Комплексные числа | |
Главная. Определение комплесных чисел. Свойства операций сложения и умножения. Алгебраическая форма записи комплексных чисел. Геометрическая интерпритация комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возведение в степень и извлечение корня. Алгебраические уравнения. |
Возведение в степень и извлечение корня.Формула для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай n множителей. Используя метод математической индукции, легко получить чледующий результат: модуль произведения n комплексных чисел равен произведению модулей всех сомножителей, сумма аргументов всех сомножителей является аргументом их произведения. Отсюда, как их частный случай получается формула:![]() ![]() ![]() ![]() дающая правило возведения комплексного числа r(cos ![]() ![]() При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени. Перейдем к извлечению корня данной степени из комплексного числа. Число z называется корнем степени n из числа w, если zn=w. Если w=0 то z=0, если же z не равно 0, следовательно и z, и w можно представить в тригонометрической форме: ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение zn=w примет вид: ![]() ![]() ![]() ![]() Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на ![]() ![]() ![]() ![]() или ![]() Итак, все решения уравнения zn=w могут быть записаны следующим образом: ![]() Легко увидеть, что все числа zk, получаемые при k=0,1,2,...,n-1, различны. Если брать значения k больше или равные n, то других комплексных чисел отличных от z0,z1,...,zn-1, не получится. Например при k=n получаем: ![]() Таким образом, если w не равно 0, то существует ровно n корней степени n из числа w, все они получаются из формулы: ![]() Из этой формулы видно, что все корни степени n из числа w имеют один и тот же модуль, но разные аргументы, отличающиеся друг от друга на ![]() Отсюда следует, что комплексные числа, являющиеся корнями степени n из числа w, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса ![]() Cделаем еще одно важное замечание относительно обозначения ![]() ![]() ![]() ![]() |