Цель: Обобщить и систематизировать ЗУН учащихся по теме «Показательная функция, уравнения, неравенства и системы уравнений».
Ход урока
I. Оргмомент (2 мин)
Сегодня у нас урок решения показательных уравнений, неравенств и систем уравнений.
Главная ваша задача – показать свои знания и умения по решению показательных уравнений, неравенств и систем уравнений. Так же мы с вами потренируемся в данной теме по сдаче тестов в виде ЕГЭ (конечно в самом узком смысле).
II. Теоретическая часть (5 мин)
В это время 3 ученика садятся за компьютеры и отвечают на вопросы теста в электронном варианте (20 минут), а другие устно отвечают на вопросы:
- Назовите область определения показательной функции. (множество всех действительных чисел)
- Какие значения принимает показательная функция? (только положительные значения)
- Что является областью значений показательной функции?
- Является ли функция y = (1/3)x возрастающей? (нет)
- Какие уравнения называются показательными? (показательными уравнениями называются уравнения, у которых неизвестное содержится в показателе степени)
- Является ли показательная функция четной? (нет)
- Сравните 33 и 34 (33 < 34 возрастающая)
(3/5)-5и (3/5)5 ((3/5)-5 > (3/5)5 убывающая)
III. Самостоятельная работа (10 мин)
Каждому выдается карточка с заданиями с выбором ответов (2 варианта), потом проверяется правильность решения (правильные ответы вывешиваются на доске и дети проверяют свои решения). Работа оценивается и первая оценка выставляется в специально подготовленный список – в первую колонку.
I вариант
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 610x - 1 = 36.
1) (-4;-1); 2) [-1;0); 3) (0;1); 4) [1;4).
2. Найдите сумму корней уравнения: 49 · 72x - 50 · 7x +1 = 0.
1) 1; 2) 2; 3) -2; 4) 50.
3. Решить уравнение: 2x + 8 = 1/32.
1) 12; 2) -12; 3) -13; 4) 13.
4. Решите неравенство: 2x + 2x + 1 > 6.
1)(1; +∞); 2) [1; +∞); 3) (-1; +∞); 4) [-1; +∞).
5. Найдите решение (x0; y0) системы уравнений 
и вычислите значение произведения x0· y0
1) 6; 2) 3; 3) -6; 4) -2.
II вариант
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 37x + 6 = 27.
1) (-4;-1]; 2) (-1;0); 3) (0;1]; 4) (1;4).
2. Найдите сумму корней уравнения: 
1) -2; 2) 0; 3) 1; 4) 2.
3. Решить уравнение: 3x + 2 + 3x = 90.
1) 0,2; 2) 2; 3) -2; 4) 3.
4. Решите неравенство: 3x + 2 - 3x < 72.
1) (-∞; 2]; 2) (-∞; 2); 3) (-∞; -2]; 4) (-∞; 2).
5. Найдите решение (x0; y0) системы уравнений 
и вычислите значение произведения x0· y0
1) -2; 2) 2; 3) -3; 4) 3.
Решение
I вариант
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 610x - 1 = 36.
1) (-4;-1); 2) [-1;0); 3) (0;1); 4) [1;4).
610x - 1 = 62
10x - 1 = 2
10x = 3
x = 0,3
Ответ: 3
2. Найдите сумму корней уравнения: 49 · 72x - 50 · 7x +1 = 0.
1) 1; 2) 2; 3) -2; 4) 50.
49y2 - 50y + 1 = 0
D = 2500 - 4 · 49 · 1 =2304
7x = 1 x1 = 0
7x = 7-2 x2 = -2
Ответ: 3
3. Решить уравнение: 3x + 2 + 3x = 90.
1) 0,2; 2) 2; 3) -2; 4) 3.
3x (9 + 1) = 90
3x · 10 = 90
3x = 32
x = 2
Ответ: 2
4. Решите неравенство: 2x + 2x + 1 > 6.
1)(1; +∞); 2) [1; +∞); 3) (-1; +∞); 4) [-1; +∞).
2x (1 + 2) > 6
2x · 3 > 6
2x > 2
x > 1
Ответ: 1
5. Найдите решение (x0; y0) системы уравнений и вычислите значение произведения x0· y0
1) 6; 2) 3; 3) -6; 4) -2.
5y + 6 = 53
y + 6 = 3
y = -3
x = 2 · (-3) + 4 = -2
x0· y0 = -2 · (-3) = 6
Ответ: 1
II вариант
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 37x + 6 = 27.
1) (-4;-1]; 2) (-1;0); 3) (0;1]; 4) (1;4).
37x + 6 = 33
7x + 6 = 3
7x = -3
x = -3/7
Ответ: 2
2. Найдите сумму корней уравнения:
1) -2; 2) 0; 3) 1; 4) 2.
x2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x1 = 0 x2 = 2
Ответ: 4
3. Решить уравнение 2x + 8 = 1/32.
1) 12; 2) -12; 3) -13; 4) 13.
2x + 8 = 2-5
x + 8 = -5
x = -13
Ответ: 3
4. Решите неравенство: 3x + 2 - 3x < 72.
1) (-∞; 2]; 2) (-∞; 2); 3) (-∞; -2]; 4) (-∞; 2).
3x(9 - 1) <72
3x · 8 < 72
3x < 32
x < 2
Ответ: 2
5. Найдите решение (x0; y0) системы уравнений и вычислите значение произведения x0· y0
1) -2; 2) 2; 3) -3; 4) 3.
7y + 1 = 70
y + 1 = 0
y = -1
x = 2 + 1 = 3
x0· y0 = 3 · (-1) = -3
Ответ: 3
IV. Решение заданий (10 мин)
К доске вызывается 3 ученика (2 решают задания части В – остальные по вариантам, 1 решает задание С). В это время 3 ученика, сидящие за компьютером уступают место другим 3 ученикам. Оценки выставляются во вторую колонку.
В1. Решите неравенство 7 · 5x - 1 - 5x - 2 ≤ 170 при x ≥ 3
Решение:
5x ≤125
x ≤ 3
Ответ: 3
В2. Найдите число целых отрицательных решений неравенства 
Решение:
0,5x - 1 ≥ -3
x ≥ -4
- 4; - 3; - 2; -1
Ответ: 4
С. Решите уравнение: 316 + x · 44 + x · 53x = 5408 - x
Решение:
1) Основания степеней в обеих частях уравнения разложим на простые сомножители:
4 = 22 , 540 = 5 · 108 = 5 · 4· 27 = 22 · 33 · 5
2) По правилам действий со степенями:
316 + x · 44 + x · 53x = (22 · 33 · 5)8 - x
28 + 2x · 316 + x · 53x = 216 - 2x · 324 - 3x · 58 - x
28 + 2x + 2x - 16 · 316 + x + 3x - 24 · 53x + x - 8 = 1
(2 · 3 · 5)4x - 8 = 1
304x - 8 = 1
3) Значит, 304x - 8 = 300. Из свойств показательной функции следует, что 4x - 8 = 0,
x = 2.
4) Так как все преобразования равносильные, то найденное число – корень уравнения. Впрочем, нетрудно проверить его и подстановкой:
316 + 2 · 44 + 2 · 56 = 5408 - 2
318 · 46 · 56 = (4· 33 · 5) = 5406
Ответ: 2.
V. Разгадать исторический факт (10 мин)
Класс делится на 3 группы и каждому раздается задание с буквой, решив которое ученик должен вставить букву на место, с которым совпадает ответ его задания. В результате на доске должны появиться ответы на 3 вопроса. Оцениваются ученики всей группы – оценка в третью колонку.
I. Решив уравнения, вы узнаете фамилию ученого, который вывел формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной (ЭЙЛЕР)
Й |
8 · 9x + 6x +1 = 27 · 4x |
Е |
9x + 6x = 22x+ 1 |
Э |
-3 · 9x - 2 · 3x + 1 = 0 |
Р |
 |
Л |
 |
-1 |
1 |
2,5 |
0 |
-0,5 |
|
|
|
|
|
II. Решив эти уравнения, вы узнаете, у кого возникла идея о необходимости создания единой науки, изучающей процессы сохранения и переработки информации управления и контроля, для которой он предложил название «кибернетика», получившее общее признание (ВИНЕР)
Р |
3x + 2 - 3x = 72 |
И |
2 · 16x - 24x - 42x - 2 = 15 |
Е |
25x + 4 · 5x - 5 = 0 |
В |
4-1 · 2x = 16 |
Н |
2x - 1 + 2x - 4 + 2x - 2 = 13 |
6 |
1 |
4 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
III. Решив неравенства, вы узнаете фамилию персидского и таджикского поэта, математика и философа, который в математическом трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» дал систематическое изложение решения уравнений до третьей степени включительно (ХАЙЯМ)
А |
3x + 2 - 3x < 72 |
М |
2x + 2x + 1 > 6 |
Я |
 |
Х |
 |
Й |
 |
x < 0,4 |
x < 2 |
x ≤ 0 |
x ≤ -4 |
x < 1 |
|
|
|
|
|
VI. Задания с карточками – домашнее задание, итог урока, выставление оценок в журнал.
VII. Для дополнительного задания можно дать следующее задание из части С
Решите уравнение: 
Ответ: 2; -2.
VIII. Подведение итогов, выставление оценок.
К работе прилагается тест в MS Excel.