Комплексные числа
Главная.

Определение комплесных чисел.

Свойства операций сложения и умножения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Геометрическая интерпритация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня.

Алгебраические уравнения.

Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Каждое комплексное число z=(a;b) можно представить следующим образом:
z=(a;b)=(a;0)+(0;b)=(a;0)+(b;0)(0;1)

Учитывая, что (а;0)=а, (b;0)=b и (0;1)=i, получаем:
z=(a;b)=a+bi

Запись комплексного числа z=(a;b) в виде a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Действительное число а называется действительной частью комплексного числа a+bi, а действительное число b называется мнимой частью комплексного числа a+bi.
Из сказанного в предидущих частях вытекают следующие правила действий с комплексными числами, записанными в алгебраической форме.
Два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i равны тогда и только тогда, когда a1=a2 и b1=b2, т.е. когда равны действительные и мнимые части комплексных чисел. Здесь следует заметить, что понятия "больше" или "меньше" для комплексных чисел не определяются.
Формула сложения в новых обозначениях записывается так:
(a1+b1i)+(a2+b2i)=a1+a2+(b1+b2)i

Умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, производится следующим образом:
(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+(a1b2+ a2b1)i

Подставим в эту формулу a1=a2=0 и b1=b2=1, получим важное соотношение-
i2=-1.

Комплексные числа a+bi и a-bi,т.е. числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Число сопряженное числу z обозначается
Сумма: z+=(a+bi)+(a-bi)=2a
Произведение: z*=(a+bi)*(a-bi)=a2-abi+abi+b2=a2+b2
Заметим, что сумма сопряженных чисел есть число действительное, а произведение - число действительное и тем более не отрицательное.
Прежде чем перейти к обратным операциям необходимо рассмотреть еще один частный случай умножения. Положив z1=(a1;0)=a1, а z1=(a;b), при этом мы получим правило умножения действительного числа на комплексного:
a1(a+bi)=aa1+a1bi

Обратные операции, вычитание и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, производятся согласно следующим формулам:

Рассмотрим еще один частный случай - деление комплексного числа a+bi на действительное число a1:
(a+bi)/a1=(a/a1)+(b/a1)i

Если формула вычитания еще более менее легка, то формула деления очень громоздка, поэтому для деления чаще используется другая формула: Проще умножить числитель и знаменательнатель дроби z2/z1 на 1, т.е. число сопряженное знаменателю. Тогда нахождение частного сведется к умножению числа z2 на 1 и к делению на положительное действительное число z11
Другими словами, для деления комплексных чисел рекомендуется пользоваться формулой: