Формулы для вычисления площадей различных треугольников. 10-й класс

Цель урока:

• Образовательная цель: обеспечить в ходе урока сознательное повторение формул для вычисления площади треугольника, которые изучаются в школьной программе. Показать необходимость знания II формулы Герона, формулы площади треугольника, заданного в прямоугольной системе координат. Обеспечить сознательное усвоение и применение этих формул при решении задач. Показать формулу площади треугольника через радиусы вписанной и вневписанных окружностей. Учиться получать следствия из формул и показать это на некоторых выводах.
• Воспитательная цель: воспитывать сознательное отношение к учебе повышение интереса к математике, к истории математики, к научно-исследовательской работе.
• Развивающая цель: развивать логическое мышление, математическую речь. умение сравнивать и делать выводы; совершенствовать навыки работы с формулами, учиться получать из них следствия.

Методы и приёмы: словесный и наглядный.

По типу: урок обобщения и систематизации знаний.

Наглядность к уроку и раздаточный материал:

• презентация;
• памятки с рисунками, где учащиеся будут записывать формулы (приложение 1);
• задания для практической работы (приложение 2);
• учебник.

Ход урока

I. Организационная часть:

• Приветствие.
• Подготовка учащихся к уроку.
• Получение сведений об отсутствующих.

II. Повторение материала, решение задач, знакомство с новыми формулами.

Сегодня у нас обобщающий урок повторения по теме «Формулы для вычисления площадей различных треугольников». Зная формулы для вычисления площади треугольника, можно посчитать площадь любого многоугольника, предварительно разбив его на треугольники. Эта тема является одной из важнейших тем геометрии.

Мы повторим те формулы, которые вы знаете. Я вам покажу ещё несколько формул, знать которые необходимо для успешной сдачи ЕГЭ. И применим эти формулы при решении задач.

Слайд 1.

Запишите тему урока. Прежде чем приступить непосредственно к формулам давайте вспомним две теоремы геометрии, которые используются при их доказательствах - это теорема синусов и теорема косинусов.

1.  , a=2R; b=2R; c=2R

2. , cosγ = .

Напишите эту формулу для a² , b² .

Какие же формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

Слайд 2.

Площадь прямоугольного треугольника. S=ab. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 3.

Площадь любого треугольника. S= а. a= , = Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 4. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.

S=½·ab·sinα. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 5.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности. S =  Р r. (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 198).

Здесь уместно вспомнить, как строится вписанная окружность. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 6.

Площадь треугольника через R-радиус описанной окружности.

, Запишите формулу (приложение 1). (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 199).

Здесь также можно вспомнить, как строится описанная окружность.

Слайд 7.

I Формула Герона.

Слайд 8.

Доказательство первой формулы Герона. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 9.

Формула площади треугольника по трём сторонам была открыта Архимедом в III в до н.э. Однако соответствующая работа до наших дней не дошла. Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I в н. э.) и названа в его честь. Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим Героновым треугольником является египетский треугольник

Слайд 10.

Как посчитать площадь треугольника. если хотя бы одна сторона выражена квадратным корнем? II Формула Герона. Применяя предыдущую формулу, получим следующую.

Слайд 11.

Её называют II формулой Герона. И если стороны треугольника а,b,с , то записать ее можно в виде:

Запишите формулу (приложение 1) (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 200).

Слайд 12.

Рассмотрим решение задачи на применение этой формулы.

Слайд 13.

А вот при решении следующей задачи нам необходимо вспомнить формулы нахождения медиан треугольника. Запишите формулы (приложение 1).

Формулы медиан треугольника (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 195).

ma=   

mb=   

mc=   .

Слайд14.

Давайте решим одну замечательную задачу на применение данных формул. (Условие задачи с рисунком на листочках выдаётся каждому ученику. Здесь же они пишут решение. Каждый пункт решения проверяется с использованием слайда). Приложение 2.

Слайд15.

А как посчитать площадь треугольника в системе координат? Рассмотрим это на примере. Можно вычислить стороны треугольника, а затем его площадь по II формулой Герона. Но здесь громоздкие вычисления и без калькулятора не обойтись. А нет ли ещё какой-нибудь формулы для вычисления площади треугольника?

Слайд 16.

Такая формула существует. S= |(y3-y1) (x2-x1) – (x3-x1) (y2-y1)|. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 17.

Доказательство этой формулы очень громоздкое и мы не будем на нём подробно останавливаться. Если оно вас заинтересует, то можно разобрать его после урока.

Давайте попробуем применить эту формулу при решении задачи, текст которой у вас на тех же листочках. (Приложение 2).

Задача: А(0;0), В(5:7), С(4:-2). Найти площадь треугольника. Отв.19.

Слайд 18.

Итак, теперь мы знаем 8 формул для нахождения площади треугольника.

Но оказывается это не все формулы.

Существуют ещё формулы и следствия из предыдущих формул.

Слайд 19.

Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.

. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 20.

Вычисление площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам. Эту формулу можно получить из предыдущей, используя тригонометрическую формулу синуса суммы.

Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 21.

Вычисление площади треугольника через все углы и радиус описанной окружности.

. Запишите формулу (приложение 1) (см. учебник Атанасяна Л. С. «Геометрия 10-11», 2010 год, стр. 199).

Слайд 22.

Вычисление площади треугольника через все углы и одну из сторон треугольника.

. Запишите формулу (приложение 1).

Слайд 23.

Вычисление площади треугольника через радиусы вневписанных окружностей. Эту формулу не используют в школе. Но в материалах группы С ЕГЭ встречаются задачи, где можно быстро найти ответ, применив эту формулу.

Итак, мы теперь знаем 13 формул. Но это ещё не предел. С таким же успехом можно получить ещё новые формулы, например, через тригонометрические формулы половинного угла, двойного угла. Такие исследования могут стать стартовой площадкой для написания научно-исследовательской работы.

Слайд 24.

Интернет-ресурсы. На этом слайде вы видите сайт, где есть программа вычисления площадей треугольников по первым семи формулам для самых ленивых. Недостаток этой программы в том, что считает она приближённо в десятичных дробях.

III. Домашнее задание. Приложение 2.

1. А(2;3), В(5:-4), С(-1;-3). Найти площадь треугольника АВС.

2. В ∆АВС a=6, b = , с = . Найти:

1) Площадь треугольника АВС.

2) Высоту АК.

3) cos С.

4) R (радиус описанной окружности).

5) Медиану ВD.

IV. Итог урока.

Объявить оценки за работу на уроке.

Какие формулы вы сегодня повторили?

Какие формулы вы узнали только сегодня?

Те листочки, на которых вы записали формулы, пусть послужат вам справочным материалом при решении задач на уроке, дома и при подготовке к ЕГЭ.