Методическая разработка занятия с одаренными детьми "Степень с натуральным показателем. Сравнение степеней" (6–7-е классы)

Разделы: Внеклассная работа

Основная цель занятия - продолжить работу по углублению и расширению знаний учащихся по теме “Натуральные числа, степени с натуральным показателем, свойств натуральных чисел” изученных в предыдущем учебном году, развитию познавательного интереса учащихся к изучению темы. Ознакомить учащихся с новыми методами решения задач на сравнение степеней с натуральными показателями, на определение цифры, на которую оканчивается число, рассмотреть задачи на делимость выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Продолжить формирование навыков исследовательской, самостоятельной работы.

Изучение данной темы в младших классах способствует лучшему усвоению тем связанных со степенями в старших классах, формирует познавательный интерес к изучению.

Данная методическая разработка прошла апробацию на занятиях районной очно-заочной математической школы 2006–2009 учебных годах.

План

  1. Лекционное занятие – 1 час
  2. Малая олимпиада (индивидуальное решение задач) – 1 час
  3. Заочное решение задач (домашнее задание) – 2 часа

Ход занятия

Лекционное занятие с учащимися

В математике господствуют две стихии – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей.
Мы будем заниматься стихией чисел.
Возникновение понятия числа – одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Действительные числа не только измеряют, сравнивают, вычисляют, но даже рисуют, играют, сочиняют.
Самые древние по происхождению числа натуральные: 1,2,3,4,5………Обозначаются N.
В прошлом учебном году мы рассматривали ряд задач на натуральные числа. В этом году будем продолжать знакомство со свойствами натуральных чисел.
Вспомним какие арифметические действия можно выполнять во множестве натуральных чисел?

  1. Сложение.
  2. Вычитание.
  3. Умножение.
  4. Деление.

– Какие из этих действий выполняются всегда? Ответ: сложение, умножение.
– А какие не выполняются? Ответ: не всегда: 15–20, 15:8.

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 =
– Как короче записать это произведение? Ответ: 56.
– Говорят, что это шестая степень числа пять.
Вообще: ап=а а а а а а … а, .

Записываем свойства в тетрадь:

  1. anbn=(ab)n.
  2. anam=an+m.
  3. (an)m=anm.

1. Сегодня мы рассмотрим ряд задач на сравнение степеней с натуральными показателями.

Задача 1

Сравнить 3111 и 1714.

Решение:

  1. Числа 31 и 17 находятся рядом со степенями числа “2” (32=25, 16=24).
  2. 3111<3211= (25)11=255, т.е. 3111< 255.
  3. 16<17 ; 1614<1714, (24)14<1714.
  4. 3111<255<256<1714 следовательно 3111<1714.

Задача 2

Сравнить 999710 и 1000038.

Решение:

  1. 999710<1000010=(104)10=1040.
    999710<1040.
  2. 1040=(105)8=1000008/
  3. 1000008<1000038.

Значит, 999710<1000038.

Задача 3

Что больше 5300 или 3500?

Решение:

  1. 5300=53 100=(53)100=(5 5 5)100=125100.
  2. 3500=35 100=(3 3 3 3 3)100=243100.
  3. 125<243 следовательно 125100<243100 следовательно 5300<3500.

Ответ: 5300<3500.

2. Задачи на определение цифры, на которую оканчивается число.

Натуральные числа обладают следующим свойством: при умножении ряда чисел, оканчивающихся единицей или “5”, получается число, оканчивающиеся той же цифрой. Например:

22375 • 12735 = ……..5.
281 • 381 = ……….1

58128911=581 581…581 = ………..1.
                    28911 раз

Всякая степень числа оканчивающаяся на “5”, тоже оканчивается на “5”.
Если число оканчивается “6”, то всякая степень числа оканчивается “6”.

2861237 оканчивается “6”.

Если число оканчивается 76, то любая его степень оканчивается “76”.

28764оканчивается 76.

Если число оканчивается 25, то любая его степень оканчивается “25”.

Рассмотрим задачи такого типа.

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число 32004?

Решение:

  • 31=3
    32=9
    33=27
    34=81
    35=243
    36=729.

Заметим, что 31 и35 оканчиваются на одну цифру “3”, 32 и 36 – тоже на одну цифру “9”.
Последняя цифра повторяется через 4, т.е. в общем виде число 34m+nзаканчивается той же цифрой, что и 3n

  • 2004=4 х501=2000+4=4 х 500 +4.
  • 32004=34 х 500 +4оканчивается той же цифрой, что 34, т.е. на 1.

Ответ: на 1.

Задача 2

На какую цифру оканчивается число 32004+42005?

Решение:

  • 32004
 оканчивается на 1 (первая задача).
  • 41=4
    42=16
    43=64
    44=256
    45=924
 Если степень числа 4 – нечётное число, то число оканчивается на “4”, если степень чётная, на “6”. 2005 – нечётное число, значит 42005 оканчивается на “4”.
  • 32004+42005
 оканчивается на “5” (1+4=5).

Задачи на делимость

Задача 1

Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+22+23+24+…+22003+22004?

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

Первое слагаемое делится на 3, второе нет, значит, сумма не делится на 3.

Задача 2

Доказать, что разность 9999931999 – 7777771997 кратна 5.

Решение:

  1. Если оканчивается цифрой 3, то степени оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем случае 1999:4=499+3, 1999=4 х 499 +3. Значит число 9999931999 оканчивается на ту же цифру, что число 33, т.е. на 7.
  2. Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.
  • 71=7
  • 72=49
  • 73=343
  • 74=2401
  • 75=16807
  • 1997:4=499+4

1997 = 4 х 499+1, значит 7777771997 оканчивается на туже цифру, что и число 71, т.е. на 7.

3. Разность данных чисел оканчивается на 0 (7–7=0), 0:5, следовательно разность кратна “5”.

Задачи для индивидуального решения

Задача 1

Что больше 10020 или 900010?

Решение:

  1. 10020=1002 х10=(1002)10=(100 х100)10=100010.
  2. 1000<9000 следовательно 1000010<900010 следовательно 10020<900010.

Задача 2

Сравнить 12723 и 51318.

Решение:

  1. 127<128; 127<27; 12723<27 х23=2161.
  2. 512<513; 29<513; 29 х18<51318; 2162<51318.
  3. 12723<2161<2162<51318 следовательно 12723<51318.

Задача 3

Какая цифра будет последней в записи результата 95399999?

Решение:

  1. если число оканчивается на 3, то его степень оканчивается на 3, 9, 7, 1. Повторение через 4.
  2. 99999:4=24999 +(3 ост.).
    99999=4 х 24999 +3.
    Наше число имеет остаток такой же, что и 9533, т.е. число 7.

Задача 4

776776+777777+778778. Какой цифрой оканчивается сумма и кратна ли она 5.

Решение:

  1. 776776 оканчивается 6 (см. пред.задачи).
  2. 777777 оканчивается 7. если число оканчивается на 7, то его степени оканчиваются на 7,9,3,1, повторение через 4.
    777=4 х 194+1.
    Значит, 777777 имеет последней ту же цифру, что и 71, т.е. оканчивается на 7.
  1. 778778
  • 81=8
  • 82=64
  • 83=512
  • 84=4096
  • 85=32768 Степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4. 778778 оканчивается на ту же цифру что и 83, т.е. на 2. 778=4 х 194+3.
  1. Наша сумма оканчивается на 5 (6+7+2=15).

Задачи для заочной работы

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число ((9999999)99)9 .

Решение:

  • 91=9
  • 92=81
  • 93=729 Если степень четная, то число оканчивается на 1, если степень нечетная, то на 9.
  1. 999 оканчивается на 9, т.к. 9 – нечетное число
  2. число 999 – нечетное, т.к. оканчивается на 9.
  3. ((99999)9 оканчивается на 9, т.е. оно нечётное.
  4. ((999999)99)9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.

Задача 2

Что больше: 2700или5300? 2300или 3200.

Решение:

  1. 2700=(27)100=128100.
  2. 5300=(53)100=125100.
  3. 128>125 следовательно 128100>125100 следовательно 2700>5300.

1. 2300=8100 3200=9100.
    8100<9100 следовательно 2300<3200.

Задача 3

Найти последнюю цифру числа 82006.

Решение:

  1. если число оканчивается на 8, то его степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4.
  2. а4т+п имеет последней ту же цифру, что число ап.
  3. 2006=501 х 4 +2.
  4. 82006=84 х 501+2, значит это число имеет ту же цифру, что и 82, т.е. оканчивается на 4.

Задача 4

Что больше или

Найти несколько способов решения.

Решение:

Литература

  1. Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах. М.: Просвещение, 1984.
  2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 1984.
  3. Кордемский В.А. Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. М.: Просвещение, 1986.
  4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1978.
  5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1990.
  6. Фарков А.В. Математические кружки в школе. М.: Айрис-пресс, 2007.