При изучении темы «Решение тригонометрических уравнений» в курсе алгебры и начал анализа в 10 классе достаточное внимание уделяется рассмотрению примеров решений уравнений, сводящихся к квадратным и решению однородных уравнений первой и второй степени относительно sin x и cos x. При этом практически не рассматриваются примеры решения уравнений первой степени, являющихся неоднородными относительно функций sin x и cos x.
Изучая в школьном курсе 10 класса тему «Преобразование тригонометрических выражений», целесообразно ввести формулу a sinx + b cosx = 
sin(x+
), где tg
= 
. В дальнейшем она будет использоваться при решении неоднородных линейных уравнений. Формулы универсальной подстановки и формулы половинного аргумента выводятся в теме «Преобразование тригонометрических выражений» при выполнении заданий на упрощение тригонометрических выражений.
Цели:
- ввести понятие неоднородного тригонометрического уравнения I степени;
- ознакомить с алгоритмами решения неоднородных тригонометрических уравнений I степени;
- проверить прочность усвоения ранее изученных формул тригонометрии.
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: индивидуальная и фронтальная работа с учащимися.
Ход урока
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя: Изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» кроме рассмотренного нами ранее вопроса о способах решения однородных тригонометрических уравнений I степени предполагает также рассмотрение способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Но прежде, чем мы перейдем к изучению нового материала, необходимо вспомнить применение формул тригонометрии при решении уравнений и неравенств.
II. Актуализация опорных знаний, умений
Математический диктант (10-12 минут).
| I вариант | II вариант |
|
|
| Ответы варианта I | Ответы варианта II |
|
|
3x = 
- 
0
2x = 
+ 
; 
+ 
, n
n; (-1)
+ 
n, n
n; arctg(-
) + 
n, n
+ 
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n
n ≤ x ≤ 
+ 
n, n
+ 
; (-1)
+ 
, n
+ 
n; 
+ 2
n, n
n; arctg
+ 
n, n
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n
+ 
≤ x ≤ 
+ 
, n
По окончанию самостоятельной работы учащиеся меняются тетрадями и проводят взаимопроверку. Правильные ответы заранее записаны учителем на закрытой доске.
III. Формирование новых знаний и понятий
Слова учителя: Теперь мы переходим к новой теме нашего занятия – решению неоднородных тригонометрических уравнений I степени.
Дается определение: Уравнение вида a sin x + b cos x = c, где а, b, с не равны 0, называется неоднородным тригонометрическим уравнением I степени.
Данное уравнение может быть решено тремя способами.
Первый способ – универсальная подстановка
sin x =
cos x =
Второй способ – введение дополнительного угла
a sinx + b cosx =
sin(x+
), где
= arctg
если a
+ b
c
, то уравнение имеет корни
Третий способ – переход к функциям половинного аргумента
sin x = 2 sin
cos
cos x = cos- sin
IV. Применение знаний, навыков, понятий
Задания на отработку применения разобранных способов решения неоднородных тригонометрических уравнений. Решаются у доски учениками с помощью учителя:
1-й ученик
1) sin 2x + cos 2x = 
sin 3x (через введение дополнительного угла)
Решение
sin (2x +
) =
sin 3x
sin (2x +) = sin 3x
sin (2x +) - sin 3x = 0
2 sincos
= 0
sin ( ) = 0
sin (-
) = 0
x =+ 2
n, где n
или cos ( ) = 0
cos (+
) = 0
x =+
, где n
2-й ученик
2) 3 sin x – 4 cos x = 5 (применение универсальной подстановки)
Решение
3
- 4
= 5
6 tg- 4 (1 - tg
) = 5 (1 + tg
)
(tg- 3)
= 0
x = 2 arctg3 + 2n, где n
3-й ученик
3) cos x – sin x = 1 (через переход к функциям половинного аргумента)
Решение
cos - sin
- 2 sin
cos
= sin
+ cos
2 sin(sin
+ cos
) = 0
sin = 0
x = 2n
или sin + cos
= 0 – однородное первой степени
tg= -1
x = -+ 2
n
Для самостоятельной работы учащихся (перед началом указываются способы решения):
1) sin x + cos x = 
(через введение дополнительного угла)
Решение
sin (x +
) =
sin (x +) = 1
x =+ 2
n, где n
2) 3 sin x + 5 cos x= 6 (универсальная подстановка)
Решение
3
+ 5
= 6
6 tg+5 - 5 tg
= 6 + 6 tg
11 tg- 6 tg
+ 1= 0
решений нет, так как D<0
3) sin x + cos x = 1 (формулы половинного аргумента)
2 sin cos
+ cos
- sin
= cos
+ sin
2 sincos
- 2 sin
= 0
2 sin( cos
- sin
) = 0
sin = 0
x = 2n, где n
или cos - sin
= 0
tg= 1
x =+ 2
n, где n
V. Итог урока
Подвести итог урока. Сообщить учащимся оценки, отметить наиболее активных.
VI. Домашняя работа
Домашняя контрольная работа по учебнику Колмогорова, стр. 285, № 152- 154 (задания а и б), №162 (задания а и в).