Квадратные уравнения – сквозь века

Цели урока:

• Образовательные:
  • расширение и углубление представлений учащихся о решении квадратных уравнений,
  • обеспечение повторения, обобщения и систематизации знаний по решению квадратных уравнений.
• Развивающие:
  • способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи,
  • развитие творчества, умения анализировать,
• Воспитательные:
  • содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться.

Задачи:

• развивать интерес к предмету,
• продолжать формирование общеучебных навыков,
• сделать вывод о связи геометрии и алгебры,
• дать историческое видение решения квадратных уравнений,
• развивать различные способы анализа,
• воспитывать математически грамотную личность.

ХОД УРОКА

1. Втупительное слово учителя

– Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Сегодня на уроке мы будем решать квадратные уравнения, которые уже решали на уроках алгебры в 8 классе. Только познакомимся с теми способами, которые не представлены в Вашем учебнике. Сегодня у нас урок-путешествие.

В  развитии математики можно выделить четыре основных этапа:

• Древний Вавилон
• Античный мир
• Эпоха Возрождения в Европе
• Средневековый Восток

– Посмотрим, каким же образом  решали квадратные уравнения в различные времена и похожи ли эти решения на современное.
Вспомним  стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

2. Алгоритм решения квадратного уравнения:

Алгоритм строится на доске учителем, помогают учащиеся. По ходу построения схемы можно задавать наводящие вопросы:
– На что обращаем внимание, увидев квадратное уравнение?
– Стандартный вид, полное  или  неполное, приведенное или нет?
– Отмечаем другим цветом общий случай решения квадратного уравнения  Повторяем  теорему Виета.
– Теперь же отправимся в глубину веков и сначала посетим древний Вавилон.

3. Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

– Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика  в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от  непосвященных.  Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
При разборе задачи удобно разделить доску на две части. На одной записывать указания с клинописных табличек, на другой – стандартный алгоритм решения квадратного уравнения.

Задача 1.

Задаем вопрос: «Что настораживает, кажется странным?»

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x₂ = – 29 (его легко найти по теореме, обратной теореме Виета). В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень.

Задача 2.

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40.   Найди длину и ширину.

Решение:

Длина и ширина вместе 14. Площадь 40. О какой фигуре идет речь? 

Можно догадаться, что речь идет о  прямоугольнике со сторонами х и у.

Записываем систему уравнений, используя условие задачи.

– Каким образом можно решить систему?

1) Можно использовать способ подстановки.
2) Можно записать по теореме Виета  квадратное уравнение и решить его.

Найди квадрат длины и ширины, взятых вместе:

Квадрат длины и ширины, взятых вместе равен 196. (Раскрываем скобки)

Возьми четыре площади – это 160.

4xy = 160

Вычти  из квадрата  эти четыре площади, получишь 36.

196 – 160 = 36


(х –  у)2 = 36

Найди корень. Это 6. x – y  = 6 

Предполагается, что длина больше ширины ( х > у). Это значит, что длина превосходит ширину на 6. Сложи длину и ширину с их разностью.

(x + y) + (x – y) =14 + 6. Это будет 20.
2x = 20. Две длины равны 20, значит одна длина 10.
x = 10.       
Из суммы вычти разность.
(x + y) – (x – y) = 14 – 6
2y = 8
y = 8

Ответ: длина 8, ширина 6.

Для простых систем уравнений удобно было пользоваться стандартными способами, для более сложных –  искали свои пути решения (это будет позднее).
Перенесемся теперь в Античный мир.

4. Античный мир (II век до н. э. – IV век н.э., Архимед, Евклид)

Метод решения квадратных уравнений разработал Евклид. Раньше уравнения решали по образцу, ничего не объясняя (существовало правило –  делай как я).
В Античности появляется обязательное требования объяснять решение (почему что-то случилось, что произошло?). Геометрия  в то время считалась наукой всех наук.
Поэтому теперь посмотрим  на квадратное уравнение с точки зрения геометрии.

Задача 3.

Дано уравнение:

Отрицательных чисел  в те века еще не знали, приблизился к ним только   Диофант. Поэтому рассматриваем решение, используя только положительные числа.

В этом уравнении коэффициенты  р > 0,  q > 0.         x =  .  

Записанное выражение напоминает теорему Пифагора. Если рассматривать , то проводя параллель с теоремой Пифагора можно догадаться, что находим катет (т.к. стоит знак минус). В этом случае гипотенуза равна , катет .

.

Выполним построение прямоугольного треугольника  с помощью циркуля:

С центром в точке Р построим полуокружность радиусом РА = (РА – гипотенуза). От точки Р  отложим вправо отрезок РМ =  (отрезок РМ – катет).

В этом случае расстояния СМ и КМ:

СМ = x₁ = , КМ = x₂ = , (РС = РА = РК = ).

Для решения алгебраической задачи использовалась геометрия. В древности  часто  встречался  синтез алгебры с геометрией.

Теперь отправимся на дальше.

5. Средневековый Восток (IX век н.э. аль-Хорезми)

В эти века все вычисления производились в уме, все объяснялось на словах,  поэтому за решение очень сложно уследить, т.к. всё считается устно и вся информация держится в голове.
Задачи решались геометрическим способом. Мы знаем среднеазиатского математика аль-Хорезми, он дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. Общее решение квадратного уравнения он не рассматривал, т.к. его не интересовали уравнения, у которых не было ни одного положительного корня. Он старался записать уравнение так, чтобы все его члены выступали в качестве слагаемых, а не вычитаемых.  Аль-Хорезми рассматривал пять типов квадратных уравнений:

ax² + bx = c ( квадраты и корни равны)
ax² + c = bx  (квадраты и числа равны корням)
ax² = bx + c (корни и числа равны квадратам)
ax²  = bx (квадраты равны корням)
ax²  = c ( квадраты равны числу)

Почему? В то время еще не  знали отрицательных чисел, Идея отрицательных чисел вносит общие методы решения, упрощает алгоритм. Кроме алгебраического способа нахождения корня уравнения аль-Хорезми обычно предлагал и геометрический.

Задача 4.

Квадрат  и десять его корней равны 39. Рассмотрим  геометрическое решение уравнения х² + 10х = 39.
Рисуем квадрат,  сторона которого обозначается неизвестной величиной х.
x²  –  площадь квадрата со стороной x, 10x – площадь прямоугольника со сторонами 10 и x

Раздвои число корней (корней 10, раздвоили, получили 5). Построй большой квадрат.
Площадь маленького квадрата 25.Площадь заштрихованной фигуры 39.
Что можем  найти? Площадь большого квадрата равна  39 + 25 = 64
Вся площадь целиком  S_ABCD = 64. т.е. (х + 5) = 64, х = 3
Возникает вопрос: «Где ещё один корень?». Второй корень отрицательный. (По теореме Виета  – 39 : 3 = – 13 ).  х₂ = – 13 
(Раздвоить прямоугольники удалось легко за счёт четного коэффициента. Этот  наглядно, красиво, просто, но тяжело для других уравнений. Поэтому такой способ решения не развился дальше.)

6. Европа. Эпоха Возрождения (рассмотрим конкретное время – XVI век н. э. Франсуа Виет)

Невозможно сейчас представить математику специальных обозначений. Создателем алгебраической символики и формул  по праву считается  французский математик Франсуа Виет.. Он писал: «Искусство, которое я излагаю, ново или, по крайней мере, настолько испорчено временем и искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид». Хотя символика Виета и обладала некоторыми недостатками, тем не менее это был огромный шаг вперед. А вот древние математики вполне обходились без буквенных обозначений и специальных правил оперирования с ними.
Сын прокурора, Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику. Но вскоре он стал секретарем и домашним учителем в доме знатного дворянина-гугенота де Партеней. Тогда Виет очень увлекся изучением  астрономии и тригонометрии. Знакомство Виета с Генрихом Наваррским, будущим королем Франции Генрихом IV помогло Виету занять видную придворную должность – тайного советника. 
Одним из самых замечательных достижений Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля  в Нидерландах для переписки с испанским двором.  Хотя французы часто перехватывали письма из Испании, расшифровать их никто не мог. Только Виет быстро нашел ключ. Испанцы не представляли себе всего могущества человеческого ума. Они думали, что  французам помогает  дьявол. Они даже жаловались римскому папе и просили его  уничтожить  дьявольскую силу.

Задача 5.

Рассмотрим уравнение х² – 6х – 16 = 0. Вводим  новую переменную (на первый взгляд усложняем уравнение, но посмотрим, к чему это приведёт).

х = у + а
(у + а)² – 6 (у + а ) – 16 = 0
у²+ 2ау + а²  – 6у  – 6а – 16 = 0 (рассматриваем главную переменную у)
у² + (2а – 6) у – 16 + а²  – 6а = 0

Мы хотим получить неполное квадратное уравнение, при каком значении а это получится?

2а – 6 = 0
а = 3. Т.е. в нашем случае:
х = у + 3
у² + 9 – 18 – 16 = 0
у² = 25
у =  ± 5        
х₁ = 5 + 3 = 8, х₂ = – 5 + 3 = – 2.

Основа метода – любое полное уравнение заменой переменных сводим к неполному квадратному уравнению.
Эта идея дала толчок развитию математики. Появился вопрос: «А можно ли решать уравнения третьей, четвёртой, пятой и высших степеней. Существует ли  общий метод решения более сложных уравнений?»
Формула решения квадратного уравнения известна с незапамятных времен. В XVI в. Итальянские алгебраисты решили в радикалах уравнения третьей и четвертой степеней. Было установлено, что корни любого уравнения не выше четвертой степени выражаются через коэффициенты уравнения формулой, в которой используются только четыре арифметические операции ( сложение, вычитание, умножение и деление. ) и извлечение корней степени не превышающей степень уравнения. Кроме того все уравнения данной степени можно «обслужить» одной формулой. После этого естественно возник вопрос: а есть ли похожие формулы для решения уравнений пятой степени и выше. Общей формулы для таких уравнений не существует. Это доказал молодой норвежский ученый Нильс Хенрик Абель. Однако, это не означает, что невозможно решить те или иные  частные виды уравнений высоких степеней. Новые открытия в решении уравнений  сделал французский ученый Эварист Галуа. Эварист Галуа погиб на дуэли в 20 лет. Свои результаты он изложил в письме, написанном в ночь перед поединком. Потребовались десятилетия, чтобы теория Галуа стала понятна математикам.

Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Алгебра и геометрия – взаимосвязаны.

Рассмотренные методы решения квадратных уравнений могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников, дают возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся решить следующие квадратные уравнения  различными способами.

1.     x² – 10x – 9 = 0              решить способом в стиле Виета, аль-Хорезми.
2.     x² – 10x + 9 = 0              решить способом в стиле Евклида.
3.     2x² – x – 1 = 0                решить способом в стиле Виета.
4.     x² – 4x + 3 = 0                подобрать способ решения в стиле Евклида.
5.     x² – 10x = 16                  подобрать способ решения в стиле аль-Хорезми.