Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цель: совершенствование навыков составления уравнения по условию задачи.

• Познакомить с применением способа решения задач с помощью квадратного уравнения.
• Создать условия для формирования мотивации выбора математики для последующего углубленного изучения.
• Сформировать умения составлять алгоритмы для решения задач с помощью квадратных уравнений.
• Развивать вычислительные навыки.
• Развивать кругозор учащихся.

• Развивать умение наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развивать логическое мышление учащихся.

• Воспитывать навыки сотрудничества в процессе совместной работы.
• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей.

1. Проектор, компьютер, презентация.
2. Бланки ответов.

План урока.

Добрый день дорогие ребята! Я рада приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех вас улыбнуться друг другу, и мысленно пожелать успехов и себе и товарищам. Садитесь.

Тема сегодняшнего урока “Решение задач с помощью квадратных уравнений”.

Сегодня мы с вами закрепим умение решать квадратные уравнения, а также узнаем, как можно решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Слайд 2. Великий, немецкий ученый А. Эйнштейн говорил о себе: “Мне приходится делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только до данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Итак, откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

2. Проверка домашнего задания (выборочно, слайды 5-6).

• Что написано на доске? ах² + bх + с = 0 (Квадратное уравнение)
• Всегда ли имеет корни квадратное уравнение? (Нет, не всегда)
• От чего зависит количество корней? (От дискриминанта)
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D > 0?
• Сколько коней имеет квадратное уравнение если D = 0?
• Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D < 0?

Итак, ребята, давайте повторим основные понятия и формулы для решения квадратных уравнений. Я предлагаю вам написать математический диктант по теме “квадратные уравнения”.

Математический диктант. (Cлайды 11-18)

Ответы на вопросы диктантов записываем на бланках ответов (приложение 1). Записывать только коротко ответы. У каждого варианта будет по 8 вопросов.

Норма выставления оценок:

1.1. Сформулируйте определение квадратного корня.

2.1. Какое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

1.2. Запишите пример неполного квадратного уравнения.

2.2. Запишите пример квадратного уравнения.

1.3. Запишите, чему равен второй коэффициент в уравнении: 2х² + х – 3 = 0.

2.3. Запишите, чему равен первый коэффициент в уравнении: -х² + 4х – 7 = 0.

1.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: - 3х² + 5х = 0.;

2.4. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: 5х² - 8= 0.

1.5. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах² + с = 0?

2.5. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах² + bх = 0?

1.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?

2.6. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант отрицательный?

1.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения.

2.7. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

1.8. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

2.8. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Давайте проверять ваши работы. Обмениваемся своими бланками ответом с соседом по парте. И сравниваем ваши ответы с ответами на доске (слайд 20). Против правильного ответа ставим “+”, против ошибочного - “-”, если в ответе есть недочет, можно поставить “±”. Выставляем отметки и возвращаем бланки обратно.

1. Квадратным уравнением называется квадратное уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ? 0.

2.1. квадратное уравнение ах² + bх + с = 0, в котором хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0.

1.2. пример 5х² -4х = 0 или 4х² – 9 = 0.

2.2. пример 14х² – 5х – 1 = 0.

1.3. 1

2.3. – 1

1.4. а = - 3, b = 5, с = 0.

2.4. а = 5, b = 0, с = - 8.

1.5. два или не имеет корней.

2.5. два.

1.6. два.

2.6. не имеет корней.

1.7. D = b² – 4ac.

2.7. D₁ =k² – ac.

1.8. х_1,2 =.

2.8. х_1,2 =

Учитель собирает работы, проходя по классу, сразу по вариантам, чтобы облегчить работу.

4. Изучение нового материала (слайды 21–24).

1. С помощью квадратных уравнений решаются многие задачи в математике, физике, технике.
2. Разобрать решение задачи 1 (слайды 21–22).
3. Рассмотреть решение задачи 2 (слайды 22 – 23), повторив теорему Пифагора.
4. Рассмотреть решение задачи 2 по учебнику Ю.Н. Макарычева на стр. 124, связанную с физикой.

А теперь давайте потренируемся в составлении уравнений по условию задачи, а также закрепим навык решения квадратных уравнений с помощью небольшого тренажера.

(Примечание: Если есть возможность нужно установить такой тренажер на каждый компьютер отдельно, чтобы учащийся мог самостоятельно выполнять тест. Если нет, то проводим тренировочные упражнения коллективно или по очереди отвечая на вопрос.)

При этом, этом если учащийся неправильно ответил на вопрос, он возвращается опять к этому заданию. Если ответил правильно, то переходит к выполнению следующего.

Дается пять заданий. Три задания на составление уравнения по условию задачи, а два задания на решение задачи с помощью квадратного уравнения.

1. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 12 больше другого, а их произведение равно 315. Найдите эти числа.

1. х( х – 12) = 315
2. х(х + 12) = 315
3. 2х + 12 = 315
4. 2х – 12 = 315

2. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа.

1. х( х + 17) = 468
2. х(х - 17) = 468
3. 2х - 12 = 468
4. 2х + 12 = 468

3. Составьте уравнение к задаче, приняв за х меньшее из чисел: Произведение двух последовательных натуральных нечетных чисел равно 575. Найдите эти числа.

1. х( х + 2) = 575
2. х(х + 1) = 575
3. х • х + 1 = 575
4. 2х - 2 = 575

4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 6 см меньше гипотенузы, а другой на 3 см больше первого. Найдите гипотенузу, если площадь треугольника равна 54 см².

1. 9

2. 6

3. 15

4. 12

5. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если один из них на 7 см меньше другого, а гипотенуза равна 17 см.

1. 10 см и 24 см

2. 8 см и 15 см

3. 10 см и 8 см

4. 8 см и 66 см

Правильные ответы: 1 – 2; 2 – 1; 3 – 1; 4 – 3; 5 – 2.

1. Что мы сегодня повторили на уроке?
2. А что нового мы с вами сегодня узнали на уроке?
3. Кто доволен своей работой сегодня?
4. Какой этап урока вам понравился больше всего?

Хочется отметить, что никто из вас не отнеся к работе равнодушно, и если у кого-то не всё получилось не огорчайтесь: “Дорогу осилит идущий”.

7. Домашнее задание (слайд 40).

П.23, №№ 561, 564, 568 – 570.

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н. Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С. А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2009.

2. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс, М., ВАКО, 2008.

3. Ерина Т.М. Поурочное планирование по алгебре: 8 класс, М., “Экзамен”, 2008.

4. Афанасьева Т.Л. Поурочные планы по учебнику: 8 класс, Волгоград, Учитель, 2007.

5. Глазков Ю.А. Тесты по алгебре: 8 класс, М., “Экзамен”, 2010.

6. Конте А.С. Алгебра 7–9 классы. Математические диктанты, Волгоград, Учитель, 2006.

7. Островский С.Л. “Как сделать презентацию к уроку?”, Первое сентября, 2010.

8. Интернет-ресурсы

Спасибо за урок!