Цели: показать применение графических методов решения уравнений с параметрами и определить удобство и эффективность использования каждого из них.
обучающая - расширить знания учащихся по применению графиков для решения уравнений с параметрами;
развивающая - развить нестандартное мышление через умение находить рациональные пути решения, научить переключаться с одного способа на другой, развить культуру соблюдения всех этапов аргументации при решении уравнений;
воспитательная - воспитать терпение, упорство в достижении цели, умение работать в коллективе.
Задачи:
научить:
1. Пользоваться координатно-параметрическим методом решения уравнений с параметрами, уметь отличать его от графического способа.
2. Делать правильный выбор способа решения уравнения, исходя из условия данной задачи.
3. Организовывать работу в группах.
Ход урока
1. Введение в урок, организационный этап (слайды 1, 2, 3 приложения 1).
2. Повторение теоретического материала.
Учитель. Что значит решить уравнение с параметром?
Предполагаемый ответ. Решить уравнение с параметром – это, значит, установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.
Учитель. В зависимости от того, какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная, или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приёма: первый – построение графического образа на координатной плоскости (x; y), второй – на (х; а).
Схематично структура первого метода выглядит следующим образом. На плоскости (х; y) функция y=f(х; а) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствам, но основным является осуществление перехода от одной кривой семейства к другой.
Что касается второго способа, то он основан на нахождении множества всех точек координатно-параметрической плоскости, значения координат х и параметра а каждой из которых удовлетворяют заданному в условиях задачи соотношению. Если указанное множество точек найдено, то можно каждому допустимому значению параметра а=const поставить в соответствие координатных точек этого множества, дающие искомое значение задачи. Этому способу мы посвятим сегодняшний урок.
Для простоты дальнейшего общения назовём первый способ графическим, а второй координатно-параметрическим и продемонстрируем их использование на примерах.
3. Основная часть.
а) Учащимся предлагается задача, которая решена каждым из предложенных способов. Решения представлены на слайдах (4 и 5 приложения 1) и разбираются подробнейшим образом.
№1. При каких значениях параметра а уравнение
имеет более
двух корней.
Решение. I способ (координатно-параметрический):
Если подставить х=0 в исходное уравнение, то
получим 6=6, это означает, что х=0 является решением
уравнения при любом а. Пусть теперь х
, тогда можно записать а=
. Выясним знаки
выражений 2х+3 и 2х-3.
Рис. 1
Рис. 2
а=
В плоскости построим множество точек (х ;а), координаты которых удовлетворяют соотношению.
Если а=0, то уравнение имеет бесконечно
множество решений на промежутке 
, при других значениях а
количество решений уравнения не превышает двух.
Ответ: а=0
Решение. II способ (графический):
Построим графики функций y=
и y=ах+6 и найдём количество точек
их пересечения в зависимости от параметра а.
Рис. 3
Значит, если а=0, тогда х
. Если а
, то уравнение имеет два решения, но при
а
существует
одно решение данного уравнения. То есть
уравнение имеет более двух корней при а=0.
Ответ: а=0.
Учитель: Какой способ вам импонирует в данном случае?
Предполагаемый ответ. Графический. Он требует меньше вычислений, хотя определенную трудность вызывает вычисление параметра на граничных положениях прямой.
б) Cамостоятельная работа по группам.
Класс разбивается на группы, часть из которых решает следующую задачу графическим способом, а часть - координатно-параметрическим. По истечении времени решения проверяются посредством мультимедийной доски (слайды № 6, №7 приложения 1).
№2. Найдите все значения параметра а, при
которых уравнение 
имеет единственное решение.
Решение. I способ (графический):
Построим график функций y=
и y=
Рис. 4
А(-4; 0), В(-2; 0) координаты этих точек удовлетворяют уравнению.
Рис. 5
Ответ: а=-8; а=-4.
Решение. II способ (координатно-параметрический).
Используя определение абсолютной величины,
преобразуем уравнение, в каждой из “частичных
областей”, на которые делят прямые х=-3, х=
КП-плоскость,
рассмотрев случаи a<-6 и a>-6, заменив его
равносильной совокупностью.
Рис. 6
Рис. 7
2) 
Рис. 8
Также как и в первый раз, заменим уравнение совокупностью.
Рис. 9
Изображённое ниже множество точек (х; а) – координаты х и параметра а, которые удовлетворяют уравнению, даёт возможность ответить на вопрос о единственности решения.
Рис. 10
Ответ: а=-8; а=-4.
в) Решение следующей задачи координатно-параметрическим способом дает возможность без усилий давать ответ задачи, исходя из чертежа. Задача решается на доске и в тетрадях.
№2. Для каждого значения параметра а решить уравнение.
Решение. (Координатно-параметрический)
Применяя метод “частичных областей” и определение абсолютной величины, заменим уравнение совокупностью трёх систем.
Рис. 11
Используя решение на КП-плоскости, запишем ответ:
Если а<1, то х
Если 1
, то х1=
, х2=а-1
Если а>2, то х1=
, х2=
Учитель. Чем отличается постановка последней задачи от предыдущих?
Предполагаемый ответ: в начальных задачах основным являлся поиск количества корней, а в последней - сами корни. И в этом случае координатно-параметрический способ выдает готовые решения без дополнительных вычислений.
4. Подведение итогов урока.
Учитель с помощью учеников делает выводы о новом методе и возможностях его использования.
1. При решении уравнений с параметрами нельзя говорить о предпочтении одного способа перед другим.
2. Выбор метода решения зависит от постановки задачи, т.е. когда нам требуется определить количество корней уравнения, то удобнее использовать графический способ, а если нам необходимо найти корни уравнения в зависимости от параметра, то эффективнее координатно-параметрический способ.
5. Домашнее задание.
Решить КП – методом следующие уравнения.
1. ¦Х + 2¦ +¦ Х – 4¦ + ¦Х – 1¦ = a.
2. ¦ X + a – 1¦ = ¦X – a + 1¦.
Комментарий: урок можно отнести к типу урок-знакомство. Теоретический материал выдается в описательном порядке, без глубокого разбора самого метода. Во время урока учащимся предлагается решение задач известным им графическим способом, но под другим углом. Этот метод имеет стройную последовательность изложения, что не маловажно при записи решений задач части С, облегчает запись общего ответа к задаче с параметрами, но не является единственным. Этот урок можно провести в 10–11 классах в курсе “алгебра и начала анализа”. Тогда сильные учащиеся могут продолжить изучение метода при решении различных уравнений на групповых, дополнительных занятиях или самостоятельно.
Список литературы:
- В.П.Моденов “Задачи с параметрами”.
- 2. С.В.Кравцев и др. “Методы решения задач по алгебре”.
Необходимые ресурсы: Microsoft Office PowerPoint 2007 или 2003, Microsoft Office Word 2007 или 2003.