Теорема Пифагора

Тип урока: урок изучения нового материала

Цель урока:

• Знакомство с теоремой Пифагора, формирование навыков решения задач;
• Развитие познавательного интереса, логического мышления учащихся;
• Воспитание нравственных качеств личности.

Задачи урока:

• Познакомить учащихся с древнегреческим математиком Пифагором.
• Сформулировать и доказать теорему  Пифагора.
• Научить применять теорему для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника, показать практическое применение теоремы.

Оборудование: компьютер, презентация, плакаты с высказываниями Пифагора

ХОД УРОКА

I. Организационный момент (слайд 1)

– Сегодня у нас с вами необычный день и необычный урок.
Необычен тем, что мы  изучим одну из самых известных теорем древности, называемую теоремой Пифагора. Узнаем о жизни Пифагора, познакомимся с его математическими открытиями, докажем теорему и научимся применять её для решения задач.

 II. Актуализация знаний учащихся в ходе фронтальной беседы по вопросам

– Внимание на экран: «ВОПРОС-ОТВЕТ»   (слайды 2, 3)

III. Изучение нового материала

Задача (проблемная): В прямоугольной трапеции угол А равен 90°. Меньшая боковая сторона 4 см. Основания АВ и CD соответственно равны 8см. и 5 см. Найти большую боковую сторону.       (Слайд  4)

Учитель: Мы не можем довести решение задачи до конца, т.к не знаем зависимости между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.
Для того, чтобы определить большую боковую сторону трапеции ВС нам нужно установить равенство, связывающее длины сторон в прямоугольном треугольнике. И если эта зависимость существует, то как она формулируется.
Давайте попытаемся найти эту зависимость!

Задания по рядам: Построить прямоугольные треугольники по катетам.  (Слайд 5)

– Измерьте гипотенузу и запишите результаты измерений.
– Установите зависимость между катетами и гипотенузой (не могут).
– Найдите квадраты соответствующих сторон (слайд 6).
– Какая зависимость между катетами и гипотенузой, попытайтесь сформулировать (Выслушиваются ответы учащихся)

Учитель: Зависимость, которую мы установили между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника называется теоремой Пифагора.

Историческая справка о Пифагоре (слайд 7)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.
Родился Пифагор в семье резчика по камню. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.
Пифагор перебрался в город Милет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам  когда-то изучал науки.
Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки. Пифагор был чемпионом Олимпийских игр по кулачному бою.
Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу.    Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов.    Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.
Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю. Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.
После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:   (слайды  8-11)

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

(Слайд 12)

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

(из сонета Шамиро)

Доказательство теоремы Пифагора (доказательство записывается на доске +  слайд № 13)

Вопрос: Какие известные определения, формулы  использовались для доказательства теоремы?
Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Существует около 400 способов её доказательства. (Слайды 14-17)

IV. Закрепление материала

– Записать теорему Пифагора для треугольников. (Слайд 18)
– Выразить с через а и b; a через с и b; b через c и a.  (Cлайд 19)
– А теперь познакомившись с теоремой Пифагора, давайте вернемся  к задаче о нахождении боковой стороны трапеции.  Можем ли мы теперь найти боковую сторону. (Решается задача)   (Слайд 20)
– Обратите внимание, мы получили треугольник со сторонами 3, 4, 5; он называется египетским (Слайд 21)

Египетский треугольник – это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3 : 4 : 5. Особенностью треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9 : 16 : 25.
Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины. Применялся египетский треугольник в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности и для построения прямых углов землемерами и архитекторами.     Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3 + 4 + 5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

Пифагоровы тройки (слайд 22)

Кроме чисел 3, 4, 5 существует бесчисленное множество целых положительных чисел a, b, c, удовлетворяющих соотношению Пифагора: a² + b² = c². Их называют «Пифагоровыми тройками».
Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.
Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей, которые мы перечислим без доказательства:
Одно из чисел должно быть кратно трём.
Одно из чисел должно быть кратно четырём.
Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.
Можете удостовериться в наличии этих свойств (слайд 22)

Практическое применение теоремы Пифагора  (слайд 23)

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы – это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости. Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника (слайд 24).
Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании.  (слайд 25)

Практическая работа (слайд 24)

Сделав соответствующие измерения, вычислить:

– диагональ прямоугольника;
– диагональ квадрата;
– высоту равностороннего треугольника.

(Практическая работа проводится по группам, у учащихся модели прямоугольника, треугольника, квадрата)

V. Подведение итогов

– Мы с вами познакомились с одним из способов доказательства теоремы.
– Что вы знаете о прямоугольных треугольниках на сегодняшний день? (По модели)

1. Определение прямоугольного треугольника.
2. Названия сторон, соотношения между ними.
3. Свойство острых углов прямоугольного треугольника.
4.Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°
5. Свойство прямоугольного треугольника с углом в 45°.
6. Площадь прямоугольного треугольника
7. Теорема Пифагора

– Анализируем, все ли задачи, поставленные на урок, выполнены.
– Чем необычным был для вас сегодняшний урок?

VI. Заключение (слайд 26)  

Живи с людьми так,
Чтобы твои  друзья
Не стали недругами,
А недруги  стали друзьями.

(Пифагор)

Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников.
Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев – «Золотые стихи». Они переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В 18-19 веках «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные правила», начинавшаяся словами: «Пифагор есть законодатель всего человеческого рода».

Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

Берегите слёзы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле.
Во время гнева не должно ни говорить, ни действовать.
Молчание прекрасно. Молчи, если не можешь изречь то, что было бы прекрасней молчания.
Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я  должен сделать?», а, засыпая вечером, спроси:
Мысль – превыше всего между людьми.
Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
Научись жить просто и без роскоши.
Через весы не шагай – избегай алчности.
Не садись на хлебную меру – не живи праздно.
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.
Ласточек в доме не держи – не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык.
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
По торной дороге не ходи – следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих.

– Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда.

(Каждый учащийся сам вытаскивает себе высказывание Пифагора, которые выписаны на специальных карточках)

VII. Домашнее задание: п.54,  № 483, 484 (на выбор по две задачи)  (слайды 27-28)

Литература  (слайд 29):

1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и другие «Геометрия 7-9» М.: Просвещение, 2009г
2. Ссылки на ресурсы Интернет:

• http://ru.wikipedia.org/wik  
• http://mоypifagor.narod.ru       
• http://www.edu.severodvinsk.ru/after_school/nit/2006/web/terentev/primenenie.htm
• https://urok.1sept.ru/articles

3. Энциклопедический словарь юного математика
4. В.Литцман «Теорема Пифагора»
5. А.Немировский «Пифагор»
6. Еленьский Щепан «По следам Пифагора» Детгиз – 1961 стр.252-279