Цель: Исследовать функцию на возрастания и убывания с помощью производной.
Задачи:
- Рассмотреть алгоритм исследования функции. Закрепить ранее изученные пункты. Отработать навык по нахождению промежутков возрастания и убывания.
- Развивать графическое мышление, умение читать графики, выделять главное, делать вывод.
- Уметь слушать и слышать учителя и одноклассников.
Ход урока.
I. Повторение.
- В чем заключается геометрический смысл производной?
- Записать математическую запись.
- Как ведет себя касательная при положительном угловом коэффициенте?
- Как ведет себя касательная при отрицательном угловом коэффициенте?
- Чему равен угловой коэффициент в точке х0=2, если значение производной в этой точке равен -5?
- Чему равен
, если 
?
II. У доски отвечают три ученика по карточкам.
Карточка № 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции 
Карточка № 2. Найти угол наклона касательной к графику функции
Карточка № 3. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой равной 1.
III. Обсуждение вопросов по домашнему заданию.
IV. На интерактивной доске высвечивается алгоритм исследования функции.
(заполнить пропущенные места до 6 пункта, следующий пункт должен вызвать затруднения)
Алгоритм.
- Найти область определения функции - _____. Область значений функции ____.
- Определить четность функции __________.
- Определить периодичность функции ___________.
- Найти _______________ функции.
- Найти __________ функции и ___________ точки.
- Определить знак производной в полученных интервалах.
- Указать промежутки возрастания и убывания функции.
Остановимся на пункте 6, (он вызывает затруднения у обучающихся). Выдвигаем проблему, записываем новую тему, учащиеся ставят цель урока.
На интерактивной доске изображен график некоторой функции 
на отрезке 
(см. рис. № 1 приложение № 1). К данному графику проведены касательные. Цель: Как с помощью графика и касательной определить промежутки возрастания. Пусть производная данной функции, предположим, что она положительна на данном отрезке 
. Рассуждаем: угловой коэффициент касательной к графику этой функции 
в каждой точке данного отрезка. Тогда график касательной возрастает, а значит, функция на этом отрезке возрастает. Аналогично рассматриваем для второй касательной.
Делаем вывод: Если 
на некотором интервале, то функция возрастает на этом интервале.
Рассматриваем график функции 
на отрезке 
(см. рис № 2 приложение № 2). К данному графику проведены касательные. Цель: Как с помощью графика и касательной определить промежутки убывания. Учащимся предложить самостоятельно.
Делаем вывод: Если 
на некотором интервале, то функция убывает на этом интервале.
Геометрически мы рассмотрели этот вопрос. Делаем обобщение.
Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции достаточно найти её производную и исследовать знак производной на D(f).
Докажем аналитически. Достаточное условие.
Теорема. Если функция 
дифференцируема на интервале 
для всех 
, то функция возрастает (убывает) на интервале 
Для доказательства достаточного условия воспользуемся формулой Лагранжа.
Доказательство рассмотреть самостоятельно по учебнику (в течение 5-7 мин).
На интерактивной доске показать алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания.
Алгоритм.
- Найти D(f).
- Вычислить производную функции.
- Вычислить нули производной и критические точки.
- Исследовать знак производной, в каждом интервале.
- Знаку «+»соответствует
и знаку «-» соответствует 
. - Записать ответ.
V. Закрепление.
Упражнение № 900 (1,3,5,7). Учитель показывает одно задание, затем два решаются учащимися, одно самостоятельно, с последующей проверкой.
Дополнительное задание № 902 (1). Для тех учащихся, кто справился заданием № 900.
Домашнее задание № 900 (2,4,6,8), 902 (1), дополнительное № 902 (2,4).
Полный алгоритм исследования функция учащимся дается в конце всех изученных тем (см. приложение № 3)