Применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость

Разделы: Математика

Цель: формирование знаний, умений и навыков при решении в целых числах уравнений, содержащих квадрат целого числа; создание условий для преодоления у выпускников трудностей при решении заданий ( ) ЕГЭ по математике.

Задачи:

  • помочь обучающимся сформулировать основные свойства квадрата целого числа;
  • познакомить с различными подходами к решению задач, содержащих точный квадрат числа;
  • показать на примерах олимпиадных задач и задач из ЕГЭ по математике () применение свойств квадрата целого числа в решении задач на делимость.

 Тип занятия: урок изучения нового материала. 

Ход урока

I. Постановка цели

В 2009-2010 учебном году на ЕГЭ по математике задания  в основном состояли из задач на делимость. Большинство выпускников 11-х классов даже не приступали к этим задачам, увидев в них нагромождение различных символов, функций и значков. Для решения таких задач необходимо знать некоторые свойства делимости целых чисел и овладеть приёмами применения этих свойств. Сегодня на занятии мы решим ряд задач на делимость, в которых используются простейшие свойства точного квадрата числа.

II. Актуализация опорных знаний

При решении задач нам пригодятся признаки делимости чисел, с которыми вы познакомились ещё в 6-ом и последующих классах, а также определение числа

Напомните, пожалуйста, признаки делимости:

  • на «2» – (если число оканчивается чётной цифрой);
  • на «3» – (если сумма цифр числа делится на 3);
  • на «4» – (если две последние цифры в записи числа образуют двузначное число, кратное 4);
  • на «5» – (если число оканчивается 0 или 5);
  • на «8» – (если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число, кратное 8);
  • на «9» – (если сумма цифр числа делится на 9);
  • на «10» – (если число оканчивается 0).

И ещё вопрос: что такое  и как найти значения 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, … Посмотрите, как изменяется последняя цифра числа

n! = 123456…n – произведение первых n натуральных чисел.
1! = 1
2! = 12 = 2
3! = 123 = 6
4! = 1234 = 24
5! = 12345 = 120
6! =123456 = 720 и т.д.

При n≥5 число n! всегда оканчивается нулём. 

III. Ознакомление с новым материалом

Рассмотрим таблицу квадратов натуральных чисел. Все свойства точного квадрата числа спрятаны в этой таблице. Нам только надо проявить наблюдательность при анализе данных в таблице.

к   1     2     3     4     5     6    7     8     9    10   11   12   13   14   … 
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 …

Обратите внимание на последние цифры квадратов чисел. Что вы заметили?

На какие натуральные числа может делиться точный квадрат числа?

Свойства квадрата целого числа

  1. Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.
    Первое свойство очевидное и доказательства не требует.

  2. Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
    Доказательство:
    Если а – число чётное, то есть а = 2к, то   = 4 – делится на 4.
    Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то  = ( = 4 + 4к + 1 = 4к (к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1.

  3. Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
    Доказательство:
    Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда  = ( = 9- делится на 9.
    Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда  = (= 9 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.

Вот мы и сформулировали свойства точного квадрата числа. Теперь вашему вниманию я предлагаю ряд задач, в решении которых используются вышеперечисленные свойства.

1. Найти все натуральные n, при которых число  является точным квадратом.

Решение:

Если n=1, то  – не является точным квадратом.
Если n=2, то – не является точным квадратом.
Если n=3, то – не является точным квадратом.
Если n=4, то , значит, при n=4 число  является точным квадратом числа.
Если , то  оканчивается 0, тогда  оканчивается 7, но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться цифрой 7. Значит, других натуральных чисел n, удовлетворяющих данному условию, не существует.

Ответ: при n=4.

Эта задача могла быть сформулирована иначе:

Решить в целых числах уравнение .

Способ решения тот же. Только надо помнить, что по определению

Ответ: .

2. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

Так как  – произведение первых  натуральных чисел, значит, , а целым может быть только k.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Но по свойству (1) квадрат целого числа не может оканчиваться ни 3, ни 8, значит, других целых решений уравнение не имеет.

Ответ: .

3. Решить в целых числах уравнение: .

Решение:

В решении этого уравнения надо использовать тот же приём, что и в предыдущих. Его легко решить устно.


Но тогда  оканчивается 8 или 3, а это противоречит свойству (1). Значит, при  уравнение не имеет решений в целых числах. Поэтому решения уравнения следует искать для
Если n=1, то
Если n=2, то .
Если n=3, то .
Если n=4, то .
Как видим, ни при каком  число  не является точным квадратом.

Ответ: уравнение не имеет целых решений.

4. Решить уравнение в целых числах: .

Решение:

, и опираемся на свойство(1) квадрата целого числа.


Значит,  оканчивается 7, но тогда и  оканчивается 7.
Но квадрат целого числа не может оканчиваться 7, значит, целых решений нет.
Значит, решения уравнения следует искать при  = 1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Ответ: .

5. Решить в натуральных числах уравнение .

Решение:

В этом уравнении  должны быть натуральными числами, а в остальном – решение аналогично предыдущим.


Но квадрат целого числа не может оканчиваться 3, значит, при  натуральных решений уравнение не имеет. Остаётся проверить наличие решений при =1, 2, 3, 4.
Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то

Ответ:

6. Решить уравнение в целых числах: 1!+2!+3!+…+

Решение:

Если =1, то 1! =, тогда 
Если =2, то 1!+2! =  – число не целое.
Если =3, то 1!+2!+3! =   
Если =4, то 1!+2!+3!+4! =  – число не целое.
Если  , то 1!+2!+3!+4!+…+х! оканчивается цифрой 3, но квадрат целого числа не может оканчиваться 3.
Значит, при 

Ответ: =1,  2)=3, 

7. Доказать, что уравнение  не имеет решений в целых числах.

Доказательство:

если  делится на 5, а это возможно, если  оканчивается 0 или 5, тогда

Но квадрат целого числа не может оканчиваться ни цифрой 3, ни цифрой 8.

Значит, уравнение не имеет целых решений. Что и требовалось доказать.

8. Решить в целых числах уравнение .

Решение:

Если n=1, то
Если n=2, то
Если n=3, то
Если n=4, то
Если  уравнение целых решений не имеет, так как при чётном
 1234… (1234… ( =
=1234… (
При нечётном
 1234… (1234… ( =1234… ( – не делится на 4, а при делении на 8 даёт остаток 3, а не 1.

Ответ: 1)

9. Решить уравнение в целых числах: .

Решение:

Если  =1, то

Если  =4, то
При (1245… +1) = – левая часть уравнения делится на 3, значит, число должно делиться на 9.
Но 1245… +1 на 3 не делится, поэтому левая часть уравнения не кратна 9 Значит, при  уравнение не имеет целых решений.

Ответ: 1) =1, =4,

10. Решить в целых числах уравнение:

Решение:


1) Если m – число чётное, то  – числа нечётные и их произведение
– тоже число нечётное, но правая часть уравнения – чётное число. Значит, при чётном m уравнение не имеет решений.
2) Если m – число нечётное, то  – числа чётные, причем, – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда , значит, , но квадрат целого числа делится на 4 или при делении на 8 даёт остаток 1. А  лишь в единственном случае, если n=0. При n=0 уравнение примет вид:

Ответ: .

11. Решить в целых числах уравнение:

Решение:


1) Если n – число четное, то  – числа нечётные, значит, – тоже нечетное число, а это возможно лишь тогда, когда , т.е. . При всех других чётных  уравнение целых решений не имеет.
2) Если n – число нечётное, то – два последовательных чётных числа, одно из которых кратно 2, а другое – 4. Тогда их произведение . Значит, и левая часть уравнения
, но – число нечётное, значит, только
. Это возможно, если . При  .
При  ,
.
Если же , то  , а правая часть уравнения , значит, других решений уравнение не имеет.

Ответ: 1)  2)

12. Решить в целых числах уравнение:

Решение:

– имеет решение, если:
1)  = 0, тогда
- число нечётное, . Тогда, ,

.
() – нечётное число при . Значит,  тоже должно быть нечётным, а это возможно, если . Тогда при  исходное уравнение примет вид .

Ответ: 1) ; 2)

13. Доказать, что число, оканчивающееся двумя одинаковыми цифрами, отличными от 0 и 4, не может быть точным квадратом.

Доказательство:

Так как квадрат любого числа может оканчиваться цифрами: 0; 1; 4; 5; 6; 9, то кроме 0 и 4 последними цифрами могут быть: 11; 55; 66; 99.

- число чётное, тогда .

Значит, не существует таких чисел , что  оканчивается 55, 66, 11 или 99.

Что и требовалось доказать.

14. Доказать, что тысячезначное число, все цифры которого пятёрки, за исключением, быть может, одной, не является точным квадратом.

Доказательство:

а) Если число оканчивается 5, то предпоследняя цифра может быть только 2, тогда 55….525 – число нечётное, оно не кратно 4, значит, при делении на 8 должно дать в остатке 1, но . Значит, число не может быть точным квадратом.
б) Если последняя цифра не 5, то это может быть 0; 1; 4; 6; 9, тогда
– не может быть, т.к.  оканчиваться чётным числом нулей.
– не может быть, т.к. .
– чётно, но не кратно 4, т.к. 54 не делится на 4.
 – нечётное, но при делении на 8 даёт остаток 7, а не 1.
 – чётно и делится нацело на 4, но не всякое чётное число, кратное 4, является точным квадратом. Проверим, выполняется ли свойство (3) квадрата целого числа.
сумма цифр  не делится на 9, а при делении на 3 в остатке 0.

Таким образом, ни одно из перечисленных чисел не может быть точным квадратом. Что и требовалось доказать.