Комплексные числа
Главная.

Определение комплесных чисел.

Свойства операций сложения и умножения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня.

Алгебраические уравнения.

Алгебраические уравнения.

Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффицентами, т.е. уравнение вида:

Число z0 называется решением или корнем уравнения, если при его подстановке вместо z, уравнение превращается в верное числовое равенство. Следовательно если z0 - корень уравнения, то

Решить уравнение в множестве комплексных чисел - значит найти все корни уравнения.
Общий вид алгебраического уравнения первой степени:

Очевидно, что такое уравнение имеет одно и только одно решение: z=-a0/a1.
Уравнение второй степени в общем виде записывается так:

Для его решения преобразуем тождественно его левую часть

и найдем корни

Под понимаются все значения корня, поэтому ограничение D больше или равно нулю перестает быть важным.
Таким образом, в множестве комплексных чисел уравнение

всегда разрешимо.
Перейдем к рассмотрению алгебраических уравнений более высокой степени. В 1799 году математиком Карлом Гауссом была доказана теорема: Каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел хотя бы одно решение. Эту теорему принято называть основной теоремой математики. Опираясь на нее можно доказать, что левая часть уравнения всегда представима в виде:

где z1,z2,zk - некоторые различные комплексные числа, а - натуральные числа, причем

Каждое алгебраическое уравнение имеет ровно n корней в множестве комплексных чисел.
Для решения уравнений с целыми коэффицентами полезна следующая теорема: Целые корни любого алгебраического уравнения всегда являются делителями свободного члена.