Одними из самых древних являются задачи на равенство площадей (равновеликость), поскольку как раз при измерении площадей в Египте и зарождалась геометрия
Историк Геродот (V век до н. э) писал: “Если Нил заливал чей-нибудь участок, то пострадавший обращался к царю и докладывал ему о случившемся. Тогда царь посылал землемеров (геометров); они измеряли, на сколько уменьшился участок и сообразно этому уменьшали налог. Вот откуда возникла геометрия (землемерие)”
В книгах “Начала” Евклида равновеликость фигур означает, что они могут быть составлены из частей. Именно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий (равносоставленный) треугольник, а треугольник — в квадрат.
Рассмотрим простейшие случаи равенства площадей
1. а || СВ. Все треугольники С
В равновелики (рис1)т.к. имеют
общее основание и высоту.
2. Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (докажите)
3. Диагонали параллелограмма делят его на 4 равновеликих треугольника
Доказательство:
=
и 
=
(имеют равные основания и общую высоту),
аналогично
+= +,
следовательно: = = =
Решим задачи, используются свойства равновеликости фигур
Задача 1 Дан параллелограмм АВСD и точка М вне плоскости параллелограмма (рис 4) Проведите через точку М прямую, делящую его на две равновеликие фигуры
Решение: Проведем диагонали АС и ВD, которые пересекутся в точке О.Прямая МО будет искомой. Она разбивает параллелограмм на две трапеции, у которых равные высоты и равные средние линии РО = КО.
Задача 2. В параллелограмме АВСD вырезали отверстие в виде прямоугольника. Провести прямую так, чтобы разделить оставшуюся часть на две равновеликие фигуры
Решение: Проведем диагонали параллелограмма и прямоугольника. Через точки пересечения диагоналей О и М проведем прямую ОМ. Данная прямая будет искомой (см. предыдущую задачу) (еще один образец решения задачи)
Задача 3 Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Докажите, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики.
Решение 
=
Если из равных
площадей отнять одну и туже площадь, то
оставшиеся площади будут равны. 
Решение. Обозначим площади треугольников
через и , четырехугольника - Соединим точки М и
К получим две трапеции АВМК и КМСD. Площади
треугольников, прилежащих к боковым сторонам
равны (доказано в задаче 3).Следовательно, + ,=
Задача 5 В трапеции СD (рис9) ВК || СD, где К 
АС.
Докажите, что треугольники АВС и КСD равновелики
Решение В трапеции АВСD = (задача 3), в
трапеции KBCD 
=
Сложим равные
площади, получим 
=
.
Для нахождения площади произвольного многоугольника его обычно разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Сумма площадей этих треугольников равна площади данного многоугольника. Площадь многоугольника можно найти другими способами. Один из таких способов был указан Евклидом. Он состоит в построении треугольника равновеликого данному.
Рассмотрим пример.
Дан выпуклый пятиугольник АВСDЕ построим равновеликий ему треугольник. Для этого через вершину В проведем прямую, параллельную диагонали АС и через точку D прямую параллельную диагонали СЕ (рис 10).
AFBC трапеция по построению следовательно = 
(общее основание АС и высота)
Аналогично EKDC трапеция и 
=
Таким образом =
Применяя способ Евклида к трапеции, получаем другой способ вывода площади трапеции.
Рассмотрим трапецию АВСD с основаниями АD = а
и ВС = в и высотой h Проведем через вершину В
прямую СЕ || ВD , тогда 
= Четырехугольник ВСЕD параллелограмм,
поэтому ЕD = ВС = в. Итак, 
= (a +b)h
Докажем еще одну формулу для площади трапеции
Доказать, что площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой содержащей первую сторону
Доказательство
Пусть в трапеции АВСD точка Е –середина СD, а
EF –перпендикуляр к АВ через точку Е(рис 12)
Проведем прямую, параллельную АВ и пересекающую
прямые АD и ВС в точках К и М соответственно. АМВК
– параллелограмм и 
= FD · EF. Этот параллелограмм и трапеция АВСD
равносоставлены, следовательно, равновелики,
значит = AB · EF
Литература:
- Атанасян Л С Геометрия Дополнительные главы к учебнику Москва 2006.
- Шарыгин. И Ф Геометрия Задачи М.Дрофа 1997.