Цели:
- Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.
- Ввести понятие тождественного преобразования выражений.
- Развивать у учащихся навыки доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений.
- Воспитывать коммуникативную культуру учащихся.
Ход урока
Перед началом урока учащиеся класса разбиваются на шесть учебных групп смешанного состава.
I
Учитель: Здравствуйте, ребята, я предлагаю учебный кабинет превратить на время в научно-исследовательскую лабораторию, а нам с вами в ученых-магистров математических наук.
Но каждый, уважающий себя ученый, постоянно решает какую-нибудь очень важную проблему, вот и нам, прежде всего, предстоит узнать: над какой проблемой мы будем сегодня работать?
Для этого нам нужно решить две задачи: (Слайд 1)
- Разложите на множители выражение 4х – 8ху. (После выполнения задания на слайде появляется слово «Доказательство»)
- Представьте выражение -5у(у – 2) в виде многочлена. (После выполнения задания на слайде появляется слово «Тождеств»)
Учитель: Работать сегодня мы будем над «Доказательством тождеств», а девизом нашей работы я предлагаю взять вот эти замечательные слова: (Слайд 2)
Пусть каждый день и каждый час
Нам новое добудет,
Пусть добрым будет ум у нас,
А сердце умным будет!
II
Учитель: Господа ученые, прежде чем решать поставленную задачу, нам необходимо укрепить свою теоретическую базу, ведь понятие тождества вам уже знакомо. И поэтому в рубрике (Слайд 3) «Повторение – мать учения» я предлагаю вам провести следующую работу:
В каждой научной группе находятся формулировки трех понятий на карточке 1, вы должны среди них найти два определения: 1) Определение тождества, 2) Определение тождественно равных выражений.
(Учащиеся в течение 2-3 минут изучают эти определения, спрашиваются представители тех групп, которые быстрее всех справились с заданием, остальные участники других групп показывают согласие или несогласие с помощью сигнальных карточек зеленого и красного цветов)
Карточка 1
| … – это равенство, верное при любых допустимых значениях, входящих в его состав переменных. |
| Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются … равными. |
| Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют … преобразованием выражения. |
После того как учащиеся дают верное определение, оно высвечивается на экране.
Учитель: Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране будут появляться равенства, если это равенство будет являться тождеством, то я предлагаю вам встать, если же – нет, то вы продолжаете сидеть: (Слайд 4)
- - (а – в) = - а + в
- а (в + с) = ав - ас
- а – (в + с) = а – в + с
- (а + в) – с = а – с + в
- - (а + в) = - в - а
III
Учитель: Хорошо, а сейчас пришла пора из теоретиков нам превращаться в ученых- практиков, но для этого нам нужно узнать, что нужно использовать, чтобы доказать тождество, и здесь нам не обойтись без научной литературы, ответ на этот вопрос мы найдем на странице … вашего учебника. Учащиеся находят в учебнике ответ: «Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений». Согласие или несогласие участники остальных групп показывают специальными сигналами, о которых говорилось выше. (Слайд 5)
Учитель: Молодцы, но теперь возникает следующий вопрос, а что такое тождественное преобразование выражений? Ответ можно найти на карточке 1, это оставшееся третье определение.
«Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения» (учитель предлагает ответить на этот вопрос одного из участников любой группы) (Слайд 6)
Вот сейчас мы уже «созрели» для практической работы, и я попрошу вас обратить свое внимание на карточку 2. Задание: «Докажите тождество», каждая группа ученых получила пример, который она должна решить самостоятельно, если будут возникать затруднения на помощь придут карточки- консультанты.
Карточка 2
| Докажите тождество | |
| 1. 10х–(5х+4)=5х–4 | Карточка-консультант |
| Выпишите выражение в левой части указанного равенства, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением правой части, сделайте вывод. | |
Карточка 2
| Докажите тождество | |
| 2. 5х – 7 = 28х – 3 – х – 4 – 22х | Карточка-консультант |
| Выпишите выражение правой части указанного равенства, приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением левой части и сделайте вывод. | |
Карточка 2
| Докажите тождество | |
| 3. (х – 5)(х + 2) = (х + 4)(х – 7) + 18 | Карточка-консультант |
| Выпишите сначала выражение левой части, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, затем выпишите выражение правой части, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Сравните полученные выражения, сделайте вывод. | |
Карточка 2
| Докажите тождество | |
| 4. –(2х – 3) + (х2 + 2х – 3) = х2 | Карточка-консультант |
| Выпишите выражение в левой части указанного равенства, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением правой части, сделайте вывод. | |
Карточка 2
| Докажите тождество | |
| 5. 11х – 3 = 2х + 12 + 9х – 15 | Карточка-консультант |
| Выпишите выражение правой части указанного равенства, приведите подобные слагаемые, сравните полученное выражение с выражением левой части и сделайте вывод. | |
Карточка 2
| Докажите тождество | |
| 6. –4(3у – 1) + 1 = –6(2у – 1) – 1 | Карточка-консультант |
| Выпишите сначала выражение левой части, раскрой те скобки и приведите подобные слагаемые, затем выпишите выражение правой части, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Сравните полученные выражения, сделайте вывод. | |
Теперь нам необходимо защитить свои работы. (Презентация выполненных работ у доски, выступают желающие участники групп)
Учитель: Замечательно, а теперь уважаемые коллеги пора подводить итоги, что же нам необходимо сделать, чтобы доказать, что равенство является тождеством? Предполагаемые ответы учащихся: (Слайд 7)
- Выписать левую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна правой.
или - Выписать правую часть равенства, ее преобразовать и убедиться, что она равна левой.
или - Преобразовать и левую и правую часть равенства и убедиться в том, что они равны одному и тому же выражению.
Учитель: Какой вывод можно сделать в том случае, когда все то, о чем мы только что сказали, не будет выполняться? Предполагаемый ответ учащихся: Равенство не будет являться тождеством.
IV
Учитель: Чтобы полученные знания были прочными, эту работу мы продолжим дома:
Домашнее задание: п. 30, 773, * Составить равенство, которое будет являться тождеством.
V
Учитель: А сейчас настал час для творчества: В стихотворении, которое вы видите, вставьте пропущенные слова: (Слайды 8-9)
Равенства всякие, братцы, бывают,
И каждый об этом, конечно же, знает.
Есть – с переменными, есть – (числовые),
Сложные очень и очень (простые),
Но есть среди равенств особенный класс,
О нем поведем свой рассказ мы сейчас.
(Тождеством) равенство это зовется.
Но это еще доказать нам придется.
Для этого нужно нам только лишь взять
И равенство это (преобразовать)
Несложно, конечно, нам будет узнать
Какую придется нам часть изменять,
А, может, придется нам обе менять,
По равенства виду нетрудно (понять)
Ура! Удалось применить наши знания,
Окончено равенства преобразование.
И смело уже говорим мы ответ:
Так (тождество) это, или все-таки нет!
VI
Учитель: Спасибо за урок!