Уроки обобщающего повторения по теме "Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений, неравенств"

В контрольно измерительных материалах ЕГЭ обязательно присутствуют задания по теме "Логарифмическая функция" (задания нам преобразование логарифмических выражений, знания свойств логарифмической функции, решения логарифмических уравнений и неравенств).

Данные уроки проходили в классах, в которых несколько человек плохо справляются с выполнением заданий по данной теме на базовом уровне, основная часть учащихся работают на базовом уровне, есть учащиеся, которые успешно выполняют задания повышенного уровня.

Методическая цель:

• продемонстрировать применение дифференцированного подхода в обучении,
• продемонстрировать закрепление умений и навыков при выполнении тестовых заданий в формате ЕГЭ.

Логарифмическая функция

Цель:

• обобщить теоретические знания свойств логарифмической функции,
• закрепить умения применять знания при выполнении заданий,
• развивать навыки самоконтроля у учащихся.

Оборудование:

• рабочие тетради,
• карточки с заданиями,
• бланки для ответов,
• доска,
• компьютер, мультимедийная установка.

Ход урока

_. Организационный момент.

Приветствие. Сообщение темы (на доске: "Обобщающий урок по теме "Логарифмическая функция"".).

Целеполагание.

Учитель:

Перед нами стоит задача обобщить знания по теме: "Логарифмическая функция".

Каждому предстоит оценить свои знания, скорректировать пробелы, выполнить тестовое задание по своим силам.

Будем на уроке внимательными, активными, с большим желанием выполним предложенную работу. Это поможет нам в подготовке к ЕГЭ.

__. Обобщение теоретического материала.

Предварительно учащимся в домашнем задании требовалось повторить теоретический материал по теме по учебнику А.Н.Колмогорова и др. "Алгебра и начала анализа" для 10 -11 классов п.37 стр.232 "Логарифм и его свойства", п.38 стр.238 "Логарифмическая функция".

1. Математический диктант.

Учитель зачитывает утверждения. Можно использовать экран (с помощью мультимедийной установки). На экране поочередно появляются вопросы.

Учащиеся отвечают так: "да" - V, "нет" - _.

Текст. Предлагаются верные и не верные утверждения.

Верны ли утверждения?

1. Логарифмическая функция у = log_ax определена при любом х.
2. Функция у = logx логарифмическая при а>0, а 1, х>0.
3. Область определения логарифмической функции множество действительных чисел.
4. Область значений логарифмической функции множество действительных чисел.
5. Логарифмическая функция является четной функцией.
6. Функция у = log₃x является возрастающей.
7. Функция у = log_ax при положительном а, но меньшим 1, является возрастающей.
8. Логарифмическая функция имеет экстремумы.
9. График функции у = log_ax пересекает ось Ох.
10. График логарифмической функции симметричен относительно оси Ох.
11. График логарифмической функции расположен в _ и _ V четвертях.
12. График логарифмической функции всегда пересекает ось Ох в точке (1,0).

Выполнение данного задания позволит проверить учащимся теоретический материал по теме свойства логарифмической функции.

2. Самопроверка учащимися своих ответов.

На экране появляется графическое изображение верного ответа.

Учащиеся сверяют свои ответы с верными ответами, делают выводы.

Учащимся, которые допустили ошибки, поможет скорректировать знания следующий момент.

3. Обобщение теоретического материала.

На экране появляется слайд, на котором в виде конспекта представлен необходимый теоретический материал.

Учащимся, которые допустили ошибки, предлагается прокомментировать конспект.

Учащиеся анализируют ошибки, делают выводы.

 Функция вида у = log_ax называется логарифмической функцией с

Основанием а ( а>0, а 1)

Учащиеся проговаривают свойства логарифмической функции.

- область определения - множество всех положительных чисел (х>0).

- область значений - множество всех действительных чисел ( -; +).

- непрерывна на всей области определения.

- функция у = logx возрастает на всей области определения, если а>1.

- Функция у = logx убывает на всей области определения, если 0< а>1.

- точка пересечения графика функции у = log_ax с осью Ох (1,0).

- наибольшего и наименьшего значения функции не существует.

- функция экстремумы не имеет.

- положение точки а относительно1, и значения функции при х=а

Учитель: "Необходимо помнить свойства логарифма. Они помогут при выполнении заданий."

Учащиеся называют свойства логарифма.

"Приведите пример задания в которых нужно использовать названное вами свойство"

Пример: =k log_c a , log_aa =1 log₂2³=3 log₂2=3,

log_c(ab)= log_ca + logb log₂2= log₂2 + log₂=1+=1=1,2.

log_ba= =log₃ 81=4. и т.д.

Учитель после ответов учащихся предлагает еще раз обратить внимание формулы на слайде.

На экране появляется слайд:

___. Закрепление знаний при выполнении тестовых заданий

Учитель: "Применим знания при выполнении тестовых заданий. Вам предлагается три варианта заданий. Каждый может выбрать тот, который ему по силам.

Желаю удачи!"

1. Учащиеся выбирают карточки с заданиями. Приступают к выполнению.

Карточки с вариантами заданий представлены в приложениях.

Задания подобраны с учетом рекомендаций Федерального института педагогических измерений и курса " Система подготовки к ЕГЭ по математике".

2. Самопроверка учащихся.

На экране появляется слайд с таблицей верных ответов. Учащиеся сверяют ответы.

Оценивают свою работу. Делают вывод.

_V. Подведение итогов, рефлексия.

На данном уроке мы обобщили теоретические знания и закрепили навыки, которые необходимы при выполнении проверочной работы, а также понадобятся нам при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Продолжите фразу:

• "Сегодня на уроке я повторил:."
• "Сегодня на уроке я закрепил:."
• "Для себя я понял:"

Бланки с ответами сдают учителю, каждый получает оценку за урок.

Задания смотрим в Приложении 1.

Решение логарифмических уравнений, неравенств

Цель: обобщить теоретические знания, используемые при решении логарифмических уравнений, неравенств; организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний и умений.

Ход урока

_. Организационный момент.

Целеполагание. Учитель:

"Продолжаем работу с логарифмической функцией. На предыдущем занятии мы обобщили знания по теме и закрепили их при выполнении тестовых заданий.

(на доске: "Решение логарифмических уравнений и неравенств".)

На этом уроке повторим основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств базового и повышенного уровня".

__. Повторение теоретического материала по теме.

Совместная работа учащихся и учителя. Используется мультимедийная установка, презентация " Решение логарифмических уравнений, неравенств".

Фронтальная работа.

Учитель: "Какое уравнение называется простейшим логарифмическим?"

Учащиеся: "Простейшее логарифмическое уравнение - это уравнение вида log_a x=b, где a 0, а 1.Имеет единственное решение х= a^b.

Учитель: "Запишите пример каждый в своей тетради такого уравнения и его решение."

Трое учащихся выполняют задание у доски.

Например:

a) log₃x=4, x>0, x=81,

b) log₂(x+1)=3, x>-1, x+1=8, x=7,

в) log_a16=2, а>0, а 1, а=4.

"Логарифмические уравнения и неравенства приводятся к простейшим с помощью формул преобразования логарифмов. Какие это формулы?"

Учащиеся отвечают, учитель и сами учащиеся корректируют не верные ответы.

После этого на экране последовательно появляются нужные формулы.

В данном случае расширяется область определения уравнения, что может привести к появлению посторонних корней!

"Назовем способы решения логарифмических уравнений, приводящим к появлению посторонних корней."

Способы:

• Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма,
• Метод потенцирования,
• Приведение логарифмического уравнения к квадратному,
• Уравнения, решаемые приведением логарифмов к одному и тому же основанию,
• Уравнения, решаемые логарифмированием его обеих частей,

Также необходимо отметить для учащихся следующее:

Применение формул логарифмирования может привести к потере корней, так как область определения сужается, поэтому в данном случае нужно пользоваться следующими формулами:

Учитель отмечает, что самой распространенной ошибкой является ошибка - учащиеся переходят от логарифмического уравнения к уравнению следствию, а проверку сделать забывают, или не правильно усвоили фразу: " логарифм не определен для отрицательного числа". В дальнейшей работе необходимо уделить особое внимание данным замечаниям.

На доске записано уравнение logf(x)= logg(x), a >0, a 1.

Учащимся предлагается записать алгоритм его решения в своих тетрадях. Один из учащихся записывает на доске.

Запись: logf(x)= log_ag(x), a >0, a 1.

Равносильно каждой из следующих систем:

1) и

2)

(можно спросить учащихся, какие уравнения называются равносильными)

Учитель: Выполним решение уравнения: log₂(4x-8)= log₂(3x-5).

Учащийся выходит к доске и записывает решение:

log₂(4x-8)= log₂(3x-5).

Решение: Уравнение равносильно системе:

Решаем систему и получаем ответ х=3.

Учитель: "Необходимо помнить, что замечания по решению логарифмических уравнений необходимо учитывать и при решении логарифмических неравенств.

Что является главным при решении неравенства?"

Учащиеся: Нужно запомнить - при каком основании "перевернуть" знак неравенства.

Учитель: "Какое свойство логарифмической функции нужно помнить?"

Учащиеся: "Свойство монотонности -

- функция у = log_ax возрастает на всей области определения, если а>1.

- функция у = log_ax убывает на всей области определения, если 0< а>1".

Учащиеся: "Знак меняется на противоположный, если 0< а>1."

Учитель: "Какие схемы помогают решать логарифмические неравенства?"

Учащиеся записывают в тетради. Для помощи учащимся, не справившимся с заданием, несколько более "сильных" учащихся записывают на доске:

log_af(x)> log_ag(x), a >0, a 1.

Или log_af(x) >g(x), a >0, a 1. Решаем по определению:

Учитель: "Решим неравенство устно: log₂х>5".

Учащиеся дают ответ:т.к.2>1, х>0, то х>2⁵ , х>32.

Учитель: "Среди заданий ЕГЭ есть такие, которые предлагают для нахождения ответа применение решений логарифмических неравенств.

Например: Найти область определения функции: f(x)=

Предлагаю выполнить решение вместе.

Учащийся выходит к доске и выполняет решение.

f(x)=

выражение, стоящее под знаком корня должно быть 0.

Значит, нам предстоит решить логарифмическое неравенство, поэтому запишем:

{log _0,5(x²-9) +4 0, x²-9>0.

log _0,5(x²-9) -4 ,т.к. функция у=log _0,5t убыв на всей области определения ( 0<0,5<1), переходим к неравенству:

x²-9 0,5^-4, x²-9 16, x²-25 0, х,

Ответ. х.

___. Закрепление знаний. Работа в разноуровневых группах.

1. Учащиеся выбирают карточки с заданиями. Приступают к выполнению.

Карточки с вариантами заданий представлены в приложениях.

Задания подобраны с учетом рекомендаций Федерального института педагогических измерений и курса "Система подготовки к ЕГЭ по математике".

Каждый учащийся работает в тетради. Некоторых учащихся можно вызвать к доске

(учащихся, которые решают задания разного уровня) для записи решения и комментариев отдельных уравнений, неравенств. Остальные могут сверить решение, если нужно - исправить ошибки.

2. Самопроверка учащихся.

На экране появляется слайд с таблицей верных ответов. Учащиеся сверяют ответы.

Оценивают свою работу. Делают вывод.

_V. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель обращает внимание на теоретический материал, уравнения, неравенства, предложенные на уроке. Отмечает успешную работу отдельных учащихся.Выставляет оценки.

Продолжите фразу:

• "Сегодня на уроке я повторил:."
• "Сегодня на уроке я закрепил:."
• "Для себя я понял:"

В качестве домашнего задания учащиеся получают вариант тематической проверочной работы.

Задания смотрим в Приложении 2.