Цели:
1. Образовательные.
- обеспечить усвоение правил дифференцирования и техники вычисления производных в разнообразных ситуациях.
- организовать вычисление производных тригонометрических функций по образцу и в измененной ситуации с целью формирования целостной системы дифференцирования
2. Развивающие.
- создать условия для быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний
- обеспечить развитие у учащихся сравнивать познавательные объекты
- обеспечить условия для развития у учащихся умений анализировать.
3. Воспитательные.
- содействовать развитию у учащихся чувства ответственности за личную и коллективную деятельность
- содействовать учащимся в осознании ценности совместной деятельности.
Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.
Форма урока: традиционная с элементами программированного обучения, с элементами адаптивной системы обучения.
Оборудование урока: ноутбуки, доска, мел, таблица с формулами, карточки с заданиями.
Ход урока
I. Организационный момент.
Учитель: «На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные сложных функций. Назовите функции, производные которых вы уже умеете вычислять».
Выслушиваются ответы учеников.
Учитель: «Сегодня мы проверим ваши умения самостоятельно применять полученные знания для вычисления производных функций».
II. Презентация (историческая справка-это д/з, которое выполняет один из учеников)
1) Математика развивалась стремительно, но без понятия производной многие исследования не имели смысла.
В 1679 году Пьер Ферма находил экстремумы функции, касательные, наибольшие и наименьшие значения функций. Но в своих записях он использовал сложнейшую символику Виета, и поэтому эти исследования не привели к созданию теории интегральных и дифференциальных исчислений.
В 1736 году Исаак Ньютон получил теорию интегральных и дифференциальных исчислений методом флюксий (производных). Но вся теория была осмыслена с точки зрения физики. Математики хотели строгих логических обоснований.
Современник Ньютона Лейбниц предложил новый подход к математическому анализу. Он ввёл обозначения дифференциала, интеграла, функции, такие понятия как ордината, абсцисса, координата. Но в его теории было много “тёмных мест”.
И вот в 18 веке величайший математик Леонард Эйлер создал теорию дифференциальных и интегральных исчислений, и в таком виде мы с вами ее изучаем.
1) Проверка домашнего задания с помощью ноутбука(сайт ЦОР)
ЦОР Производные тригонометрических функций
№ |
Функция |
Производная |
1 |
f(x) = sin(2x + 1) – 3cos(1 – x) |
f’(x) = 2cos(2x + 1) – 3sin(1 – x) |
2 |
f(x) = 4sinx + x² |
f’(x) = 4cosx + 2x |
3 |
f(x) = 3sinx7 |
f’(x) = 21x |
4 |
f(x) = tgx + ctgx |
f’(x) = |
5 |
f(x) = 3sinx |
f’(x) =3cosx |
6 |
f(x) = cos6x |
f’(x) = – 6sinx |
7 |
f(x) = 4tg7x |
f’(x) =28cos²x |
8 |
f(x) = cos(x + 2) |
f’(x) = –sin(x + 2) |
9 |
f(x) = cosx³ |
f’(x) = –3x²sinx³ |
10 |
f(x) = –2ctg10x |
f’(x) =20/sin²10x |
cosx
Дополнительное Д/З сдать на листочках (физ.-мат. группа).
III. Актуализация опорных знаний учащихся:
Фронтальный опрос по ранее изученным формулам вычисления производных.
Чему равна производная:
- от числа
- от переменной «х»
- от выражения kx + b
- от суммы функций
- от произведения двух функций
- от частного
- степенной функции
- сложной функции
- тригонометрических функций
Учащиеся выходят к доске по одному и записывают формулы в столбик.
Затем идет проверка с помощью таблицы.
C´ = 0, X´ = 1, (kx + b) ´= k
(U + V)´ = U´ +V´; (U · V)´ = U´V +UV´
; 
; (СU)' = СU'
(sin x)´= cos x; (cos x) ´= sin x; (tg x) ´= 
; (сtg x) ´= - 
IV. Устная работа
1) Проверить верно ли найдена производная
(
)'=
{1/2};
(
)'=
{
};
( 
)'=
.
2) Найти производные функций:
G(x) = sinx + 4x6,
F(x) = –17tgx + 1,
F(x) = cos(4x – 11),
Y = tgxctgx
3) Задайте формулой функцию f(x):
f ´(x) = 2x f ´(x) = 3x2 – sinx f ´(x) = 5 – cosx |
|
4) Производные каких функций записаны на доске?
(действие обратное дифференцированию будем изучать в 11 классе.)
V. Коллективная работа по учебнику автор А.Г.Мордкович
№ 42.12 Найти значение производной функции в данной точке
г) у = ctg²x – 1, у'(π/4)-?
Решение.
у'(х)= -2ctgx/sin²x, у'(π/4)= -4
№42.17 При каких значениях аргумента скорости изменения функций равны?
а) f(x)=cos2x, g(x)=sinx
Решение.
f ' (x)= – 2sin2x, g' (x)= cosx. - 2sin2x = cosx, cosx(4sinx + 1)=0, x
=π/2+πn x
=(-1)
arcsin
+ πn
№42.21 Определите абсциссы точек, в которых в которых угловой коэффициент касательной равен 0
а) f(x)=tg³x
Решение.
f ' (x)=3tg²x/cos²x, f ' (x)=0, sinx=0, x=πn
VI. Контроль и самопроверка знаний и способов действий.
У каждого из учеников на столе находится тестовое задание (по вариантам). Решают в тетради, на полях записывают правильные ответы. Задание дифференцированные: № 1,2 оцениваются «3» баллами, №3,4 – «4» и «5» баллами, В-1,2 общеобр.группа,В-3,4 для физ.мат группы.
Самоконтроль. Ответы на доске.
Тест.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Y= sin2x 1. sin 2x 2. 2sin x 3. –sin 2x |
Y= cos2x 1.- sin 2x 2. sin 2x 3. 2sin x |
Y = 3cos 2 x 4. 6sin 4x 5.-3sin 2x 6. -6sin 2x |
Y= 3sin 2x 1.3cos 2x 2. 6cos 2x 3. -6cos 4x |
Y= 4tg 3x 7.4/cos23x 8. 4/cos2х 9. 12/cos23x |
Y= 3ctg2x 1. -3/sin22x 2. 6/sin22x 3.- 6/sin22x |
Вычислить Y´(π) Y= sin 2x – 3cos 3x 1. 2cos 2x – 3sin 3x 2. 2cos 2x + 9sin 3x 3. -2cos 2x + 3sin 3x |
Вычислить Y´(π/2) Y= cos 2x – sin 3x 1. -2sin 2x – 3cos 3x 2. 2cos 2x – 3sin 3x 3. –sin 2x – cos 3x |
Вариант 3 |
Вариант 4 |
y=sinx 1. 5 x 2. 5 cosx 3. 5 x |
y=cos 1.- 21sin(3x+π/6)cos 2. -7sin(3x+π/6) 3. 7cos |
y=1/cos 4.2/cos 5. 1/sin 6. 2sinx/cos |
y=1/sin 1. 1/cos 2. -2cos/ xsin³x 3.-2/sin |
y=1/ tg3x 7. 3cos²3x 8. 3/tg²3x 9. -3/sin²3x |
y=2/ctg2x 1. -2sin²2x 2. 2/ctg2x 3.4/cos²2x |
y= 1. 1 /(2 2. cosx/(2 3. cosx(1+sinx) y'(0)=1/2 |
y= 1. -1 /(1+sinx) 2. cosx /(1+sinx)² 3. sinx /(1+sinx)² у'(π/2) =-1/2 |
cosx
sinx
(3x+π/6)
(3x+π/6) 
(3x+π/6) 
x
x 
x 
x 
x
x 
x
, у'(0)-?
) 
) 
, у'(π/2)-?В-1,3. Ответ:1692(номер нашей школы) В-2,4. Ответ:1231
VII. Закрепление и применение знаний и способов действий учащихся.
Проводится в виде игры. Задания написаны на доске. Учащиеся выходят по очереди. Результат решения соответствует какой-либо букве. Буквы лежат на отдельном столе. Ученик находит полученную букву, на обратной стороне которой написан её порядковый номер в фразе. Фраза записывается на доске. Учитель называет оценку каждому вышедшему к доске.
Ключ к расшифровке высказывания.
y |
y' |
Буква |
№ окошка |
cos²π– 4x2 + 7 |
– 8x |
А |
15 |
1/tgπ/4 + 3x2 |
6x |
Б |
25 |
1/x + 5 |
- |
В |
1,12,16 |
x6 – 4sinx |
6x5 – 4cosx |
Г |
18 |
20x4 - cosx |
80x3 + sinx |
Е |
2,7,9,13,17 |
2sin4x+16 |
8cos4x |
И |
4,6,30,35 |
sin²x + 13 |
sin2x |
К |
14 |
cos² 2x |
sin4x |
Л |
3,10,34 |
2x6 + (sinx)/2 |
12x5 + ½(cosx) |
М |
31 |
|
7x5 – 20x3 |
Н |
26 |
x²sin2x |
2xsin2x + 2x²cos2x |
О |
11,19,12,24,27 |
|
|
П |
21 |
sinx |
5x |
Т |
29,36 |
x+ 3sinx/3 |
1 + cosx |
С |
20,23,28,33 |
2x3 – x2 + x |
6x2 – 2x + 1 |
Ч |
5,8 |
x/cosx |
|
Ы |
32 |
sin6xcos3x+cos6xsin3x |
9cos9x |
Ь |
37 |
- 5х
- ctg3x
+ 3/(sin²3x)
+ tg6x
cosx
+ 
Величие человека - в его способности мыслить.
Блез Паскаль (1623-1662)
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
16 |
|
17 |
18 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VIII. Домашнее задание: записано на доске
Общеобр группа: №42. 10 (1 в, 2 г), 42. 12 (1 б, 2 г), 42. 14 (1 а, 2 в), 42. 15 (1 б, 2 г), 42. 18 (1 а, 2 в), 42. 21 (1 а, 2 б)
Физ-мат группа №42. 8 (1 а б, 2 в г), 42.1 6 (1 а в, 2 б г), 42. 27 (1 а, 2 в), 42.19 (1 а, 2 в), 42. 22 (1 а, 2 б)