Комплексные числа | |
Главная. Определение комплесных чисел. Свойства операций сложения и умножения. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корня. Алгебраические уравнения. |
Алгебраическая форма записи комплексных чисел.Каждое комплексное число z=(a;b) можно представить следующим образом:Учитывая, что (а;0)=а, (b;0)=b и (0;1)=i, получаем: Запись комплексного числа z=(a;b) в виде a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Действительное число а называется действительной частью комплексного числа a+bi, а действительное число b называется мнимой частью комплексного числа a+bi. Из сказанного в предидущих частях вытекают следующие правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2 и b1=b2, т.е. когда равны действительные и мнимые части комплексных чисел. Здесь следует заметить, что понятия "больше" или "меньше" для комплексных чисел не определяются. Формула сложения в новых обозначениях записывается так: Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом: Подставим в эту формулу a1=a2=0 и b1=b2=1, получим важное соотношение- Комплексные числа a+bi и a-bi,т.е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число сопряженное числу z обозначается ![]() Сумма: z+ ![]() Произведение: z* ![]() Заметим, что сумма сопряженных чисел есть число действительное, а произведение - число действительное и тем более не отрицательное. Прежде чем перейти к обратным операциям необходимо рассмотреть еще один частный случай умножения. Положив z1=(a1;0)=a1, а z1=(a;b), при этом мы получим правило умножения действительного числа на комплексного: Обратные операции, вычитание и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производятся согласно следующим формулам: ![]() Рассмотрим еще один частный случай - деление комплексного числа a+bi на действительное число a1: Если формула вычитания еще более менее легка, то формула деления очень громоздка, поэтому для деления чаще используется другая формула: Проще умножить числитель и знаменательнатель дроби z2/z1 на ![]() ![]() ![]() Другими словами, для деления комплексных чисел рекомендуется пользоваться формулой: ![]() |