Комплексные числа
Главная.

Определение комплесных чисел.

Свойства операций сложения и умножения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня.

Алгебраические уравнения.

Свойства операций сложения и умножения.

Введенные в первом пункте операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:
1.z1+z2=z2+z1(Переместительный закон для сложения).
2.(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)(Cочетательный закон для сложения)
3.Для любых комплексных чисел z1 и z2 существует комплексное число z такое, что z1+z=z2. Это число называется разностью чисел z2 и z1.

Доказательство свойства 3.

Пусть z1=(a1;b1), z2=(a2;b2) и z=(x;y).
Тогда равенство z1+z=z2 примет вид:
(a1;b1)+(x;y)=(a2;b2)
Сложив комплексные числа в левой части равенства, получим
(a1+x;b1+y)=(a2;b2)
Из определения равенства упорядоченных пар действительных чисел следует, что x и y удовлетворяют системе двух уравнений:
a1+x=a2;b1+y=b2
Эта система имеет единственное решение:x=a2-a1; y=b2-b1. Следовательно разность чисел z2-z1 всегда существует, причем
z= z2-z1=(a2;b2)-(a1;b1)= (a2-a1;b2-b1)
Эта формула дает правило вычитания комплексных чисел.

4.z1z2=z2z1(Переместительный закон для умножения.)
5.(z1z2)z3=z1(z2z3)(Сочетательный закон для умножения.)
6.Для любых комплексных чисел z1 не равном 0 и z2 существует число z такое, что z1z=z2. Это число называется частным комплексных чисел z1 и z2. Деление на комплексное число = (0;0) не возможно.

Доказательство свойства 6.

Пусть z1=(a1;b1), z2=(a2;b2) и z=(x;y).
Тогда равенство z1z=z2 примет вид:
(a1;b1)*(x;y)=(a2;b2)

Перемножив комплексные числа в левой части равенства, получим
(a1x-b1y;a1y+b1x)=(a2;b2)
Из определения равенства упорядоченных пар действительных чисел следует, что x и y удовлетворяют системе двух уравнений:
a1x-b1y=a2
a1y+b1x=b2
Умножив почленно первое уравнение на a1, а второе на b1 и почленно сложив полученные уравнения, найдем
(a12+b12)x=a1a2+b1b2

Анологично получим
(a12+b12)y=a1b2-b1a2

Наша система равносильна следующей:

Поскольку z1 = (a1;b1) и не равно (0;0) и, следовательно a12+b12 не равно 0 система имеет единственное решение:

Таким образом, частное двух комплексных чисел при условии, что делитель отличен от нуля, всегда существует, причем

Эта формула дает правило деления комплексных чисел.

7.z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(Распределительный закон.)

Введенные операции сложения и умножения позволяют рассматривать комплексные числа как обобщение действительных чисел, а на действительные числа смотреть как на частный случай комплексных. В самом деле, рассмотрим не все комплексные числа, а только комплексные числа вида (а;0). Из формул сложения, умножения, вычитания и деления легко усматривается, что в результате всех этих действий над этими числами всегда получаются числа такого же вида. Кроме того, видно, что правила действий с комплексными числами вида (а;0) полностью совпадают с соответствующими правилами действий с действительными числами. Всвязи с этим комплексное число вида (а;0) отождествляют с действительным числом a, и считают что (a;0)=a. Например, (0;0)=0, (2;0)=2 (-7;0)=-7.
Множество действительных чисел становится при этом подмножеством множества комплексных чисел.
Комплексные числа вида (0;b) называют мнимыми. Число (0;1) называют мнимой единицей и для его обозначения используют букву i, т.е. (0;1)=i. Используя формулу умножения, легко проверить, что произвольное мнимое число (0;b) представимо в виде произведения чисел (b;0) и (0;1), т.е. (0;b)=(b;0)(0;1). Но так как (b;0)=b и (0;1)=i, то мнимое число (0;b) записывают в виде bi. Например,(0;2)=2i,(0;-1)=-1i