Комплексные числа | |
Главная. Определение комплесных чисел. Свойства операций сложения и умножения. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корня. Алгебраические уравнения. |
Алгебраические уравнения.Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n с комплексными коэффицентами, т.е. уравнение вида:![]() Число z0 называется решением или корнем уравнения, если при его подстановке вместо z, уравнение превращается в верное числовое равенство. Следовательно если z0 - корень уравнения, то ![]() Решить уравнение в множестве комплексных чисел - значит найти все корни уравнения. Общий вид алгебраического уравнения первой степени: ![]() Очевидно, что такое уравнение имеет одно и только одно решение: z=-a0/a1. Уравнение второй степени в общем виде записывается так: ![]() Для его решения преобразуем тождественно его левую часть ![]() и найдем корни ![]() Под ![]() Таким образом, в множестве комплексных чисел уравнение ![]() всегда разрешимо. Перейдем к рассмотрению алгебраических уравнений более высокой степени. В 1799 году математиком Карлом Гауссом была доказана теорема: Каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел хотя бы одно решение. Эту теорему принято называть основной теоремой математики. Опираясь на нее можно доказать, что левая часть уравнения всегда представима в виде: ![]() где z1,z2,zk - некоторые различные комплексные числа, а ![]() ![]() Каждое алгебраическое уравнение имеет ровно n корней в множестве комплексных чисел. Для решения уравнений с целыми коэффицентами полезна следующая теорема: Целые корни любого алгебраического уравнения всегда являются делителями свободного члена. |