Уравнения и неравенства являются обязательным элементом любого экзамена по математике. Эти задачи связаны с трудностями двоякого рода. Во-первых, найти путь решения. Во-вторых, не допустить ни потери корней, ни приобретения лишних корней. И если не следить за законностью преобразования, то ошибки неизбежны. Многие учащиеся об этом даже не догадываются, другие усваивают их формально и беспомощны в слегка измененной ситуации. Многие пытаются решить эту проблему с помощью проверки, что тоже не всегда приемлемо, так как она не может предотвратить потерю корней.
Поэтому каждый ученик должен владеть тем минимумом теоретических знаний, которые необходимы для решения уравнений.
Существуют различные источники равносильности.
К приобретению посторонних корней могут привести:
- Применение формул
- Взятие функций
- Уничтожение подобных слагаемых
- Решение уравнений, содержащих произведение сомножителей, приравненных к нулю
- Потери корня могут произойти:
- При переходе к новому основанию логарифмов
- При переходе от равенства степеней к равенству показателей
- Когда сложная показательная функция приравнена к единице
- При использовании определения модуля
- При делении на функцию
- При прибавлении к обеим частям уравнения функции
- При решении уравнения подбором
1. Большинство формул, используемых для преобразований таковы, что их левая и правая части имеют смысл при различных значениях, входящих в них переменных.
Поэтому лучше пользоваться формулой,
записанной в виде: 
2. Тригонометрические уравнения тоже не всегда удовлетворяют условиям равносильности.
3. Основные свойства корней: 
Пример № 1
Решить уравнение: 
Воспользуемся формулой: 
, 
Откуда: (x+2)(3x-4)=16,
Проверить подстановкой в исходном уравнении сложно.
Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
1) 
2) подстановкой
В ОДЗ входит лишь: 
Любое уравнение: 
равносильно системе
вместо 
Можно воспользоваться одним условием, т.к. они равны.
Пример № 2
Решить уравнение: 
Решение: Так как обе части уравнения
неотрицательны, после возведения в квадрат
получим равносильное уравнение: 
После преобразования имеем: 
ОДЗ расширилась, могли появиться посторонние корни.
Далее: левая часть неотрицательна при любых
значениях х, правая при 
отрицательна.
Ясно, что такие значения х не могут быть
решениями уравнения, поэтому мы должны
рассматривать только при 
. В этой области обе части
уравнения не отрицательны, значит после
возведения в квадрат получаем равносильное
уравнение: 
Еще раз расширилось ОДЗ, получаем:
Оба корня входят в ОДЗ исходного уравнения.
Значит надо проверить удовлетворяет ли . 
- посторонний корень, 
Ответ: 
Можно применить правило:
Упражнения вида: 
Равносильно системе: 
, либо 
, т.к. они равны.
выпадает,
т.к. 
Правило надо применять на каждом этапе решения уравнений
ОДЗ, 
применение
отбора корней
Пример 3
Невниманием к ОДЗ обычно объясняются ошибки при решении уравнения, у которого левая часть разложена на множители, а в правой 0. Приравнивая поочередно к нулю сомножители, а затем их объединяя, учащиеся не учитывают, что для некоторых х, обращающих в ноль множитель может не иметь смысл другой множитель, поэтому необходимо проверить, все ли полученные значения входят в ОДЗ.
Решить уравнение: 
Решение: 
, 3-х=0, 
, 
Ответ: 3; -4; +4
Решение неверно:
Уравнение: 
равносильно
системе:
Решений нет 
,
Ответ: -4, 3
Пример 4
При работе с модулем чаще всего допускают 3 вида ошибок:
- забывают записывать одно из условий, происходит потеря корня
- связана с тем, что вместо
пишут неверное равенство 
Рассматривая отдельные случаи не сопоставляют результат решения и условия.
Решить уравнение: 
а) если 
, то 
; 
необходимо проверить удовлетворяют ли 
и 
условию подстановки 
имеем после подстановки 
и 
, поэтому только 
б) 
, то 
, 
, 
, 
Оба корня удовлетворяют условию 
, значит уравнение имеет
корни.
Ответ: -2, 2, 4
Уравнение вида 
можно решить двумя способами:
а) либо переходим к совокупности двух систем по определению
; 
б) либо переходим к равносильной системе
Пример 5
Чаще всего корни теряют при замене данного уравнения новым, имеющим более узкое ОДЗ.
Решить уравнение: 
Приведем уравнение к виду:
Откуда: 4(x+2)=(4-x)(x+6)
Корни которого 
, 
Число 
не
входит в ОДЗ исходного уравнения, а число 
является
корнем.
Мы пользовались правилом: 
, не учитывая, что оно верно лишь
при ограничении. Поэтому при замене 
на 
произошло сужение ОДЗ. Это могло
привести к потери корня. Действительно, потерян
корень 
.
Правильно было бы использовать правило: 
и тогда
получается уравнение 
, корни которого 
,
Заключение
Следует отметить, что к решению задач надо относиться творчески, стремясь всегда к самому простому решению.
Если при решении в черновике выяснилось, что простая проверка не вызывает трудности, то незачем проверять источники приобретения корней, не интересоваться ОДЗ, ни даже находить ОДЗ.
Если проверка затруднена, то выручают именно теоретические рассуждения о том, какие преобразования могли привести к появлению лишних корней. Это необходимо записывать в чистовик.
В то же время в любом решении должна быть уверенность, что не происходит потери корней.
Список литературы
- Д- 69 Дорофеев Г.В., Муравьин Г.Х.. Седова Е.А. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А} и алгебре и началам анализа ( куре В) за курс средней школы. 11 класс. М.: Дрофа, 1999- 160с
- 3 - 42 Звавич Л.И. и др.
- Алгебра и начала анализа: сборник для подготовки к письменному экзамену по алгебре и началом
- анализа за курс средней школы. 11 класс ( Л.И. Звавич . Д.И. Аверьянов. В.Н. Смирнова) 2-е издание М.: Дрофа, 1998.-208с,
- Д.Т. Письменный Математика для старшеклассников 2 издание М.: " Айрис", "Гольф", 1996г.
- Ч-48 О.Ю. Черкалов. А.Г. Якушев Математика: интенсивный куре подготовки к экзамену. М.: Гольф, 1997-384с
- О.С. Игудисман Математика на устном экзамене ( пособие для поступающих в ВУЗы с повышенными требовании по математике.) М.: "Московский лицей", 1995г
- О.С. Игудисман. А.М. Тутер Теория, методы решения задач, контрольные задания по математике для поступающих в ВУЗы М.: "Московский лицей". 1991
- А.11. Карл Сборник задач для подготовки к выпускным экзаменам по алгебре и началам анализа М.: Санкт- Петербург : Оракул, 1998г
- Газета "Математика" (ежедневное учебно-методическое пособие к газете "Первое сентября" 1998-2001 год).
- Д-69 Дорофеев Г. В. и другие. Математика: для поступающих в вузы: Пособие (Г.В Дорофеева. М. К. Потанова, П.Х. Розов- 2-ое издание- М , : Дрофа 1999-560с.
- Графики функций, - М: Высшая школа,1972 год.
- Дороднов А.М. Острецов И.М.. Петросов В.А, Приходов В.Ю, Сафронов И.Б. И. Ш-63 Щипачев В.С.
- Математический анализ: Учебное пособие для вузов. - М,: Просвещение, 1991,-384с.
- Ш-26 Шарыгин И.Ф. Голубев В.И.
- Факультативный курс по математике. Решение задач: учебное пособие для 11 классов средней школы. -М,: Просвещение,1991.-384с.
- Билеты вступительных экзаменов в УГТУ приема 1999-Екатеринбург, УГТУ, 2000.
- Задачи с параметрами . Текстовые задачи ( учебное пособие для поступающих). В.А.Ньерко. В. А. Табуева. Екатеринбург, изд. У ПИ, 1998.
- Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Пособие для поступающих в Вузы. М:, АРКТИ, 2000.
- Материалы для подготовки к письменному экзамену в УРГУ (Очные курсы) Расин В.В. 1998 год.