Открытый урок по теме "Тригонометрические уравнения"

Разделы: Математика


Цель урока: познакомить учащихся с однородными уравнениями, относительно cosx и sinx, с уравнениями, решаемыми с помощью разложения их левой части на множители.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: учебное пособие «Алгебра и начало анализа 10-11кл.» (А.Н. Колмогоров), тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, справочник по алгебре, таблица формула корней простейших тригонометрических уравнений, составленная дома самостоятельно.

План урока:

Этап урока: Цель этапа: Время
1. Организационный момент Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока. 2 минуты
2. Проверка домашнего задания Повторить решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным 3 минуты
3. Устный счет Совершенствовать умение решать простейшие тригонометрические уравнения 5 минут
4. Самостоятельная работа Выявить степень усвоения полученных на предыдущем уроке знаний 10 минут
5. Изучение нового материала Познакомить с однородными уравнениями относительно cosx и sinx; с уравнениями, решаемыми с помощью разложения их левой части на множители 10 минут
6. Закрепление изученного материала Первичное закрепление полученных знаний 10 минут
7. Итог урока Обобщение знаний полученных на уроке 3 минуты
8. Домашнее задание Инструктаж по домашнему заданию. 2 минуты

Ход урока:

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Устное задание, заранее приготовленное на доске

Решить уравнения (можно пользоваться заранее приготовленной дома таблицей).

  1. cosx = 12
  2. sinx = -12
  3. sinx = -32
  4. cosx = 32
  5. tg x = 1
  6. ctgx = -1
  7. cos (x + π ) = 0
  8. sin (x - π3) = 0
  9. 5tgx = 0

IV. Самостоятельная работа

Работа проводится по учебному пособию

Вариант 1 Вариант 2
3sin2x – 5sinx – 2 = 0
6cos2x + cosx – 1 = 0
2cos2x + sinx +1 = 0
3tg2x + 2tgx – 1 = 0
4sin2x + 11sinx – 3 = 0
2sin2x + 3cosx = 0
8sin2x + cosx +1 = 0
2tg2x + 3tgx – 2 = 0

На обратной стороне доски заранее написаны ответы.

Можно предложить учащимся выполнить карандашом взаимопроверку, поменявшись вариантами, с последующим выставлением оценок.

V. Изучение нового материала

Опр. Однородные уравнения – это уравнения вида a•sinx + b•cosx = 0; a•sin2x + b•sinx•cosx + c•cos2x = 0

Пример 1.

2sinx + 5cosx = 0

Решение: Разделим обе части уравнения на cosx, получим:

2 tgx + 5 =0
tgx = -52
x = -arctg (52) + πn, nZ

Ответ: -arctg (52) + πn, nZ

Пример 2.

sin2x – 3sinxcosx – 4cos2x = 0

Решение: разделим обе части уравнения на cos2x, получим

tg2x – 3tgx – 4 = 0
tgx = 4, tgx = -2
x = arctg4 + πn, nZ, x = - π4+ πk, kZ

Ответ: - π4 + πk, kZ; arctg4 + πn, nZ

Пример 3.

cos2x + sinx = 0 (аналогично)

Ответ: π2 + 2 πn, (-1)n+1π6 + πk, n,kZ.

Пример 4.

cos6x + cos2x = 0

Ответ: π8 + πn4; π4 +πk2, n,kZ

VI. Закрепление изученного материала. Работа с методическим пособием

  • 3sin2x + sinxcosx = 2cos2x
  • 2cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0
  • 4sin2x - sin2x = 3
  • cos2x = 2cosx – 1

VII. Итог урока.

С какими способами решения тригонометрических уравнений вы знакомы теперь? (перечислить их).

VIII. Домашнее задание. Инструктаж по домашнему заданию.

Решить уравнения:

  • 9sinxcosx – 7cos2x = 2sin2x
  • 2sin2x – sinxcosx = cos2x
  • sin2x – cosx = 0
  • sin2x + 4cos2x = 1

Решить уравнение 12sin2x + 3sin2x – 2cos2x=2

(Данное уравнение не является однородным, но его можно преобразовать в однородное, заменив 3sin2x на 6sinxcosx и 2 на 2sin2x + 2cos2x. После приведения подобных членов, получится однородное уравнение:

10sin2x + 6sinxcosx – 4cos2x = 0

Ответ: х = - π4 + πn, nZ, x = arctg 25 + πk, kZ.)

В начале следующего урока можно предложить самостоятельную работу:

(время выполнении 15-20 минут)

Вариант I Вариант II
1) cos2x – 5sinx - 3 = 0
2) sin2x + cos2x = 0
3) cos2x – cos2x = sinx
4) sin4x – cos2x = 0
5) 5 – 5cos(π2 - x) = 2 cos2(π - x)
1) cos2x + 3sinx = 2
2) sin2x – cos2x = 0
3) 6 – 10 cos22x + 4cos2x = sin2x
4) cosxcos2x = 1
5) 5 cos2(π2 + x) – 5 cos2(2π + x) = 32

Анализ усвоенности материала: Все учащиеся проявили интерес к данной теме. В результате написания самостоятельной работы неудовлетворительных оценок нет; качество составило 77%.

Cамоанализ урока.