Решение задач с параметрами с использованием свойств квадратного трехчлена

Разделы: Математика


Цели и задачи обучения:

  • Образовательные: организовать деятельность учащихся по исследованию и решению задач с параметрами, связанных с расположением действительных корней квадратного трехчлена относительно заданных чисел.
  • Развивающие: способствовать развитию системного мышления учащихся, формированию элементов математического творчества, исследовательских способностей учащихся, развитию умения работать с абстрактным материалом, умения анализировать.
  • Воспитательные: содействовать воспитанию   инициативности, трудолюбия, творческой активности, логической культуры, стремления к непрерывному совершенствованию своих знаний.

Тип урока: урок комплексного применения знаний.

Этапы урока:

I. Вводно-мотивационный

1.1. Актуализация знаний

– Все возрастающая популярность задач с параметрами далеко не случайна. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека зачастую приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащим параметры. Необходимой частью решения подобных задач является исследование характера и конечного результата процесса в зависимости от значений параметров.
Немало задач с параметрами сводится к исследованиям с применением свойств квадратного трехчлена.

1.2. Постановка целей и задач

1.3. Создание ориентировочной основы деятельности:

Устно:

1) Что можно сказать о знаках параметров а, в, с если график функции у = ах2 + вх + с имеет вид, изображенный на рисунке:

 
Рис. 1

Ответ: ; парабола пересекает ось ОY в точке (0; с), то

2) Опишите рисунки:

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Ответ: сказать о знаках параметров, о расположении корней относительно начала координат.

Вопросы:

– Какие задачи с параметрами можно сформулировать по этим рисункам? (Ответ: а) при каких значениях параметра уравнение имеет корни разных знаков;  б) при каких значениях параметра оба корня уравнения отрицательны; в) при каких значениях параметра оба корня уравнения положительны) 
– Какими способами можно их решить? (Ответ: найти корни и записать условия для них или применить теорему Виета)

3) Применима ли теорема Виета, если мы будем рассматривать расположение корней уравнения не относительно нуля, а относительно некоторого числа т? (Нет).

II. Операционно-познавательный

2.1. Обеспечение учащихся необходимой информацией:

– Запишите условия, которые выполняются на этих рисунках:

Рис. 5                                                    Рис. 6

Рис. 7                                                Рис. 8

Вопросы:

– Как еще могут располагаться корни относительно заданной точки? (Ответ: данная точка расположена между корнями)
– Как можно усложнить задачу? (Ответ: Рассмотреть две точки, получится промежуток.)

Все случаи взаимного расположения корней квадратного трехчлена относительно данного числа или относительно двух данных чисел можно обобщить в таблицу. Вывод свойств в первых двух случаях можно рассмотреть вместе. Вывод остальных свойств (хотя бы нескольких) предоставляется учащимся. Класс разбит на группы, каждая группа готовит вывод одного свойства, общая таблица заполняется на доске.

Условия на действительные корни х1 и х2

Геометрическая интерпретация у = f(x)

Свойства

1

2   

 
3

4

5

    

6

 

 

или

7

 

или

2.2. Выполнение заданий:

Задача: При каких а оба корня уравнения   х2 + ах + а – 3 = 0 лежат в промежутке ( – 4; 0)?
Решить по свойствам и хотя бы составить систему условий при решении нахождением корней. Сравнить получившиеся системы.

Решение «по схеме»

Для нужного расположения корней потребуем: 1) чтобы вершина параболы лежала между точками   – 4 и 0;  2) чтобы значения функции    в точках – 4 и 0 были положительны; 3) чтобы корни существовали. Получим систему

Ответ: 

Для сравнения рассмотрим способ решения через нахождение корней. Найдем корни и потребуем, чтобы больший корень был меньше нуля, а меньший корень был больше  – 4. Получается система иррациональных неравенств.

III. Задание на дом

Задача: При каких а уравнение   х2 – 6(а + 1)х + 12а + 5 = 0   имеет хотя бы один корень меньше 1?
Вывести свойства для оставшихся случаев расположения корней.

IV. Подведение итогов урока, рефлексия

– Каким способом решали бы вы задачу, если бы получили ее в начале урока? (Cкорее всего, нахождением корней. Сравните способы решений.)
– Мы исследовали расположения корней квадратного трехчлена. Какие еще виды задач с параметрами хотелось бы вам исследовать?
– Можно ли обобщить данные свойства для случая, когда дискриминант равен нулю?