Комплексные числа
Главная.

Определение комплесных чисел.

Свойства операций сложения и умножения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня.

Алгебраические уравнения.

Определение комплексных чисел.

Рассмотрим множество, элементами которого являются все упорядоченные пары действительных чисел. Пара чисел является упорядоченной, если указано, какое число из пары является первым, какое вторым. Элемент рассматриваемого множества будем обозначать так:(a;b), на первом месте будем записывать первое число пары, на втором - второе. Элементы (a;b) и (b;a) считаются различными, если a не равно b.Элементами этого множества будут являться пары, например, (0;0), (1,0), (0,1), (¼;1). Элементы (a;b) и (c;d) считаются равными тогда и только тогда, когда a=c, a b=d.

Введем теперь в множестве всех упорядоченных пар действительных чисел алгебраические операции: сложение двух пар и умножение двух пар. Сделаем это следующим образом.
Суммой элементов (a;b) и (c;d) назовем элемент (a+c;b+d)
Произведением элементов (a;b) и (c;d) назовем элемент (ac-bd;ad+bc)

Таким образом, введенные нами операции определяются двумя равенствами:
(a;b)+(c;d)=(a+c;b+d)
(a;b)(c;d)=(ac-bd;ad+bc)

Например, сумма и произведение пар (3;-7) и (2;9) вычисляются так:
(3;-7)+(2;9)=(3+2;-7+9)=(5;2)
(3;-7)(2;9)=(3*2-(-7)9;3*9+(-7)2)=(69;13)

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых предидущими формулами определены операции сложения и умножения. Комплексные числа часто обозначают одной буквой, причем используют для этого буквы z и w (чаще всего). Равенство z=(a;b) как раз и означает, что комплексное число (a;b) обозначено буквой z.