(cos1+isin1) и z2=r2(cos2+isin2)

в тригонометрической форме. Умножая числитель и знаменатель частного z1/z2 на
cos2-isin2, получим:


или,

Следовательно:

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.