Подготовка к ЕГЭ по математике

Разделы: Математика

Занятие №1 по темам: “Взаимное расположение прямой и точки вне прямой ” и “Параллелограмм”

Работа на уроке

№ 1. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов А и D делят сторону BC на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 40.

Решение.

Рисунок 1

Обозначим точку пересечения биссектрис через М, а точки пересечения биссектрис АМ и DM со стороной BC через N и K соответственно. В зависимости от расположения точки М относительно прямой (отрезка) CD возможны два варианта для чертежа.

1. Пусть точка M расположена вне параллелограмма. Так как биссектриса АМ отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник ABN (см. рис.1 а), то

AB = BN = NK = KC = x.

Периметр параллелограмма равен 40, поэтому из уравнения

2(x + 3x) = 40

находим x = 5. Значит, AB = 5 , BC = 15.

2. Если точка M расположена внутри параллелограмма (см. рис.1 б), то

NC = x и AB = BN = 2x. Из уравнения

2(2x + 3x) = 40

находим x = 4. Значит, AB = 8 и BC = 8 + 4 = 12.

Ответ: 5; 15 или 8; 12.

Домашняя работа

№ 2. Дан параллелограмм MNFT. Биссектрисы его углов N и M делят сторону FT на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 50.

Ответ: 10;15 или 6,25; 18,75.

Самостоятельная работа

№ 3. Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы его углов B и C делят сторону AD на три равные части. Вычислите стороны параллелограмма, если его периметр равен 16.

Ответ: 2; 6 или 3, 2; 4, 8.

Занятие № 2 по теме: “Выбор линейного элемента”

Работа на уроке

№ 1. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке Н. Известно, что CH = AB. Найдите АСВ.

Решение.

Рисунок 2

1. Пусть треугольник ABC – остроугольный (см. рис. 2а). Пусть ВЕ и CD – высоты треугольника. Углы АВЕ и HCE равны, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Треугольники АЕВ и HEC равны по гипотенузе (CH = AB) и острому углу. Отсюда AE = EH, и значит, EAH = AHE = 45. В прямоугольном треугольнике ACF имеем CAF = 45, поэтому ACF = 45. Остальные случаи рассмотрите самостоятельно.

2. Угол ВАС – тупой (см. рис.2 б).
3. Угол АВС – тупой.
4. Угол АСВ – тупой.
5. Угол АВС – прямой.
6. Угол ВАС – прямой.
7. Случай, когда угол АСВ – прямой, невозможен (в этом случае CH=0, а AB0).

Ответ: 45 или 135.

Домашняя работа

№ 2. Высоты треугольника MNK пересекаются в точке O. Известно, что MO = NK. Найдите градусную меру угла KMN.

Ответ:

Если M , то M = 45.

Если M , то M = 135.

Случай, когда M невозможен.

Самостоятельная работа

№ 3. Высоты треугольника EFK пересекаются в точке A. Известно, что EF = AK. Найдите градусную меру угла EKF.

Ответ: 45 или 135.

Занятие № 3 по темам: “Взаимное расположение точки и отрезка, лежащих на одной прямой” и “Теорема Пифагора”

Работа на уроке

№ 1. В прямоугольнике ABCD AB = 2 , BC = 3. Точка Е на прямой АВ выбрана так, что AED =DEC. Найдите АЕ.

Решение.

Рисунок 3

По свойству параллельных прямых AED = EDC. Следовательно, треугольник DEC равнобедренный, и EC = CD = 2. Получим прямоугольный треугольник ВЕС с гипотенузой EC = 2 и катетом BC =3. По теореме Пифагора BE = 1.

Ключевым моментом этой задачи является расположение точки на прямой относительно двух данных на ней точек.

1. Если точка Е лежит между А и В (точка 1 E на рис.3), то AE = 1.
2. Если точка В лежит между А и Е (точка 2 E на рис.3), то AE = 3.
3. Положение точки А между В и Е невозможно, так как в этом случае AED DEC (сделайте рисунок), т.е. не выполняется условие задачи.

Ответ: 1 или 3.

Домашняя работа

№ 2. В прямоугольнике MNEK NE = 4 , EK = 3. Точка A на прямой NE выбрана так, что NAM = MAK. Найдите АN.

Ответ: 4 – или 4 + .

Самостоятельная работа

№ 3. В прямоугольнике ABDK AB = 10 , BD = . Точка M на прямой АВ выбрана так, что AMK =DMK. Найдите АM.

Ответ: 16 или 4.

Занятие № 4 по темам: “Выбор обозначений вершин многоугольника” и “Площадь треугольника и параллелограмма”

Теория:

Т1. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.

Т2. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

Работа на уроке

№ 1. В параллелограмме ABCD один из углов равен 60. Точки E и F являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S. Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C.

Решение.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

Используя приведенные выше факты и построив пунктиром два дополнительных отрезка (см. рис.4), получим, что площадь параллелограмма равна 8S. Обозначение буквами вершин параллелограмма можно начать с любой вершины, поэтому возникает четыре разных рисунка, соответствующих условию данной задачи (см. рис.5 а, б, в, г). Треугольники, площадь которых нужно найти, на каждом из рисунков выделены темным фоном. Площадь треугольника ECF на рис.5 а находим следующим образом: SECF = SABCD – SAEF – SEBC – SFDC = 8S – S – SABC – SADC = 8S – S – 2S – 2S = 3S.

В остальных случаях искомая площадь будет равна S.

Ответ: S или 3S.

№ 2. В параллелограмме ABCD один из углов равен 115. Точки E и F являются серединами смежных сторон, образующих тупой угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S. Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C.

Ответ: S или 3S.

Домашняя работа

№ 3. В параллелограмме MNET угол M равен 40. Точки A и B являются серединами смежных сторон, образующих угол E. Площадь треугольника, отсекаемого прямой AB от параллелограмма MNET, равна 5см2. Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки A, B и T. Ответ: 5 см2 и 15 см2.

Самостоятельная работа

№ 4. В параллелограмме KEOA угол K равен 70. Точки Q и F являются серединами смежных сторон, образующих угол E. Площадь треугольника, отсекаемого прямой QF от параллелограмма KEOA, равна 7. Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки Q, F и A.

Ответ: 7 или 21.

Занятие № 5 по теме: “Задачи с параметрами”

Работа на уроке

№ 1. Периметр равнобедренного треугольника равен Р см, одна из его сторон равна а см. Найдите вторую и третью стороны треугольника.

Ответ:

Если а0 или а, то решений нет;

если а, то одно решение: а, , ;

если , то два решения: а, , и а, а, Р – 2а.

№ 2. В треугольнике АВС угол А равен 60, AB = 1, BC = a. Найдите АС.

Ответ:

если а , то решений нет; если а , то одно решение AC= ;

если то два решения AC = + или AC = – ;

если то одно решение AC = + .

Домашняя работа

№ 3. В треугольнике MNK , MN = 3, KN = b. Найдите MK.

Ответ:

если b , то решений нет; если b , то одно решение MK=;

если то два решения MK = + или MK = - ;

если то одно решение MK = + .

Самостоятельная работа

№ 4. В треугольнике АВС угол А равен 30, AB = 2, BC = a. Найдите АС.

Ответ: если а , то решений нет; если а , то одно решение AC= ;

если 1 то два решения AC = + или AC =- ;

если то одно решение AC =+ .

Занятие № 6 по теме: “Задачи с параметрами”

В геометрических задачах в качестве параметра может быть линейная или угловая величина. Количество возможных решений находится в зависимости от условия задачи и области изменения параметра.

Теория

Т1. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Т2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Работа на уроке

№ 1. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом при вершине А. Точка D – середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке С относительно прямой BD.

Найдите угол AC1 B.

Решение.

Рисунок 6

Так как прямая BD является серединным перпендикуляром к отрезку CC1, то DC = DC1. С другой стороны, точка D – центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника. Поэтому DC = DB = DA. Отсюда следует, что точка C1 принадлежит описанной окружности. Построение чертежа к этой задаче зависит от того, каково значение параметра. Возможны три случая:

1) 45;

2) 4590;

3) 045.

1) 45, то центральный угол BDC = 2BAC = 2. = 90 (по свойству внешнего угла треугольника BDA). В этом случае ось BD перпендикулярна гипотенузе AC. Точка C отобразится в точку A , и угол AC1 B не будет определен.

2. Пусть 45, тогда центральный угол BDC = 2BAC = 2 90 (см. рис. 51а). В этом случае точки C и C1 расположены по одну сторону от хорды AB. В прямоугольном треугольнике BCA:

ACB = 90 – .Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Поэтому

AC1B = ACB = 90 – .

3. Пусть 45 , тогда центральный угол BDC = 2BAC = 2 90 (см. рис. 51б). В этом случае точки C и C1 расположены по разные стороны от хорды AB. Четырехугольник AC1 BC вписан в окружность, поэтому AC1B = 180ACB = 180 –  (90 – ) = 90 + .

Ответ:

1) 45, то С1 совпадает с точкой А и угол не определён.

2) Если 4590, то AC1B = 90 – .

3) Если 045, то AC1B = 90 + .

Домашняя работа

№ 2. Дан прямоугольный треугольник NME с N=90 и E=. Точка O – середина гипотенузы. Точка M1 симметрична точке M относительно прямой NO. Найдите угол NM1E.

Ответ: аналогично № 1: .

Самостоятельная работа

№ 3. Дан прямоугольный треугольник FKT с прямым углом при вершине K и углом при вершине T. Точка A – середина гипотенузы. Точка T1 симметрична точке T относительно прямой KA. Найдите угол KT1F.

Ответ: аналогично №1: .