Математика и шифры

Это мероприятие преследует достижение следующих целей:

• углубление знаний учащихся по математике;
• расширение кругозора;
• привитие интереса к предмету;

Приложение. Слайд 1.

Математика используется в различных сферах человеческой деятельности. Сегодня мы познакомимся с применением математических знаний в криптографии.

Слайд 2.

Криптография – тайная система изменения письма с целью сделать текст непонятным для непосвященных лиц [от греч. kryptos – тайный и grapho – пишу].

Начало криптографии совпадает с началом письменности, так как написанные тексты мог понять, только умеющий читать.

Слайд 3.

Издавна люди изыскивали способы уберечь некоторые важные сообщения от посторонних глаз. Рассказывают, как один царь обрил голову гонца, написал на ней послание и отослал гонца к своему союзнику лишь тогда, когда волосы на его голове отросли. Развитие химии дало удобное средство для тайнописи: симпатические чернила, записи которыми не видны до тех пор, пока бумагу не нагреют или обработают каким-нибудь химикатом. Но чаще стали применять шифры: сначала ими пользовались пираты, отмечая расположение кладов, алхимики, купцы, заговорщики. Впоследствии – дипломаты, стремящиеся сохранить тайны переговоров, военачальники, скрывающие от противника отданные распоряжения, разведчики и другие.

Слайд 4.

Первым описал использование шифровального устройства Плутарх, первым дешифровальщиком был Аристотель. Расцвет криптографии приходится на средние века. Один из шифров продержался до второй мировой войны. Некоторые историки считают одной из причин неудачного завершения для России Первой мировой войны некорректное отношение к шифрам.

Слайд 5.

Математика издавна применялась в теории шифров. Еще в конце XVI века расшифровкой переписки между противниками французского короля занимался один из создателей современной алгебры Француа Виет. Громкую славу он получил при Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции/

Слайд 6.

А английские монархические заговорщики в XVII веке поражались быстроте, с которой вождь английской революции Оливер Кромвель проникал в их замыслы. Впоследствии выяснилось, что все эти шифры разгадывал один из лучших математиков того времени профессор Оксфордского университета Валлис. Валлис – сын священника из Кента. Уже в молодости вызывал восхищение как феноменальный счетчик: как-то в уме извлек квадратный корень из 53-значного числа. Однако никакого математического образования он не получил, занимаясь самостоятельно. Он считал себя основателем новой науки – криптографии.

Слайд 7.

Мы познакомимся методом шифровки с помощью матриц. Что же такое матрица?

Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы обозначаются заглавными латинским буквами А, В, С..., а элементы матрицы этими же строчными буквами. Элементы матрицы упорядочены с помощью индексов. Первый индекс всегда обозначает номер строки, второй номер столбца.

Слайд 8.

Рассмотрим некоторые виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называется строкой, а из одного столбца – столбцом. Матрица называется квадратной, если количество строк равно количеству столбцов.

Слайд 9.

Если все элементы матрицы равны нулю, кроме диагональных, такая матрица называется диагональной. Диагональная матрица может быть только квадратной. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали единицы, называется единичной.

Будем использовать матрицы размером 2*2. Для того, чтобы воспользоваться способом шифровки с помощью матриц, достаточно уметь считать на уровне 6 класса, знать порядок букв в алфавите и правило умножения матриц. Расшифровать же его смогут только с помощью компьютера.

Слайд 10.

Для кодировки текста на русском языке пронумеруем все буквы по месту их расположения в алфавите – от 1 до 33, знак “, пробел, тире, точка и т. д.(исходя из послания).

Слайд 11.

Возьмем простое предложение Я и шифр. Поменяем каждую букву на число. Получим: 33, 34, 10, 34, 26, 10, 22, 18

Слайд 12.

Построим из этой последовательности две матрицы:

Зашифруем это сообщение с помощью еще одной матрицы

Назовем ее кодирующей матрицей. Теперь найдем произведение АВ и АС.

При умножении матриц можно использовать правило “строка на столбец”.

Тогда можно передать адресату сообщение:

96, 170, 53,102, 118, 74, 70, 46.

Слайд 13.

Но как адресат поймет, что за сообщение ему отправили? Для этого нужно знать декодирующую матрицу и проделать с полученным текстом следующее:

Получим 33, 34, 10, 34, 26, 10, 22, 18, что после перевода в буквы будет означать Я и шифр.

Таким образом, надо составлять фразы с числом букв, кратным 4, чтобы легко составлять матрицы, и знать кодирующую и декодирующую. Причем для кодирующей матрицы нужно подбирать свою декодирующую.

Слайд 14.

Декодирующая матрица будет обратной к данной. По аналогии с числами произведение взаимно обратных чисел равно 1, произведение матрицы и обратной ей равно единичной матрице А*А^-1 = Е

Значит, обратная матрица . Эту пару можно использовать для кодирования и декодирования.

Попробуем, используя в качестве кодирующей матрицы

Слайд 15–16.

Найти декодирующую и зашифровать послание Алекс Юстасу. Получим 11 букв и пробел между ними: 1, 13, 6, 12, 19, 34, 32, 19, 20, 1, 19, 21 их можно расположить в три матрицы

Что означает: 6, 12, 19, 49, 32, 19, 115, 91, 19, 21, 77, 64

Декодирующая матрица имеет вид:

Если вы запомнили принцип умножения матриц, то зная две пары кодирующих и декодирующих матриц, можете переписываться друг с другом, а заодно поупражняетесь в счете.

Слайд 17.

В течение столетий шла борьба изобретателей все новых шифров с разгадывателями этих шифров. Сейчас для шифровки и расшифровки используют компьютеры и многие математические теории. Кто знает, может быть, кто-то из вас захочет связать свою жизнь с криптографией.

Приложение.

Литература:

1. За страницами учебника математики: Пособие для уч. 5–6 кл. сред. шк./ Депман И. Я., Виленкин Н. Я. – М.: Просвещение, 1989.
2. Газета “ Математика” № 9, 2006.
3. Математика. 8–9: сборник элективных курсов/ авт. сост. В. Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2006.
4. Ресурсы интернет http://images.yandex.ru/ (по поиску).