Изучать не всего понемногу,
а многое об одном, о главном,
постигая многообразие в едином, в целом!
П. М. Эрдниев
Решаем вместе.
Задача 1. Решите уравнение
где 0° < х < 90°
Решаем вместе.
Задача 2. Решите уравнение.
,
где 0< х < .
Домашнее задание:
Задача 3. Докажите равносильность двух уравнений:
и 2sin x + 6 cos x = 3, где 0< х < .
Задача 4. Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3.
Геометрия помогает решать уравнения!
В некоторых случаях вместо того, чтобы преобразовать уравнение можно поступить следующим образом: перевести задачу на геометрический язык, а затем записать полученное геометрическое условие другим способом; в результате получается более простое уравнение.
Мы рассмотри два уравнения, причем в каждом из них исходное уравнение равносильно условию «некоторые точки лежат на одной прямой»; подходящим образом записав это условие, мы получим более простое уравнение, которое и будем решать.
Задача 1. Решите уравнение
где 0° < х < 90°
Вам предлагается рассмотреть первое и второе слагаемые левой части уравнения как длины отрезков – сторон треугольников.
Учитывая наличие квадратного корня, тригонометрических выражений sin x и cos x, можно предположить, что использовали теорему косинусов.
Рассмотрим выражения (надо смоделировать теорему косинусов)
15 – 12 cos x = ()2 + ()2 – 2∙ ∙ ∙ cos x
7 – 4sin x = ()2 + 22 – 2 ∙ ∙ 2 ∙ cos (90° - х)
Итак, согласно нашим рассуждениям выполним схематический рисунок. Изобразим прямоугольный треугольник с прямым углом С.
Проводим луч CD , который делит угол С на два угла х и 90° - х.
АС = , CD = , СВ = 2, а сторона АВ – гипотенуза ∆АВС,
АВ =
Имеем: АD = ,
то есть первое слагаемое в уравнении равно длине АD.
ВD = ,
то есть второе слагаемое в уравнении равно длине ВD.
Но так как АD + ВD = АВ, значит D
Рассмотрим площади треугольников. S ∆АВС = S ∆АСD + S ∆ВDС, а именно
.
Обе части уравнения делим на число
6 sin x + 2 cos x = 4
Обе части уравнения делим на число 4.
, sin x∙ cos 30° + sin 30°∙ cos x = 1,
sin(х + 30°) = 1, х + 30° = 90° + 2πn, где , х = 60° + 2πn,
где , х = 60°, учитывая условия задачи.
Ответ: 60°.
Задача 2. Решите уравнение.
, где 0< х < .
Решение. Переведем задачу на геометрический язык.
Представьте выражения, стоящие под знаком корня, в виде суммы 3 слагаемых, два из которых представляют квадраты чисел, а третье – удвоенное произведение этих чисел на cos x (или cos 2x).
2 – 2 cos x = 12 + 12 – 2 ∙1∙1∙ cos x;
10 – 6 cos x = 32 + 12 – 2 ∙3∙1∙ cos x;
10 – 6 cos 2x = 32 + 12 – 2 ∙3∙1∙ cos 2x.
Построим треугольник АВС; проведем луч СD – биссектрису ∠АСВ,
∠АСD = ∠ВСD = х. АС = 1, СD = 1, СВ = 3.
Еще раз!
АD = - первое слагаемое в уравнении (в левой части).
ВD = - второе слагаемое в уравнении (в левой части).
АВ = - правая часть уравнения.
Данное уравнение означает, что АD + ВD = АВ, откуда D .
Следовательно, S ∆АСD + S ∆СDВ = S ∆АСВ.
,
так как 2sinx≠0, то 2= 3cosx,
,
, учитывая условие 0<x< .
Ответ: .
Вопросы!
- 1. Какие преобразования надо выполнить с выражениями, стоящими под знаком корня?
- Какую фигуру будем строить? Каковы условия и линейные характеристики треугольников?
- Еще раз распишем длины треугольников АD, АВ, ВD?
- 4. Что означает уравнение или как записать утверждение: исходное уравнение равносильно условию «точки А, D и В лежат на одной прямой»?
- 5. Как записать это условие «подходящим» образом, то есть используя понятие «площадь треугольника»?
- 6. Обратим внимание на правую часть уравнения. Распишем формулу двойного угла.
- Что можно сказать о правой и левой частях уравнения?
Домашнее задание.
Задача 3. Докажите равносильность двух уравнений:
и 2sin x + 6 cos x = 3, где 0< х < .
(Равносильность или эквивалентность уравнений означает совпадение множества их решений).
Решение.
Рассмотрим уравнение
Выражение 5 – 4cosx = 22 + 12 – 2∙2∙1∙ cos x,
13 – 12cosx = 32 + 22 – 2∙3∙2 cos(90° - х)
∆АВС, ∠С = 90°, АС = 1, СВ = 3, ∠АСD = х, ∠DСВ = 90° - х, СD = 2.
АВ = - правая часть уравнения
АD = - первое слагаемое в уравнении в левой части.
DВ = - второе слагаемое в уравнении в левой части.
Получаем АD + DВ = АВ, D АВ.
S ∆АСD + S ∆DСВ = S ∆АСВ.
,
2sinх + 6 cosx = 3.
Одинаковые уравнения, значит, равносильны.
Задача 4.
Вычислите arctg 1 + arctg 2 + arctg 3.
Решение. Задача имеет изящное (!) геометрическое решение.
Смотрим! (рисунок 1)
Рисунок 1
Рассмотрим ∆АВС.
АВ = , ВС = , АВ = СВ = .
АС = .
Причем АВ2 + ВС2 = () 2 + () 2 = 5 + 5 = 10 = () 2 = АС2.
∆АВС прямоугольный (∠В = 90°), равнобедренный.
∠ВАС = ∠ВСА = 45° = = arctg1.
∆ОАВ, ∠О = 90°, , α = arctg2.
∆АСN, ∠N = 90°, , β = arctg3.
Значит, их сумма равна π!